专题08 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题08 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型 模型一：等腰三角形的存在性问题 1 模型二：直角三角形的存在性问题 7 模型三：相似三角形的存在性问题 16 22 模型一：等腰三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法 已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形 （1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求; （2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标: (2)几何法 作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数()的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求值； (2)作出点关于对称轴的对称点，若是等腰三角形，求的值． 2．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D． (1)求该二次函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； (3)连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 3．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第三象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标； (3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 5．（2024·江苏淮安·一模）抛物线的顶点为P，作轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），交抛物线的对称轴于点H，且，则称为该抛物线的顶端三角形． (1)求抛物线的顶端三角形的面积； (2)下列说法正确的有 ；（ 填序号 ） ①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形： ②当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为； ③当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为． (3)抛物线的顶端三角形面积为 ； (4)已知抛物线的顶端三角形面积为2，且点在的内部（含边界），求a的值及b、c的取值范围． 6．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N． (1)直接写出抛物线的函数关系式 ； (2)请用含m的代数式表示线段PN的长 ； (3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； (4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值 ． 模型二：直角三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形 (1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求; (2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求. 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法 分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²; ②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可; (2)几何法 过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型 1．（2023·江苏盐城·一模）如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． (1)求抛物线的解析式和b值； (2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 2．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为． ①求点的坐标； ②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 5．（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、．                                （1）点的坐标为：______； （2）当是直角三角形时，求的值； （3）与有怎样的位置关系？请说明理由． 6．（2023·江苏宿迁·一模）如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接，已知点N为线段上一动点，连接，将沿 翻折到 ． ①当的中点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标； ②当与重叠部分（如图中的）为直角三角形时，求出此时点的坐标． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，连接、，抛物线的顶点为． (1)用a的代数式表示C、D的坐标； (2)当四边形的面积21时，求该函数解析式； (3)当为直角三角形时，求a的值． 9．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 10．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 11．（2023·江苏连云港·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标，C点坐标．    (1)求抛物线的函数关系式和点A坐标； (2)在抛物线上是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接当线段的长度最短时，求出点Q的坐标． 12．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．      (1)_______； (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 模型三：相似三角形的存在性问题 相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式 1．（2024·江苏盐城·二模）已知抛物线：交x轴于点，交y轴于点，顶点为． (1)求出抛物线的解析式； (2)已知抛物线的对称轴为直线，点为抛物线对称轴右侧上一点，过点作的垂线，垂足为，连接，若，求出点的坐标． 2．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线与x轴的负半轴上另一交点为B，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上求一点M，使得的面积与的面积相等，求M点的坐标； (3)若点P是射线上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，抛物线交轴交于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，连接，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作于点E，若，求点P 的坐标； (3)过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当与相似时，点E的坐标为______． 5．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图．抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，A点在对称轴的左侧，B点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的对称轴与直线交于点D，连接，，求的面积； (3)点E为直线上一动点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点F，是否存在点E，使得以点D，E，F为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·江苏苏州·三模）如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点（点在点的右边），与轴负半轴交于点，且经过点，连接、，已知．         (1)求与的数量关系； (2)若抛物线对称轴与线段交于点，抛物线顶点为，连接，若，求的值； (3)连接，将绕平面内的点逆时针旋转后得到对应的，并且点、刚好落在抛物线上，点落在直线上，求的坐标． 7．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 8．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求面积的最大值； (3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 1．（2022·江苏苏州·一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 2．（2023·江苏苏州·一模）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 3．（2023·江苏徐州·一模）如图，二次函数的图像经过点，与轴正半轴交于点，连接，．的顶点，在轴上，，，点．将沿轴向右平移，平移距离为． (1)求二次函数的表达式； (2)向右移动过程中，是否存在点使得是等腰三角形，若存在，请求出的值．若不存在请说明理由； (3)①当点首次落在抛物线上，求的值．②当抛物线落在内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 4．（2022·江苏泰州·一模）如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(x1，0)，点C(x2，0)，且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E(m，0)是x轴上一动点，过点E作EP⊥x轴于点E，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式． (2)如图②，直线EP交直线AB于点D，连接PB． ①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标； ②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请求出m的值． (3)如图③，点Q是直线EP上的一动点，连接CQ，将线段CQ绕点Q逆时针旋转90°，得到线段QF，当m＝1时，请直接写出PF的最小值． 5．（2022·江苏无锡·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点Q在抛物线上且位于线段BC下方的一个动点（不与点B，C重合），求当△BCQ面积的最大时，点Q的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2022·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 7．（2022·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，与轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若． (1)求点的坐标； (2)点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方连接PA、PC，若是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 8．