专题1.13 三角形的证明（常见辅助线13种方法）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.13 三角形的证明（常见辅助线13种方法）（专项练习） 【方法1】连接两点....................................................................1 【方法2】作垂线......................................................................2 【方法3】作平行线....................................................................3 【方法4】延长相交....................................................................4 【方法5】截长补短....................................................................5 【方法6】连接两点+作垂线.............................................................5 【方法7】构造一线三直角..............................................................6 【方法8】连接两点+作垂线.............................................................7 【方法9】延长相交+连接两点 【方法10】倍长线段...................................................................8 【方法11】截长补短+连接两点..........................................................8 【方法12】构造双垂直等角.............................................................9 【方法13】多种方法作辅助线...........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【方法1】连接两点 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边中，D为射线上一点，过D作交射线于点E，点F为边上一点，，过F作，垂足为点H． （1）求证：；（2）求证：H为中点． 2．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）如图，在等腰中，，，为的中线，垂直平分交于点G，则 ． 3．（24-25八年级下·全国·期末）已知，平分，，，是垂直平分线，求证：． 【方法2】作垂线 1.（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 2.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ． 3.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，则等于 ． 【方法3】作平行线 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点D在边上，点E在边的延长线上，，与交于点F．求证： （1）； （2）过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． （1）如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； （2）在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，在等边三角形中，点在直线上，点在的延长线上，且． （1）如图①，当点为边的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）． （2）如图②，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”）； 证明：过点作，交于点． ， （请把证明过程补充完整） （3）在等边三角形中，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”），并说明理由． 【方法4】延长相交 1.（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知四边形，，，，，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 2.（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，，，点为的中点，若，，，则的长为 ． 【方法5】截长补短 1.（24-25八年级上·江苏常州·期末）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是 ． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，D为边上一点，，若，则的度数为 ． 【方法6】连接两点+作垂线 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，，D为的中点，点E在上，，若P是或上一点，当是以为底的等腰三角形时，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 【方法7】构造一线三直角 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，过点的直线与轴交于点，若，则点的坐标为 ． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点B，与y轴相交于点A，过点A的直线与x轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，连接，则的长为： 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【方法9】延长相交+连接两点 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，点D是外一点，连接，，，， ，，求 ． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【方法10】倍长线段 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为 ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 【方法11】截长补短+连接两点 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，，，．若点在四边形内部，则的最小值为 ．（用含，，的代数式表示） 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，以为边作等边，过点作于点，若，，则 ． 【方法12】构造双垂直等角 1．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系的点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为 ． 【方法13】多种方法作辅助线 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①； ②； ③若，则； ④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在中，，，，，若点D在直线上，且，则的长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.13 三角形的证明（常见辅助线13种方法）（专项练习） 第一部分【题型目录】 【方法1】连接两点....................................................................1 【方法2】作垂线......................................................................5 【方法3】作平行线....................................................................8 【方法4】延长相交...................................................................14 【方法5】截长补短...................................................................17 【方法6】连接两点+作垂线............................................................19 【方法7】构造一线三直角.............................................................23 【方法8】连接两点+作垂线............................................................28 【方法9】延长相交+连接两点 【方法10】倍长线段..................................................................31 【方法11】截长补短+连接两点.........................................................34 【方法12】构造双垂直等角............................................................36 【方法13】多种方法作辅助线..........................................................37 第二部分【题型展示与方法点拨】 【方法1】连接两点 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边中，D为射线上一点，过D作交射线于点E，点F为边上一点，，过F作，垂足为点H． （1）求证：；（2）求证：H为中点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质： （1）先证明为等边三角形，再根据以及线段和差证明即可； （2）先证明，则，再根据三线合一即可证明． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴ ∵ ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴ ． ∵ ∴． ∵ ∴； （2）解：连接． 在和中 ∴ ∴． ∵， ∴． 即：H为中点． 2．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）如图，在等腰中，，，为的中线，垂直平分交于点G，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，最后根据勾股定理求得,即可得到结论． 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·期末）已知，平分，，，是垂直平分线，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等的三角形是关键．根据角平分线的性质可以证得，然后根据线段的垂直平分线的性质证得，则可以证明，根据全等三角形的对应边相等证明． 解：证明：连接， 平分，，，即， ． 是垂直平分线， ， 在和中， ， ， ． 【方法2】作垂线 1.（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键．过点作于点，由作图过程可知，为的平分线，可得．由含30度角的直角三角形的性质可得．由题意得，则的面积为． 解：过点作于点， 由作图过程可知，为的平分线， ， ． 在中，， ． 的面积为8， ， ． 的面积是． 故选：C． 2.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 3.（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的外角的性质、含的直角三角形的性质，作交于，由角平分线的性质和平行线的性质可得，由含有的直角三角形的性质可得，由角平分线的性质定理可得． 解：如图，作交于， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分，，， ， 故答案为：5． 【方法3】作平行线 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，在中，，点D在边上，点E在边的延长线上，，与交于点F．求证： （1）； （2）过点D作于点G，写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质，平行线的性质等知识． （1）过D点作交于M点，由平行线的性质得出，，由等边对等角可得出，进而可得出，再由等角对等边得出，进而可得出，再证明，再由全等三角形的性质得出． （2）由全等三角形的性质，由等腰三角形三线合一的性质可得出，进而可得出． 解：（1）证明：过D点作交于M点，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． （1）如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； （2）在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）在点的移动过程中，线段的长度保持不变，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定： （1）根据点为边的中点，运动速度相同可求得的长度，过点作交于点，利用等边三角形得到，根据全等三角形即可求出的长； （2）分类讨论即可 解：（1）①当点为边的中点，且的边长为时， 点与点的运动速度相同，； ②如图，过点作交于点， 为等边三角形，， ，是等边三角形． 由①知：，．． 又， ； （2）在点的移动过程中，线段的长度保持不变．理由如下：设的边长为． ①当点在线段上时， 如图，过点作交于点， 则为等边三角形． ， 同上（1）法可证：， （定值）； ②当点与点重合时，点恰好与点重合，点恰好为的中点， 同样有； ③当点在的延长线上时，如图2②，过点作交的延长线于点， 同法可得．， 当点在移动的过程中，线段的长度保持不变． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）已知，在等边三角形中，点在直线上，点在的延长线上，且． （1）如图①，当点为边的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“”、“”或“”）． （2）如图②，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”）； 证明：过点作，交于点． ， （请把证明过程补充完整） （3）在等边三角形中，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图③，线段与的大小关系是：______（填“”、“”或“”），并说明理由． 【答案】（1）；（2）；证明过程见详解；（3）；理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点．由平行线的性质得出，再利用平行线的性质和等边三角形的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，等量代换可得出． （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，再证明，由全等三角形的性质得出，等量代换可得出． 解：（1）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为： （2）证明：过点作，交于点． ， ， ， ∵是等边三角形且， ∴，，，， ∴是等边三角形，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【方法4】延长相交 1.（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知四边形，，，，，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．延长和交于点，根据题意可推出，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求得，，即可得到答案． 解：延长和交于点，如图， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 2.（24-25八年级上·辽宁·期末）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于点，证明，得出，即可推出结果． 解：如图，延长交于点， ， ， 又平分， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 3.（2025九年级下·全国·专题练习）如图，，，点为的中点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质．延长交于点，根据两直线平行，内错角相等，得出，，根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可证明是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等即可求解． 解：延长交于点，如图： ∵， ∴，． ∵点为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【方法5】截长补短 1.（24-25八年级上·江苏常州·期末）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，则，，之间的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．首先在上截取，连接，可证，根据全等三角形对应边相等可得、，根据可证，根据等角对等边可知，所以可证． 解：如下图所示，在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，D为边上一点，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，延长至，使得，则，结合三角形外角的定义及性质得出，由三角形内角和定理计算得出，从而可得，结合题意可得，即可得解． 