专题1.14 三角形的证明（全章中考常考考点分类专题）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.14 三角形的证明（全章中考常考考点分类专题）（专项练习） 第一部分【题型目录】 【知识点一】等腰三角形 【考点1】等边对等角................................................................1 【考点2】三线合一..................................................................2 【考点3】等腰三角形的性质与判定....................................................3 【考点4】等边三角形的性质与判定....................................................4 【考点5】含30度的直角三角形.......................................................4 【知识点二】直角三角形 【考点6】直角三角形两锐角互余......................................................5 【考点7】全等性质+HL+勾股定理......................................................6 【知识点三】线段垂直平分线 【考点8】线段垂直平分线性质........................................................7 【考点9】线段垂直平分线性质与判定..................................................7 【知识点四】角平分线 【考点10】角平分线的性质...........................................................8 【考点11】角平分线的性质与判定.....................................................9 【知识点五】尺规作图中的求值 【考点12】等腰三角形..............................................................10 【考点13】直角三角形..............................................................11 【考点14】线段垂直平分线..........................................................11 【考点15】角平分线................................................................12 第二部分【题型展示与考点点拨】 【知识点一】等腰三角形 【考点1】等边对等角 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，延长至，使得，将沿翻折，使点落在点处，连接，求的长（   ） A．1 B． C．2 D． 3.（24-25八年级上·河北保定·期末）将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是 ． 【考点2】三线合一 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 【考点3】等腰三角形的性质与判定 1．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，点C在边上，且，，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P 的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【考点4】等边三角形的性质与判定 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海·开学考试）如图，已知直线交轴负半轴于点A，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为 ． 【考点5】含30度的直角三角形 1．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，，则（   ） A． B．10 C．15 D．20 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，在的一边上取一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿另一条边运动，设点的运动时间为秒，则当是直角三角形时，的值为 ． 【知识点二】直角三角形 【考点6】直角三角形两锐角互余 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，（点D在边上），，则 ． 【考点7】全等性质+HL+勾股定理 1．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．（填序号）    2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，点分别在上，且，过点作，垂足为点，则与的长度之比为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在和中，，，，则点A，D距离是 ． 【考点8】线段垂直平分线性质 1．（2020·青海·中考真题）如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ． 2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，为等边三角形，，为的角平分线，点E，F分别为线段，上的动点．当最小时，则的长为 ．（用含的式子表示） 【考点9】线段垂直平分线性质与判定 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，分别是边的中点，是上的动点，的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为 ． 【知识点四】角平分线 【考点10】角平分线的性质 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【考点11】角平分线的性质与判定 1．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与另外一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 【知识点五】尺规作图中的求值 【考点12】等腰三角形 1．（2023·甘肃武威·中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，平分，按下列要求作图：（1）以点C为圆心、适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；（2）以点M为圆心、长为半径画弧，交于点F；（3）以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点B在直线同侧；（4）作直线交于点N．给出下面四个结论： ①； ②； ③若，则是等边三角形； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有 ．    【考点13】直角三角形 1．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，∠ABC＝90°，，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF的长为 ． 【考点14】线段垂直平分线 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ． 【考点15】角平分线 1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作，垂足为点．若的面积为9，，，则的长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.14 三角形的证明（全章中考常考考点分类专题）（专项练习） 第一部分【题型目录】 【知识点一】等腰三角形 【考点1】等边对等角................................................................1 【考点2】三线合一..................................................................4 【考点3】等腰三角形的性质与判定....................................................7 【考点4】等边三角形的性质与判定...................................................10 【考点5】含30度的直角三角形......................................................14 【知识点二】直角三角形 【考点6】直角三角形两锐角互余.....................................................17 【考点7】全等性质+HL+勾股定理.....................................................19 【知识点三】线段垂直平分线 【考点8】线段垂直平分线性质.......................................................23 【考点9】线段垂直平分线性质与判定.................................................26 【知识点四】角平分线 【考点10】角平分线的性质..........................................................29 【考点11】角平分线的性质与判定....................................................32 【知识点五】尺规作图中的求值 【考点12】等腰三角形..............................................................36 【考点13】直角三角形..............................................................38 【考点14】线段垂直平分线..........................................................41 【考点15】角平分线................................................................44 第二部分【题型展示与考点点拨】 【知识点一】等腰三角形 【考点1】等边对等角 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，延长至，使得，将沿翻折，使点落在点处，连接，求的长（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．连接交于点，由折叠的性质得出，，由勾股定理求出的长，进而由勾股定理求得，，再证明，则可由勾股定理求出的长． 解：连接交于点， 将沿翻折，使点落点处， ，，， ∴， 在中，， ， 设，则， ∵， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 故选：A． 3.（24-25八年级上·河北保定·期末）将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 解：是等腰直角三角形， ∴， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：24． 【考点2】三线合一 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，先根据等腰三角形三线合一的性质可得，则，再由等边对等角得，最后通过三角形的外角性质即可求解，然后再运用角的和差即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“”可证和全等，可得，即可求解． 解：如图，连接， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 【考点3】等腰三角形的性质与判定 1．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    2．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，点C在边上，且，，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键． 根据已知条件得到，，求得，得到，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，与联立即可得到结论． 解：∵在中，， ∴，，直线的解析式为， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，四边形周长最小，， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ， 得， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查坐标与轴对称，作点关于直线的对称点，连接，易得与直线的交点即为点，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 解：∵， ∴， 作点关于直线的对称点，连接，则， ∵轴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45． 【考点4】等边三角形的性质与判定 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 解：（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点，连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论． 解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接， ∴， ∴， ∴点P就是使的值最大的点， 已知为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级下·上海·开学考试）如图，已知直线交轴负半轴于点A，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 解：直线交轴负半轴于点A，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， 取斜边的中点D，连接， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点C在x轴正半轴上时，， ； ②当点C在x轴负半轴上时，， ． , 故答案为：或. 