（2022·江苏宿迁·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标． 9．（2021·江苏泰州·一模）已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）． (1)当a＝1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标； (2)已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点）， ①若△BMN是等腰三角形，求a的值； ②当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？ 10．（2022·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线． (1)点A的坐标为　 　； (2)若射线平分，求二次函数的表达式； (3)在（2）的条件下，如果点是线段（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线和抛物线于E、F两点，当m为何值时，为直角三角形？ 11．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)连接，则______； (2)如图2，若经过A、B、C三点，连接、，若与的周长之比为，求该抛物线的函数表达式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接OP，抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求此二次函数的解析式； (2)动点D从点C出发，以每秒个单位的速度在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，连接和，若与的面积相等，求t的值． (3)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2024·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点、和． (1)用含 a的代数式表示b与 t； (2)若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标； (3)若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、． ①直接用表示抛物线的表达式； ②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数与三角形、相似三角形存在性三种常考模型 模型一：等腰三角形的存在性问题 1 模型二：直角三角形的存在性问题 22 模型三：相似三角形的存在性问题 57 85 模型一：等腰三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法 已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形 （1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求; （2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标: (2)几何法 作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数()的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求值； (2)作出点关于对称轴的对称点，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合)、已知两点坐标求两点距离、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）先求点关于对称轴的对称点为，则罗列三边，，，然后分类讨论建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则或， 则点、、的坐标分别为：、、， 在中，， ∴； （2）解：∵点，对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ∴ ∴点关于对称轴的对称点为， 由点、、的坐标得：，，， 当时， 则， 解得：（舍去）； 当时， 同理可得：， 解得：； 当时， 同理可得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，勾股定理求两点之间距离，涉及到等腰三角形的性质、解直角三角形，二次函数的对称性，分类求解是解题的关键． 2．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D． (1)求该二次函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； (3)连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或 【知识点】用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）由,得 在 中,根据( 列方程即可得到根据a的取值范围即可求出的取值范围; （3）证明，并求出的取值范围，分①若；②若 ；③若 ；三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意得: 解得：， 则抛物线的表达式为：， （2）由抛物线的表达式知，点的坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 由点在线段上，设点的坐标为，则， ， ， ， ， 在中, ， ， 整理得 ， ∴当时, 取得最大值； 当 时，取得最小值； ； （3）由抛物线对称性可得, , ∵, ∴, 把代入； 解得 ∴点的坐标为, 设点的坐标为, ∵点在线段上 (含端点) , ∴, ①若, 则, ∵, ∴, 得点与点重合，则点与点重合， ∴点的坐标为； ②若, 则, ∵, ∴, ∴, 即 解得：， ∴点的坐标为； ③若, 则, ∵是的外角, ∴, ∵, ∴, ∵ ∴, ∴, ， 解得： ∴点的坐标为 ； 综上所述，若是等腰三角形，则点的坐标为或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的额性质与判定，二次函数与等腰三角形的存在性问题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分类讨论思想解决问题. 3．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第三象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法即可求抛物线的函数表达式； （2）由可得，设直线为，将代入得直线为，设，则，即得，根据，可得，解得(舍去)或，故，即可得的面积； （3）由（2）知：，直线为，设，则，(1)当时，，解得；(2)当时，，解得或；(3)当时，，解得． 【详解】（1）解：∵，， 根据题意得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由可得， 设直线为，将代入得：， ∴， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得(舍去)或， ， ∴的面积为； （3）解：存在， 由（2）知：，直线为， 设， 则， ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或， ∴或； ③当时，， 解得或(与重合，舍去)， ∴， 综上所述，或)或)或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、两点间的距离公式、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 4．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标； (3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解． 【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得 ，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）令x=0，则y=2，即C（0，2）， ∵，，AB2=25， ∴， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°， ∴∠ACO=∠CBA， 在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图， 则CE=OE=2， ∴∠OCE=45°， ∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ， ∴CE∥PQ， ∵C（0，2），E（2，0）， ∴直线CE的解析式为y=-x+2， 设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1， ∴直线PQ的解析式为y=-x-1， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（6，-7）； （3）设直线AP交y轴于点G，如图， ∵PH∥y轴， ∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF， ∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形， ∵C（0，2），B（4，0）， ∴直线BC的解析式为， 设G（0，m），∵A（-1，0）， ∴直线AF的解析式为y=mx+m， 解方程组，得， ∴点F的坐标是， ∴， 当CG=CF时，，解得：（舍去负值）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，）， ∴PH=； 当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，）， ∴PH=2-=1.5； 当GF=GC时，，解得或m=2（舍去）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，）， ∴PH=； 综上，PH=或1.5或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 5．（2024·江苏淮安·一模）抛物线的顶点为P，作轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），交抛物线的对称轴于点H，且，则称为该抛物线的顶端三角形． (1)求抛物线的顶端三角形的面积； (2)下列说法正确的有 ；（ 填序号 ） ①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形： ②当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为； ③当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为． (3)抛物线的顶端三角形面积为 ； (4)已知抛物线的顶端三角形面积为2，且点在的内部（含边界），求a的值及b、c的取值范围． 