解：如图：延长至，使得，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法6】连接两点+作垂线 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，过作于，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：连接，过作于， 平分，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 与的差为， ， ， 故选：A 2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，，D为的中点，点E在上，，若P是或上一点，当是以为底的等腰三角形时，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可． 解：∵，，， ∴，， ∵当是以为底的等腰三角形时， 当点P在上时， ∵， ∴， ∴； 当点P在上时， ∵，D为的中点， ∴， 过D作于G，于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵于G，于H，， ∴， ∴， 当点P在上时， 同理证得， ∴， ∴， 故答案为：或或． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，利用全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线， ∴， 过点D作于点G， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 故答案为：． 【方法7】构造一线三直角 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，过点的直线与轴交于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过作于点，分别过作轴于点，轴于点，过作轴于点，交于点，交于点，证明，则，从而，所以，，设，，，则，从而求出，，，点，设直线解析式为，求出直线解析式为，然后根据一次函数的性质即可求解． 解：如图，过作于点，分别过作轴于点，轴于点，过作轴于点，交于点，交于点， 则，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵、， 设，，，则， ∴， ∴，，， 联立，解得：，，， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解方程组等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 解：过A作于H，过E作于F，    ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点B，与y轴相交于点A，过点A的直线与x轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，连接，则的长为： 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，求得D点的坐标是解题的关键． 过点D作轴，交y轴于E，交过C点与y轴平行的直线于F，首先求得A、B的坐标，然后证得（AAS），得到，故设，利用勾股定理求得，进一步求得． 解： 解：过点D作轴，交y轴于E，交过C点与y轴平行的直线于F， ∵直线的解析式为，与x轴相交于点B， ∴B点坐标为点坐标为， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（AAS）， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键，作交的延长线于点,由是的角平分线，得,则,进而即可根据“”证明,得,最后利用三角形面积公式即可得解. 解：如图，作交的延长线于点, ，是的角平分线， ,, , ,， , 在和中， , , , ， 故答案为：． 【方法9】延长相交+连接两点 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，点D是外一点，连接，，，， ，，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，合理的作出辅助线是解题的关键；构造，延长交于E， 连接，延长交于F，再证明，然后证明，利用勾股定理即可得出结论． 解：如图所示，构造，延长交于E， 连接，延长交于F， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，； ∵， ， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】33 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【方法10】倍长线段 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 解： 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为： 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键．延长到，使得，连接，过点作交于点，则得出，再证明，求出、的长，最后由勾股定理求出的长与的长即可． 解：延长到，使得，连接，如图所示： ， ， ，， ， 如上图，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【方法11】截长补短+连接两点 1．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，，，．若点在四边形内部，则的最小值为 ．（用含，，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，连接、，则与交于点P，延长，截取，连接，证明为等边三角形，得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，根据两点之间线段最短，得出与的交点P即为所求，求出结果即可． 解：连接、，则与交于点P，延长，截取，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴与的交点P即为所求， ∴的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，以为边作等边，过点作于点，若，，则 ． 【答案】8.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，在上截取点，使得，连接，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，证明可得，，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 解：如图，在上截取点，使得，连接， ， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【方法12】构造双垂直等角 1．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系的点C处，三角板两直角边落在x轴，y轴的点A，B处，已知点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 过C作轴于点D，轴于点E，证，得即可解决问题． 解：如图，过C作轴于点D，轴于点E，则， ∵点， ∴， 由题意得是等腰直角三角形，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【方法13】多种方法作辅助线 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①； ②； ③若，则； ④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质，连接，作于，于，则，证明，即可判断①；作交于，证明，得出，结合，得出，即可判断②；作于，设，则，，由②可得，从而可得，即，证明，，由②可得：，从而可得，即可判断③；作于，于，交于，设，则，， 由②可得，，，，求出，从而可得，即可判断④． 解：①如图，连接，作于，于，则， ， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图：作交于， ， 则，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③如图，作于， ∵， ∴设，则， ∴， 由②可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由②可得：， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④如图，作于，于，交于， ∵， ∴设，则，， 由②可得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，在中，，，，，若点D在直线上，且，则的长为 ． 【答案】6或12 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握含直角三角形的性质，学会分类讨论是解题的关键； 分①点D在线段时，②点D在线段延长线上时， ③点D在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 解：∵，，，， ∴， ①点D在线段时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②点D在线段延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③点D在线段延长线上时， 此时，即，故不符合题意，舍去， 综上，的长为6或12． 故答案为：6或12 1 学科网（北京）股份有限公司 $$