【考点5】含30度的直角三角形 1．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，，则（   ） A． B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么，求出与的长度是解题的关键． 解：是的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，在的一边上取一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿另一条边运动，设点的运动时间为秒，则当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，两种情况求出剩下的那个内角的度数为30度，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 解：分两种情况， 当，如图， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 当，如图， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或8， 故答案为：2或8． 【知识点二】直角三角形 【考点6】直角三角形两锐角互余 1．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，点，分别在，上，将沿折叠得，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质．首先根据平行的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据邻补角的定义可得，根据折叠的性质可得． 解：如下图所示， ， ， ， ， ， 根据折叠的性质可知． 故选：A ． 3．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，（点D在边上），，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，证明是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余求出，，进而可得，则，然后根据含30度角的直角三角形的性质求出即可． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【考点7】全等性质+HL+勾股定理 1．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．（填序号）    【答案】①②④ 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，点分别在上，且，过点作，垂足为点，则与的长度之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的混合运算．连接，证明，推出，求得，证明是等边三角形，设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，，， 由勾股定理求得， ∵，，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在和中，，，，则点A，D距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．根据证明，过点A作，根据勾股定理求出，运用等积法求出，由全等三角形的性质可得A，D之间的距离． 解：在中，，，， ∴， 如图，过点A作于点E， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴A，D之间的距离． 故答案为：． 【考点8】线段垂直平分线性质 1．（2020·青海·中考真题）如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解． 解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，的周长是， ． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可． 解：∵垂直平分， ∴， ∴ 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，为等边三角形，，为的角平分线，点E，F分别为线段，上的动点．当最小时，则的长为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．连接，先根据等边三角形的性质可得，垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当点共线，且时，的值最小，然后根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 解：如图，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵为的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短、垂线段最短可知，当点共线，且时，的值最小， ∴此时， 即当最小时，的长为， 故答案为：． 【考点9】线段垂直平分线性质与判定 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 解：（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，分别是边的中点，是上的动点，的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理解三角形、求线段和的最值等知识点，通过作辅助线、将转化为是解题的关键． 连接，由题意可得,即是的垂直平分线，即,将转化为，根据三角形三边关系知，故当P、E、C在一条直线时，取最小值，然后解直角三角形求出的长度即可． 解：如图，连接交BD于点， ∵中，，D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 根据三角形两边和大于第三边可知，即当P、E、C在一条直线时，取最小值，最小值为， ∵中，，E是的中点， ，， ， ∴的最小值为为． 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形性质及垂直平分线的判定与性质，根据等边三角形的性质以及已知条件可得是的垂直平分线，根据三线合一可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴， 又∵ ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【知识点四】角平分线 【考点10】角平分线的性质 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，，的平分线交于点，若与的差为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，过作于，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：连接，过作于， 平分，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 与的差为， ， ， 故选：A 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键．如图，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分，，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【考点11】角平分线的性质与判定 1．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定． 解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确； ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠CGF=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确；    分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ ∵BD=CE ∴AM=AN ∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD． 故③错误；    ∵平分∠BFE， ∴ 故④正确． 故答案为C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与另外一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查角角平分线的性质，平行线的性质，解答本题的关键是证明平分 过P作于N，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 解：过P作于N， 由题意得：， ， 平分， ， ， ， ， ， 、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据点在内，且到三边的距离相等，得到点为三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 解：如图： ∵点在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：120 【知识点五】尺规作图中的求值 【考点12】等腰三角形 1．（2023·甘肃武威·中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图和等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解，利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 3.（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，平分，按下列要求作图：（1）以点C为圆心、适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；（2）以点M为圆心、长为半径画弧，交于点F；（3）以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点B在直线同侧；（4）作直线交于点N．给出下面四个结论： ①； ②； ③若，则是等边三角形； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有 ．    【答案】①②④ 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定等知识．由作图可知，推出，证明，推出，再证明，推出可得结论． 解：由作图可知，故①正确， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴，故②正确， 若，无法判断是等边三角形，故③错误， 若，则有， ∴，， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 【考点13】直角三角形 1．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 解：∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点拨】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 2．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，邻补角的性质，由作图可得，由直角三角形的性质可得，进而根据等腰三角形的性质得到，最后根据邻补角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：由作图可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（21-22八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，∠ABC＝90°，，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF的长为 ． 【答案】2 【分析】先判断为直角三角形，再证明,由全等性质求得BF=8，再相减可得 解：， ， 为直角三角形， ， ∵ CF⊥ BE， ， 又， ， 是以B为圆心，BC长为半径的圆弧的半径， ， 在和中， ， （AAS）， ， ， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性质，找对应边和找对应角是解题关键． 【考点14】线段垂直平分线 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，数轴上点分别对应1，2，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的作图和性质、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得：，，利用勾股定理求出，即可求解． 解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴点M对应的数是， 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点、，直线与相交于点，过点作，垂足为点，与相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出． 解：连接，如图， 由作法得垂直平分， 点为的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点15】角平分线 1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图-基本作图，由作法得， 平分， 再证明得到， 接着利用三角形的内角和定理得到，即可求解． 解：由作法得， 平分， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选： B． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作，垂足为点．若的面积为9，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积，得到是的平分线是解答的关键．根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 解：过F作于H，如图， 由作图过程得到是的平分线，又，， ∴， ∵，的面积为9， ∴， 解得， 故答案为：4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$