【答案】(1)3 (2)①③ (3)当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为 (4)当时，，；当时，， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理， （1）根据顶端三角形的定义，即可求解． （2）①根据抛物线、等腰三角形的对称性，即可判断①，根据顶端三角形的定义判断②和③即可求解； （3）由点P的坐标为，分当和时，分别求得的坐标进而根据三角形的定义即可求解； （4）根据点在的内部（含边界），得出所在直线，根据二次函数的性质求得对称轴，进而得出的坐标，进而确定顶点位置，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴直线此时与x轴重合， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧）， ∴点M和点N关于对称轴对称， ∴， ∴抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形，故①正确； 当时，由于轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧）， ∴一点在定点P的下方， ∵，点P的纵坐标为k， ∴点H的纵坐标为，故②错误； 当时，由于轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧）， ∴一点在定点P的上方， ∵，点P的纵坐标为k， ∴点H的纵坐标为，故③正确； 故答案为：①③； （3）解：∵点P是抛物线的顶点， ∴点P的坐标为， 当时，由（2）的结论可得，点H的坐标为， ∴点M和点N的纵坐标为， 设， 令， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 当时，由（2）的结论可得，点H的坐标为， ∴点M和点N的纵坐标为， 设， 令， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述，当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为； 故答案为：当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为； （4）解：①当时， ∵抛物线的顶端三角形面积为2， ∴， ∴， ∵ ∴点P的坐标为，， ∴，， ∵点在的内部（含边界）， 当在上时，则顶点在轴上，即， 当点与点重合时，，解得：， 当点与点重合时， ，解得：， ∴当在上时，M在N的左侧，则 ∵ ∴ ∴ ∴当时，， ②当时，则 ∵ ∴点P的坐标为，， ∴，， 当在上时，∵，则顶点在轴上，即， 当点与点重合时，，解得：， 当点与点重合时， ，解得：， ∴当在上时， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴当时，， 综上所述：当时，，；当时，，． 6．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N． (1)直接写出抛物线的函数关系式 ； (2)请用含m的代数式表示线段PN的长 ； (3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由； (4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值 ． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)或 【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）先由二次函数解析式求得，C(0，4)，P(m， -+m+4)，证△BMQ∽△BOC，从而求得MQ=，PQ=PM-MQ=，再证△PNQ∽△BMQ，求得PN=，代入即可求解． （3）过点C作CD⊥OC，交直线MP于D，易证四边形OMDC是矩形，从而得PD=MD-PM=4-(-+m+4)= -m，再证∠PCD=∠PCN，从而得到PN=PD，由（2）知：PN=，则有-m=，求解即可； （4）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即可； 【详解】（1）解：设二次函数表达式为：y=a（x+2）（x-3）=a（x2-x-6）=ax2-ax-6a， 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋4 ∴-6a=4，解得：a=-， 则抛物线的表达式为y=-+x+4； （2）解：当x=m，则y=-+m+4， ∴P(m， -+m+4)， 当x=0时，y=4， ∴C(0，4)， ∴OC=4， ∵B(3，0)， ∴OB=3， ∴BC=， ∵PM⊥x轴， ∴PMOC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴，即，， ∴MQ=， ∴PQ=PM-MQ=-+m+4-=， ∵PN⊥BC， ∴∠PNQ=∠BMQ=90°， ∵∠PQN=∠BQM， ∴△PNQ∽△BMQ， ∴，即， ∴PN==； （3）解：过点C作CD⊥OC，交直线MP于D，如图， ∵CD⊥OC，OC⊥OM，PM⊥OM， ∴四边形OMDC是矩形， ∴OCD=∠PDC=90°，MD=OC=4， ∴PD=MD-PM=4-(-+m+4)= -m， ∴∠BCO＋∠PCN+∠PCD＝90° 当∠BCO＋2∠PCN＝90°时， 则∠PCD=∠PCN， ∴PD=PN， 由（2）知：PN=， ∴-m=， 化简得：， 解得：，， ∵点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m， ∴m=， ∴当m=时，在第一象限的抛物线上存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°； （4）解：存在，理由： 点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、(3，0)、(0，4)， 则AC=，AB=3-(-2)=5，， ①当AC=AQ时，如图1， 则AC=AQ=， ∵M(m，0)， ∴AM=m+2， 由（2）知：MQ=， 由勾股定理，得， ∴， 解得：m=或m=0(舍去)， ∴m=； ②当AC=CQ时，如图2， CQ=AC=，则BQ=BC-CQ=5-， 由勾股定理，得， 即， 解得：m=或m=(不符合题意，舍去)， ∴m=； ③当CQ=AQ时，点Q在AC的垂直平分线上， ∵BC=AB=5， ∴点B在AC的垂直平分线上， ∴点Q与点B重合，不符合题意， ∴CQ=AQ此种情况不存在； 综上，△ACQ为等腰三角形时，m=或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与了二次函数几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．本题属二次函数与几何图形综合题目，难度较大，熟练掌握二次函数图象性质，相似三角形判定与性质，勾股定理是解题的关键． 模型二：直角三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形 (1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求; (2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求. 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法 分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²; ②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可; (2)几何法 过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型 1．（2023·江苏盐城·一模）如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． (1)求抛物线的解析式和b值； (2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)存在，点P的坐标为或 (3)n的取值范围为 【分析】（1）根据题意可得点A坐标，然后利用待定系数法可求抛物线解析式以及b值； （2）求出点B坐标，由直线的解析式可得，分两种情况：当时，当时，分别求出点P的横坐标即可； （3）分别求出直线过点时n的值以及直线与抛物线有唯一公共点时n的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交点为， ∴，， ∴， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 将代入得， 解得； （2）解：存在； 令， 解得，， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， 当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1， 把代入得， ∴此时， 当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点， ∴点E的横坐标为， ∴点P的横坐标为， 把代入得， ∴此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或； （3）解：将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为， 当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，可得， 即只有一个实数解， ∴， 解得； ∴若直线与该新图象恰好有四个公共点，此时n的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，二次函数图象与几何变换等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 2．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或或 【分析】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标； （2）用待定系数法即可求解函数解析式； （3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可． 【详解】（1） 解：∵点，即． ∵， 在中，根据勾股定理得， 即点B坐标为． （2） 把分别代入中， 得，解得． ∴直线解析式为； 把、、分别代入得 ，解得． ∴抛物线的解析式是． （3） 在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式是， ∴抛物线对称轴为直线． 设点P坐标为． ①当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ②当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ③当时，有． ∵，，， ∴． 解得：，， ∴， ． 综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏． 3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为． ①求点的坐标； ②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 【答案】(1) (2)①；②0或或 【分析】（1）根据一次函数解析式求得的坐标，进而得出的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）①过作轴交于，设，则，表示出△的面积，根据其面积为，建立方程，解方程，即可求解； ②若为直角顶点，则与点重合，即，此时点到抛物线对称轴的距离为；若为直角顶点，设，证明，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：当时，，解得，则，， 当时，，则， 点为的中点， ， 把，代入 得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）①过作轴交于，如图， 设，则， ∵ 整理得，解得， ∴； ②抛物线解析式为， 抛物线的顶点为， ，，， ， ， 若为直角顶点，则与点重合，即，如图， 此时点到抛物线对称轴的距离为； 若为直角顶点，如图， 过点作轴，于，于， ， ， ， 设，则：， ， ， ， ， ， 点坐标为或； 若点坐标为，则点到抛物线对称轴的距离为， 若点坐标为，则点到抛物线对称轴的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，面积问题，勾股定理解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， （2）解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键． 5．（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交轴于点、，交轴于点，它的对称轴交轴于点．过点作轴交抛物线于点，连接并延长交轴于点，交抛物线于点．直线交于点，交抛物线于点，连接、．                                （1）点的坐标为：______； （2）当是直角三角形时，求的值； （3）与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)(1,0)；(2) 或；(3)平行，理由见解析 【分析】(1)根据二次函数的对称轴为，代入即可求出E点坐标； (2)将ED、AF的解析式用的代数式表示，然后由DE解析式令y=0求出F点坐标，由AF解析式令y=求出H点坐标，再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可； (3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标，直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标，最后计算直线GK的和直线HE的相等即可求解． 【详解】解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为， ∴E点的坐标为(1,0)， 故答案为(1,0)． (2)由题意知，C点坐标为(0,3a)，C和D点关于对称轴对称，∴D坐标为(2,3a)， 设直线DE的解析式为y=kx+m，代入E(1,0)和D(2,3a)， 即，解得， ∴直线DE的解析式为y=3ax-3a， 令y=0，∴F(0,-3a)， 令中，即：， 解得，∴A(-1，0)， 设直线AF的解析式为y=bx+t，代入A(-1,0)，F(0,-3a), 即，解得， ∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a， 令y=-3ax-3a中y=3a，解得H点坐标(-2，3a)， ∴H(-2，3a)，E(1，0)，F(0,-3a) 故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²， EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²， FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4， ∵△EFH为直角三角形，∴分类讨论谁是直角顶角， 情况一：∠E为直角顶角时，则EF²+EH²=FH²， 即：1+9a²+9+9a²=36a²+4，解得：a=，又a>0，故a=； 情况二：∠F为直角顶角时，则EF²+FH²=EH²， 即：1+9a²+36a²+4=9+9a²，解得：a=，又a>0，故a=； 情况三：∠H为直角顶角时，则FH²+EH²=EF²， 即：36a²+4+9+9a²=1+9a²，此时无解； ∴综上所述，a的值为或； 故答案为：或； (3)联立直线DF与抛物线的解析式： ，整理得：， 解得，，∴G点坐标为(-3,-12a)， 同理，联立直线AF与抛物线的解析式： ，整理得：， 解得，，∴K点坐标为(6,-21a)， ∴直线GK的， 直线HE的， 即直线GK的k值与直线HE的k值相同， ∴GK与HE平行． 故答案为：与有怎样的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与一次函数的交点坐标的求法，一次函数的解析式，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质，学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键． 6．（2023·江苏宿迁·一模）如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先求出直线的解析式，设点，则，则，，根据，列出关于m的方程，解方程即可； （3）过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，证明，得出，设点，则，，得出，求出s的值即可． 【详解】（1）解：把点、代入得：， 解得： ∴， ∴顶点坐标为：； （2）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴； （3）解：过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， 当时，解得：或； 当时，解得：或； 综上分析可知，点M的横坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 7．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接，已知点N为线段上一动点，连接，将沿 翻折到 ． ①当的中点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标； ②当与重叠部分（如图中的）为直角三角形时，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) ①点G的坐标为或或 ②当或或时，为直角三角形 【分析】 （1）将，代入，求出，即可； （2）①设的中点是P，依题意，点P关于直线对称的点其轨迹在以点M为圆心，以为半径的圆上，设点，根据及两点距离公式列关于的方程，解这个方程，从而求得点G的坐标； ②分三种情况讨论：当时，为直角三角形，，，直线的解析式为，由边的关系可求，，从而可求的坐标；当时，为直角三角形，与重合；当时，也是直角三角形． 【详解】（1） 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）①如图，设的中点是P，依题意，点P关于直线对称的点其轨迹在以点M为圆心，以为半径的圆上， 点G在抛物线上， 设点， 由（1）得直线的解析式为， ， ，即， ， ， 整理得， 或或， 将，，分别代入， 得到，，， 或或， 故答案为：点G的坐标为或或； ②情况1：当时，为直角三角形， 对称轴， ，， ， 直线的解析式为， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况2：当时，为直角三角形， ，， 与重合， ； 情况3：当时，也是直角三角形，此时． 综上所述：当或或时，为直角三角形． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，翻折变换，直角三角形的性质，两点距离公式等，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关数学知识分析和解决问题． 8．（2024·江苏扬州·一模）如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，连接、，抛物线的顶点为． (1)用a的代数式表示C、D的坐标； (2)当四边形的面积21时，求该函数解析式； (3)当为直角三角形时，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算等，分类求解是本题解题的关键． （1）令，则，；得到抛物线的对称轴为：直线，将代入解析式得：，即可求解； （2）由，即可求解； （3）①当时，证明，即可求解； ②当时，同理可解． 【详解】（1）解：令，则， ； 令，则， 解得：，． ，． 抛物线的对称轴为：直线， 将代入解析式得：． ； （2）解：连接， 则， 解得：， ； （3）解：①当时，过作轴，交轴于点，过作，垂足为． ，， ， ， ， ，即， 解得：（负值舍去）； ②当时，如下图， 同理可得：， ，即， 解得：（负值舍去）． 综上，或． 9．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或． 【分析】（1）由顶点公式求出即可； （2）先按照直线上下方分类，按照角度要求找出点P所在的直线，得到直线与抛物线交点为点P，利用特点求其正切值，可设点P的坐标，结合点C坐标，表示出值，再求出点P坐标； （3）先按照图中点Q的大致位置确定等腰直角三角形只有3种位置，再由等腰直角三角形构造三垂直全等，最后设长度表示出点Q、P坐标，代入函数求出点Q坐标． 【详解】（1），， 故； （2）， 点P存在如下图直线上下两种位置，，    ， 由点P在抛物线上，设点， 作于点， ， 解得或， 或； （3）当点Q在x轴上方左侧抛物线上时，，点Q不存在； 当点Q在x轴上方右侧抛物线上时，，点Q不存在； 当点Q在x轴下方时，存在以下三种情况： 当点Q在轴左侧时， 分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，    由等腰直角三角形得， ，， 设，， 则， 将点G代入得， 得，代入得：，得， ； 当点Q在轴右侧，点C下方时， 分别过点G、B作水平线交过Q的竖直线于N、M， 同理可得，， 将点G代入得， 得，代入得：， ； 当点Q在轴右侧，点C上方时， 分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，    同理可得，， 将点G代入得， 得，代入得：，得； 综上所述点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数于几何结合的综合问题，包含特殊角和特殊三角形．通常求解抛物线上的点使角为特殊角，先找到满足角度关系的射线，目标点为抛物线与射线交点采用联立方程求出，当角度具有特殊情况时可结合相似、三角函数、全等构造出适合求出射线的方式，有时也可利用动点所在函数直接设动点坐标，表述出长度，来计算几何特性．构造等腰直角三角形时通常采用三垂直得到点的边长关系，再通过设元表示坐标代入函数求出点坐标． 10．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为两点分别在边上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，见解析 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在． （3）由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意舍去．当时，，此时的面积为3，符合题意．由题意可求得．取的中点，在中可求得．在中可求得．易知当三点共线时，取最小值，最小值为． 【详解】（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标． ∵，点和点关于直线对称． ∴． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴，抛物线． ∴当时，可得． ①当时，如图1，过作轴，垂足为． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． ∵直线轴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴． 解得或． ∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意． 将代入， 得． 　　   　　   ②当时，如图2，过作，交的延长线于点． 同理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴．解得或． ∵， ∴．此时符合题意． 将代入，得． ③当时，此情况不存在． 综上，所对应的函数表达式为或． （3）如图3，由（2）知，当时，， 此时 则，，则的面积为1，不合题意舍去． 当时，， 则， ∴，此时的面积为3，符合题意 ∴． 依题意，四边形是正方形， ∴． 取的中点，在中可求得． 在中可求得． ∴当三点共线时，取最小值，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键． 11．（2023·江苏连云港·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标，C点坐标．    (1)求抛物线的函数关系式和点A坐标； (2)在抛物线上是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接当线段的长度最短时，求出点Q的坐标． 【答案】(1)点坐标 (2)点的坐标是或 (3)点Q的坐标是或时，EF最短 【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式中可得关于的二元一次方程组，解出的值得到抛物线的函数关系式，再令，求解即可得出点A的坐标； （2）分两种情况讨论：或，再利用为等腰直角三角形，作垂直构造新的等腰直角三角形，最后设点坐标列出方程求解即可； （3）根据题意画出图形，连接，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，因此当线段的长度最短时，线段最小，由垂线段最短可知当时，最小，此时由等腰三角形的性质可得点D为的中点，可得 ，再由得，即，以此即可求出点Q的坐标． 【详解】（1）将B点坐标，C点坐标代入得： ， 解得， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标 （2）①当时，过点P作轴于M，如图1，    ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 即； ②当时，过点P作轴于N，设AP与y轴交于点F，如图2，则有轴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 即． 综上所述，点的坐标是或； （3）连接，    则四边形为矩形， ∴， ∴当线段的长度最短时，线段最小， ∴当时，最小， ∵为等腰直角三角形，， ∴点D为的中点， ∴ ∵轴， ∴， ∴为三角形AOC的中位线， 令得：， 解得， 当点Q的坐标是或时，最短． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，解题关键是：（1）利用点的坐标，正确求出函数解析式；（2）熟知等腰三角的性质，并利用分类讨论思想解决问题；（3）利用矩形的性质将线段转化为，利用垂线段最短来确定的最小值． 12．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．      (1)_______； (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）把代入即可求解； （2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线， 平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解； （3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， 故答案为； （2）解：过点D作DM⊥OA于点M，    ∵， ∴二次函数的解析式为 设， ∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，， ∴， 解得m=或m=8（舍去）， 当m=时，， ∴， ∵， ∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为， 把代入得， 解得a=3或a=（舍去）， ∴平移后得抛物线为 ∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降， 在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小， ∴； （3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为， ∵顶点为在上， ∴， ∴平移后的抛物线为，顶点为， ∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1， ∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q， ∴， ∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方， ∴∠PCQ与∠CQP都是锐角， ∵是直角三角形， ∴∠CPQ=90°， ∴， ∴化简得， ∴p=1（舍去），或p=3或p=， 当p=3时，， 当p=时，， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 模型三：相似三角形的存在性问题 相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式 1．（2024·江苏盐城·二模）已知抛物线：交x轴于点，交y轴于点，顶点为． (1)求出抛物线的解析式； (2)已知抛物线的对称轴为直线，点为抛物线对称轴右侧上一点，过点作的垂线，垂足为，连接，若，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，用待定系数法求解函数解析式，相似三角形的判定和性质，即可． （1）把，，三点的坐标代入中，即可； （2）根据函数解析式求出对称轴，点，过点作交于点，设点，则点，求得，；根据，分类讨论：或，求出，即可． 【详解】（1）∵点，，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为：，顶点坐标点， 设点， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， 当， ∴， 整理得：， ∴或， 当时，解得：； 当时，解得：； ∵点在抛物线的右侧， ∴， ∴综上所述，， ∴点； 当， ∴， 整理得：， ∴或 ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∵点在抛物线的右侧， ∴， ∴， ∴点， 综上所述，点或． 2．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点E的横坐标为2或 【分析】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析数，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到； （3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， 设在上的高为，在上的高为， ∵与的面积相等， ∴， ， 点的纵坐标为， 当时，即， 解得（舍去），， ； （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时， 则， ， 解得或， 且， ， 当时， 则， ， 解得或不合题意舍去， 点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线与x轴的负半轴上另一交点为B，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上求一点M，使得的面积与的面积相等，求M点的坐标； (3)若点P是射线上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用直线解析式求出点、的坐标，从而得到、，再根据求出，从而得到点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）先求出设，得，求出t的值即可； （3）根据点、的坐标求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，，再根据点、的坐标求出，然后分①和是对应边时，和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，过点作轴于，求出、，再求出的长度，然后写出点的坐标即可；②和是对应边时，和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，过点作轴于，求出、，再求出的长度，然后写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 令，则， 点，， ， ， ， 点， 把点、、的坐标代入抛物线解析式得，， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵二次函数，对称轴为：，顶点坐标为， ∴设 ∴， ∴或， ∴或； （3），， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ①和是对应边时，， ， 即， 解得， 过点作轴于， 则， ， 点的坐标为； ②和是对应边时，， ， 即， 解得， 过点作轴于， 则， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）要分情况讨论． 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，抛物线交轴交于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，连接，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作于点E，若，求点P 的坐标； (3)过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当与相似时，点E的坐标为______． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）求出C点坐标，把B，C点坐标代入二次函数解析式求解即可； （2）过点E作轴，过点P作，先证，由相似的性质可得，求出直线的解析式，设，由等腰三角形的性质可得，进而可得，把P点代入二次函数即可求出t，进而求出P点坐标； （3）分为和两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：， ， ， 把代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）过点E作轴于M，过点P作于N， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 设点 ， ， ， ， ， 点P为线段BC上方抛物线上一动点， ，， 整理得， 解得或 （舍去）， ； （3）如图，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，延长交x轴于H，连接，则轴, 令得，，解得， ， ， ， ， ， 设，则， ， 轴， ， ，， ， 和相似，分为和两种情况， 当时，，，解得或（舍去）， 此时E点坐标为； 当时，，解得或（舍去）， 此时E点坐标为； 综上所述，当与相似时，点E的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线，数形结合思想，分类讨论思想的应用是解题的关键； 5．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图．抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，A点在对称轴的左侧，B点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线的对称轴与直线交于点D，连接，，求的面积； (3)点E为直线上一动点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点F，是否存在点E，使得以点D，E，F为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)或或或 【分析】（1）把点，代入解析式中，即可求解； （2）连接，由点A与点B关于对称轴对称即可得到点A的坐标，从而得到的长，待定系数法求出直线的解析式，从而求得点D的坐标，进而得到的高，根据，结合三角形的面积公式即可解答； （3）分两种情况讨论：①当时，②当时，与相似，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图1所示，连接．        ∵抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵将代入得：， ∴ 设对称轴与x轴的交点为G， ∴． ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图2所示：当时．      ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴点F的纵坐标为1． 将代入抛物线的解析式得；，解得：，， ∵将代入得：， ∴． ∵将代入得：， ∴的坐标为． 如图3所示：当时，    ∵，， ∴． ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵，即， ∴点F在直线上， ∴点F是直线与抛物线的交点． ∵，， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴点或， ∵轴， ∴点E的横坐标为1或4， ∴将代入得， ∴． 将代入得， ∴． 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，三角形的面积，相似三角形的判定，函数图象的交点，综合运用相关知识是解题的关键． 6．（2024·江苏苏州·三模）如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与轴交于、两点（点在点的右边），与轴负半轴交于点，且经过点，连接、，已知．         (1)求与的数量关系； (2)若抛物线对称轴与线段交于点，抛物线顶点为，连接，若，求的值； (3)连接，将绕平面内的点逆时针旋转后得到对应的，并且点、刚好落在抛物线上，点落在直线上，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，，根据，得到，将点代入即可得到结论； （2）根据题意，画出示意图，由（1）知，，得抛物线解析式为：，求出，抛物线对称轴为直线，则，，，，，，由，得到，据此建立关于m的方程求解即可； （3）根据题意画出图形，设抛物线对称轴交于点Q，交x轴于点P，连接，由（2）知．根据逆时针旋转角为可得轴，轴，设点的横坐标设为，则点的横坐标设为，点点的横坐标设为，根据横坐标中点在抛物线的对称轴上求出点的坐标，再证明，求出，由，得到，代入抛物线解析式，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ， ， 将点代入， 则， ， ； （2）解：如图， 由（1）知，， 抛物线解析式为：， 令， ， ， 或， 根据题意得：， 抛物线的对称轴为直线， ， 当时，， ， ，，，， ， ，即， （负值舍去）； （3）解：根据题意画出图形，设抛物线对称轴交于点Q，交x轴于点P，连接， ∵将绕平面内点M逆时针旋转后得到对应的，点落在直线上， ∴轴，轴， 由（2）知． ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点与点D重合， ， 点与点关于抛物线对称轴对称， 点在抛物线对称轴上， 点的横坐标为， 设， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得到， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线， 将点代入得：， ，即， 解得：或（舍去）， ， 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，旋转的性质，二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，对称，三角形全等，三角形相似等知识．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 7．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C．    (1)下列说法正确的是 （填序号）． ①该抛物线开口向上； ②该抛物线与y轴的交点始终在x轴的上方； ③该抛物线的顶点在直线上． (2)如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点，试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值． (3)在（2）的条件下，点E是直线上的一个动点（图3），当时，与相似，求此时抛物线的函数表达式． 【答案】(1)①③ (2)线段的长度是定值 (3) 【分析】（1）由二次项系数判定①，令计算y的值判定②，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定③； （2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点M和点N两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值； （3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点N的坐标，再将点N的坐标代入抛物线解析式求出m得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点M和点N的坐标进行判定三角形是否相似，进而求解． 【详解】（1）由得顶点坐标为，二次项系数为1， ∴开口向上，故①正确，符合题意； 当时，， ∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意； 将顶点坐标代入直线，得，故③正确，符合题意； 故答案为：①③； （2）由，得：， 设，则， ， ， ∴线段的长度是定值． （3）∵， ∴， ， 对直线，当时，， ， 设，则， 解得：或， 或 将代入，得， 解得：或， 当时，， 令时，或， ∴， 由，得：或， ∴，符合条件； ∴， ∴， ∴与不相似，舍去： 当时，， 令时，，无解； 将代入，得， 解得：或， 当时，不符合条件，舍去； 当时，， 由，得：或， ∴， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，时，与相似， 则抛物线的表达式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题． 8．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求面积的最大值； (3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，面积有最大值，为 (3)、或 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案； （3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由得：， 设直线：，将，代入得，解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示： ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示： ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； （3）解：由（1）知，当时，，解得或， ， 当在上方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或（舍去）； 当在下方，即时，如图所示： ， 当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②； 由（1）（2）可知，，，且，， 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 当时，， ， ，即，解得（舍去）或； 综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键． 1．（2022·江苏苏州·一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 【答案】(1)见解析 (2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2−(1+2c)x+c =0，求得点B(c，0)，即可判断△BOC是等腰直角三角形； （2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：令x=0，则y=c， ∴点C(0，c)， 令y=0，则2x2−(1+2c)x+c =0， ∴(2x-1)(x-c)=0， ∴x1=，x2=c， ∵点B在点A右侧， ∴点B(c，0)，点A(，0)， ∴OB=OC=c， ∵∠COB=90°， ∴△BOC是等腰直角三角形； （2）解：y=2x2−(1+2c)x+c=2(x-)2-， ∴点D(，-)， 设DM交x轴于点M， ∵△BOC是等腰直角三角形， ∴∠OBC=45°， ∵点A，B关于DE对称， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠EBA=45°， ∴∠AEB=180°-45°-45°=90°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵EM⊥AB， ∴EM=AB， 当四边形AEBD为正方形时，只需△ABD是等腰直角三角形，且∠ADB=90°， ∵DM⊥AB， ∴AB=2DM， ∵点B(c，0)，点A(，0)， ∴AB=c-， ∵点D(，-)， ∴DM=， ∴c-=， 整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0， ∴c1=，c2=， ∵c>， ∴c=， ∴当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 2．（2023·江苏苏州·一模）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在满足题意的点．或或或或 【分析】（1）把点代入得，联立，得，由抛物线与直线只有一个交点求得b的值，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出点A和点B的坐标，设点Q的坐标是，求出，，，分三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得，解得， 联立， 得， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， 解得或2， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）存在满足题意的点． 联立， 解得或， ∴，， 由抛物线，可知抛物线对称轴为， 设点Q的坐标是， 则，， 由勾股定理，得， 当点为顶角时，，即， 解得或， ∴或； 当为腰，为顶角时，，即， 解得或， ∴或； 当为底时，，即， 解得， ∴． 故满足题意的点坐标为：或或或或． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象和性质、勾股定理求两点间的距离、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 3．（2023·江苏徐州·一模）如图，二次函数的图像经过点，与轴正半轴交于点，连接，．的顶点，在轴上，，，点．将沿轴向右平移，平移距离为． (1)求二次函数的表达式； (2)向右移动过程中，是否存在点使得是等腰三角形，若存在，请求出的值．若不存在请说明理由； (3)①当点首次落在抛物线上，求的值．②当抛物线落在内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，0或3或或 (3)①；② 【分析】（1）根据正切的值得出，然后待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，分当为底边时，当为底边时，当为底边时三种情况分别讨论即可求解； （3）①根据题意令，求得的值，进而即可求解； ②根据题意抛物线的对称轴左侧部分与移动后的相交，可得点在点的左侧时符合题意，结合①的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 则， ∵ ∴，则, ∵， 设抛物线解析式为 将,代入，得， 解得： ∴抛物线解析式为 即 （2）存在， ， 当为底边时，设 ∵ ∴ 解得： ∵，点． ∴ ∴ 当为底边时，则， ∴ 解得：， 当为底边时，， 食用油或 ∴或 解得：或， 综上所述，的值为：0或3或或 （3）①∵， 故当时， 解得： 当时，点在抛物线的右侧，舍去， ∴ ②∵满足随的增大而减小时， 即抛物线的对称轴左侧部分与移动后的相交， 当移动到点时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，已知正切求边长，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 4．（2022·江苏泰州·一模）如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(x1，0)，点C(x2，0)，且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E(m，0)是x轴上一动点，过点E作EP⊥x轴于点E，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式． (2)如图②，直线EP交直线AB于点D，连接PB． ①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标； ②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请求出m的值． (3)如图③，点Q是直线EP上的一动点，连接CQ，将线段CQ绕点Q逆时针旋转90°，得到线段QF，当m＝1时，请直接写出PF的最小值． 【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)①点E为（2，0）或（1，0）或（3-，0）；②或5 (3)3 【分析】（1）根据根与系数的关系，求出b，c，进而得出解析式； （2）①由已知得△ADE为等腰直角三角形，则∠PDB=∠ADE=45°，再分情况讨论即可； ②当P在x轴上方时，连接BC，延长BP交x轴于点F，证△BOC∽△FOB，求出F坐标，得出直线BP的解析式，进而求出点P坐标，得出m的值； 当P在x轴下方时，连接BC，设BP与x轴交于点H，求出H的坐标，然后求BP的解析式，然后联立方程组求出P点坐标，得出m的值； （3）当m＝1，得出点E（1，0），P（1，4），过点F作FH⊥PE，利用AAS证△QCE≌△FQH，得出CE=QH，QE=FH，令Q为（1，a），求出点F的坐标为（1+a，a-2），利用两点间距离公式求PF的最小值即可． 【详解】（1）解：∵x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3 ∴b=2，c=3 ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3 （2）解：①抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A(x1，0)、点C(x2，0)，与y轴交于点B， ∴当y=0时，﹣x2+2x+3=0解得x1=3，x2=-1 当x=0时y＝3 ∴A(3，0)，C(-1，0)，B(0，3) ∴△AOB为等腰直角三角形 ∴∠BAO=45° 又EP⊥x轴 ∴△ADE为等腰直角三角形 ∴∠ADE=45° 又∴∠PDB=∠ADE ∴∠PDB=45° 设直线AB的解析式为y=kx+b 则解得 ∴直线AB的解析式为y=-x+3 ∵E(m，0)，直线EP交直线AB于点D ∴设点D为（m，-m+3），点P为（m，﹣m2+2m+3） 点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形，则0＜m＜3 当PD=PB时 △PBD是以P为直角顶点的等腰直角三角形 ∴﹣m2+2m+3-（-m+3）=m 解得m=2或m=0（舍去） ∴点E为（2，0） 当BD=BP时 △PBD是以B为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2 m =﹣m2+2m+3-（-m+3） 解得m=1或m=0（舍去） ∴点E为（1，0） 当DB=DP时 △PBD是以D为顶点的等腰三角形 ∵∠OBD=45° ∴BD=OE=m ∴m=﹣m2+2m+3-（-m+3） 解得m=3-或m=0（舍去） ∴点E为（3-，0） 综上可知，点E为（2，0）或（1，0）或（3-，0） ②当P在x轴上方时 连接BC，延长BP交x轴于点F ∵∠BAO=∠ABO=45° 又∠PBD+∠CBO＝45° ∴∠CBP=90° ∴∠OBF+∠CBO＝90° 又∠BCO+∠CBO＝90° ∴∠OBF=∠BCO ∴△BOC∽△FOB ∴= ∵C(-1，0)，B(0，3) ∴= ∴OF=9 ∴点F为（9，0） 设直线PB的解析式为y=mx+n 则解得 ∴直线PB的解析式为y=-x+3 ∵P，B都在抛物线上 ∴ 解得（舍去） ∴点P为（，） ∴m= 当P在x轴下方时 连接BC，设BP与x轴交于点H ∵∠PBD+∠CBO=45°，∠OBH+∠PBD=45° ∴∠CBO=∠OBH 又OB=OB，∠COB=∠BOH ∴△BOH≌△BOC（ASA） ∴OC=OH=1 ∴点H（1，0） 设直线BH解析式为：y=kx+b ∴解得 ∴直线BH解析式为：y=-3x+3 ∴联立方程组 解得（舍去） ∴点P为（5，-12） ∴m=5 综上可知，m的值为或5． （3）解：当m＝1，得点E（1，0），P（1，4）， 过点F作FH⊥PE 又PE⊥x轴，∠CQF=90° ∴∠CQH+∠FQH=90°，∠CQH+∠QCH=90°° ∠QEC=∠QHF=90° ∴∠FQH=∠QCH ∵线段CQ绕点Q逆时针旋转90°，得到线段QF ∴CQ=QF ∴△QCE≌△FQH（AAS） ∴CE=QH，QE=FH 又E（1，0），C（-1，0） ∴CE=QH =2 令Q为（1，a） QE=FH=a ∴点F的坐标为（1+a，a-2） ∴PF== ∵2＞0 ∴当a=-=3时，PF有最小值，且最小值为3． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转与全等，综合性强，是中考常考题． 5．（2022·江苏无锡·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点Q在抛物线上且位于线段BC下方的一个动点（不与点B，C重合），求当△BCQ面积的最大时，点Q的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)Q（2，-2） (3)（0，）或（0，1）或（0，-1） 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设Q（x，），（0≤x≤4），则P（x，-x+4），得到PQ =，从而求出最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得： ， 解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过点Q作PQ∥y轴，交BC于P，交x轴于N，过点C作CM⊥PQ与M， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴ 解得 ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设Q（x，）（0≤x≤4），则P（x，-x+4）， ∴PQ=-x+4-()=， ∴ ∴当x=2时，最大， ∴Q（2，-2）． （3）解：过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 6．（2022·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)存在，，，，，，，，． 【分析】（1）由的坐标确定出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，确定出点坐标，把与坐标代入抛物线解析式求出的值，确定出抛物线解析式即可； （2）根据两点直角的坐标公式分别求出三边的距离长度，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可； （3）在抛物线的对称轴上存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分三种情况考虑，分别求出的坐标即可． 【详解】（1）解：，即，， 在中，根据勾股定理得：，即， 由，，设抛物线解析式为， 把代入得：， 则抛物线解析式为； （2）解：是直角三角形， ，，， ， ， 是直角三角形； （3）解：存在． 如图所示，分两种情况考虑： 抛物线解析式为， 其对称轴． 当时，△为直角三角形， 直线的ｋ为， 直线ｋ为， 直线解析式为，即， 与抛物线对称轴方程联立得， 解得：， 此时，； 当时，为直角三角形， 同理得到直线的ｋ为， 直线方程为， 与抛物线对称轴方程联立得：， 解得：， 此时，． 综上所示，，或，． 当点为直角顶点时，设，， ，， ， ，即，解得， ，，，． 综上所述，，，，，，，，． 【点睛】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，勾股定理的逆定理，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 7．（2022·江苏扬州·二模）如图，抛物线经过，与轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若． (1)求点的坐标； (2)点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方连接PA、PC，若是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，得到OA=1，对，令x=0，则y=-3，得到C(0,-3)，OC=3，根据轴，得到△AOD∽△BCD，推出，得到BC=2，得到B(2,-3)； （2）把A(-1,0)，B(2,-3)代入，求得a=1，b=-2，得到抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线x=1，设P(1,m)，写出，，,根据是以AC为直角边的直角三角形， 当∠PAC=90°时，，得到，求得；当∠PCA=90°时，，得到，求出；得到，或． 【详解】（1）∵， ∴OA=1， 在中，令x=0，则y=-3， ∴C(0,-3)，OC=3， ∵轴， ∴△AOD∽△BCD， ∴， ∴BC=2， ∴B(2,-3)； （2）把A(-1,0)，B(2,-3)代入，得， ， 解得，， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 设P(1,m)， 则，，, ∵是以AC为直角边的直角三角形， ∴当∠PAC=90°时，， ∴， ∴， 当∠PCA=90°时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数与相似三角形综合、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、相似三角形的判定和性质定理、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． 8．（2022·江苏宿迁·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图2，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作轴交线段AC于E点，连接EO、AD，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)如图3，连接CB，并将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点D的坐标为 (3)N点坐标为或或或 【分析】（1）令，解一元二次方程，结合点A在点B的左侧，即可得出A点坐标； （2）延长DE交x轴于点K，先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，其中，则可表示出点E的坐标和DE的长，再求出S1和S2的含t表达式，从而得出S1-S2的表达式，然后根据二次函数的性质求最大值，并求出此时D点坐标即可； （3）根据C、B两点的坐标得出，则可推出抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，即抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度，根据平移的规律得出新的抛物线，从而求出M点的坐标，设，分两种情况讨论，即①当时，②当时，分别根据腰相等建立关于n的方程求解，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线，与x轴交于A、B两点， 令，得， 解得 ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为； （2）解：如图1， 延长DE交x轴于点K， 抛物线与y轴交于点C， ∴， 设直线AC的函数表达式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线AC的函数表达式为， 设，其中， ∴， ， ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时点D的坐标为； （3）解：∵， ∴， 抛物线沿射线CB方向平移个单位长度， ∴抛物线向右平移2个单位长度，向上平移6个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∵原抛物线的对称轴为直线，设， ①当时，， ∴， ∴或； ②当时，， ∴或 ∴或； 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，二次函数图像的平移，两点间距离公式的等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．（2021·江苏泰州·一模）已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）． (1)当a＝1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标； (2)已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点）， ①若△BMN是等腰三角形，求a的值； ②当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？ 【答案】(1)当a＝1时，该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x，该抛物线的顶点坐标为（1，1） (2)①a=；②当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2，当a≥1时，ON﹣BM的值是常数2． 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式得，将代入，进而用配方法求出该抛物线的顶点坐标； （2）①根据抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N，求得点的坐标为（a+1，0），根据点M的纵坐标为1，代入抛物线解析式求得点M的坐标（a，1），根据当△BMN是等腰三角形，求得． ②当点M的坐标为（1，1）时，M与B重合，则ON+BM与ON﹣BM的值都为2，当点M在点B右侧，此时a＞1，BM＝a﹣1，若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM＝1﹣a，进而即可求解． 【详解】（1）设该抛物线的解析式为， ∵抛物线经过（0，0）、（1，1）两点， ∴， 解得． ∴该抛物线的解析式为 当a＝1时，该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x， y＝﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1）+1＝﹣（x﹣1）2+1． 该抛物线的顶点坐标为（1，1）； （2）①∵点N在x轴上， ∴点N的纵坐标为0． 当y＝0时，有， 解得x1＝0，x2＝a+1． ∵点N异于原点， ∴点N的坐标为（a+1，0）． ∵点M在射线AB上， ∴点M的纵坐标为1． 当y＝1时，有， 整理得出， 解得x1＝1，x2＝a． 点M的坐标为（1，1）或（a，1）． 所以当△BMN是等腰三角形时，如图， 只有，即 a= ②当点M的坐标为（1，1）时，M与B重合， 此时a＝1，BM＝0，ON＝2．ON+BM与ON﹣BM的值都是常数2． 当点M的坐标为（a，1）时， 若点M在点B右侧，此时a＞1，BM＝a﹣1． ∴ON+BM＝（a+1）+（a﹣1）＝2a，ON﹣BM＝（a+1）﹣（a﹣1）＝2． 若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM＝1﹣a． ∴ON+BM＝（a+1）+（1﹣a）＝2，ON﹣BM＝（a+1）﹣（1﹣a）＝2a． ∴当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2， 当a≥1时，ON﹣BM的值是常数2． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2022·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线． (1)点A的坐标为　 　； (2)若射线平分，求二次函数的表达式； (3)在（2）的条件下，如果点是线段（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线和抛物线于E、F两点，当m为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3)当或时，为直角三角形 【分析】（1）把代入，得出a与b的关系，然后令解方程即可； （2）先求出直线的解析式，再根据列方程求出a的值即可； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 当时， ， ∵， ∴，解得． ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴对称轴为直线． 设对称轴与交于点G， ∵， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵轴， ∴，， ∵， ∴， ①当时，， ∵对称轴为直线， ∴此时； ②当时，设直线交x轴于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴H与A重合， ∴此时； 综上，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，两点间的距离公式，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、锐角三角函数是解答本题的关键． 11．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)连接，则______； (2)如图2，若经过A、B、C三点，连接、，若与的周长之比为，求该抛物线的函数表达式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接OP，抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，可得结论； （2）证明，都是等腰直角三角形，由与的周长之比为，推出，由此构建方程求出m即可； （3）求出，判断出点Q的位置，分两种情形，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，可得或， ，， 令，可得， ， ， ， 故答案为：45； （2）， ， ， ， 与都是等腰直角三角形， 与的周长之比为， ， ， ，， ， 解得：或， 当时，位于A的左侧，不符合题意，舍去， 抛物线的解析式为； （3）如图，连接，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 由（2）可知， ， 点P在抛物线的对称轴直线上，设， ，是等腰直角三角形， ， ， 解得：或， 位于x轴下方，则不合题意，舍去， ， ，， ， ， 与相似， 满足条件的点Q在点P的下方， 当时，， ， ， 当时，， ． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，三角形的外接圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求此二次函数的解析式； (2)动点D从点C出发，以每秒个单位的速度在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，连接和，若与的面积相等，求t的值． (3)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C坐标，进而求出直线解析式，设点D的坐标为，则，；由与的面积相等，推出，则，解得，则，利用勾股定理求出，则； （3）先证明，得到，进而推出，则当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则；如图3-1所示，当点F在之间时，可得，则此时和不可能相似；如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，，，当时，，证明，推出，则，解得或（舍去），则；当点F在点A左侧，且当时，可得，则，解得或（舍去），则；如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时，只有当时，与才能相似，此时，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；如图3-4所示，当点F在点B右侧，只有当时，与才能相似，此时，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 设点D的坐标为， ∵轴， ∴， ∴； ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则， ∴， ∴此时点D的坐标为； 如图3-1所示，当点F在之间时， ∵， ∴，即， ∵， ∴此时和不可能相似； 如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，， ∴， 当时， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点F在点A左侧，且当时，可得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； 如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-4所示，当点F在点B右侧， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴ 解得（舍去）或（舍去），即此种情况不存在； 综上所述，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，证明是直角三角形，进而推出两直角边的比例关系是解题的关键． 13．（2024·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点、和． (1)用含 a的代数式表示b与 t； (2)若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标； (3)若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、． ①直接用表示抛物线的表达式； ②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)， (2)或 (3)①或；②． 【分析】（1）将、和依次代入中，即可求解； （2）分两种情况： ①当P点比A点高时，过O点作于E点，于F点．由角平分线的性质可得，由可得，则可得．再由可得，则，进而可得．作，，由角平分线的性质可得，由此可得P点的坐标； ②当P点比A点低时，过O点作于E点，于F点．由角平分线的性质可得．由可得，则可得，进而可得，．设，由列方程求出m的值，即可得 P点的坐标． （3）①先求出位似比k的值，进而可求得点的坐标．设抛物线的表达式为，将代入求得n的值，即可得抛物线的表达式． ②由可得．再证，则可得，由此得M点在y轴上，因此M点与A点重合，即可得M点的坐标． 【详解】（1）把代入中，得， ， 把代入中，得， 解得， ． 把代入中，得， 解得，， ∵和， ∴． （2）①如图，当P点比A点高时， 过O点作于E点，于F点， ∵ 平分， ， ， ， ． ，， ， ， ， 即， ∴平分． 过P点作，， 则， ， ， ， ． ②如图，当P点比A点低时 过O点作于E点，于F点， ∵ 平分， ， 又， ， ． ， ， 即． 四边形中，， ． 设，连接， 由， 得， 整理得， 解得，（舍去）， ， 综上，p点坐标为：或． （3）①，，， ，，， ，， ，， ∴位似比， ， ， ． 设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为：， 化成一般式为：， ∴抛物线的表达式为：或． ②如图， ， ，且， ， 又， ， ， ， 又， ， ∴M点和都在y轴上， 又∵M点在抛物线上， ∴M点与A点重合， ． 【点睛】本题是一道二次函数与几何的综合题目，主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、位似三角形的性质、二次函数的图像和性质等．能够综合运用以上知识，掌握好数形结合法是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$