高二数学月考卷01（人教A版2019，范围：数列+导数及其应用）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷01 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D D B A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．42 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）∵数列 ，为其前n项和， ， ，（2分） 当时，， （4分） 当时，上式成立，（5分） ∴数列 的通项公式为 （6分） （2）∵ ∴数列的前n项和：①（8分） ②（9分） ①-②得：（10分） （11分） ，（12分） （13分） 16．（15分） 【解析】（1）当时，，（2分） 则 ，又（4分） 故在点处的切线方程为，即（6分） （2）由的图象关于点中心对称，可知的图象关于原点对称，（7分） 即为奇函数，（8分） 则由的定义域关于原点对称，可得，即，（9分） 于是，定义域为，（11分） 故（13分） 联立解得（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由题意得，（1分） 即，即，（3分） 解得或，（4分） 因为，所以，（5分） 所以．（6分） （2）因为， 当时，，（8分） 当时，，（9分） 又因为符合上式，所以．（10分） 令，即，（12分） 故（14分） ．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，，定义域为R．（1分） ，令，得．（2分） 当时，；当时，．（3分） 所以的单调增区间为，单调减区间为．（4分） （2）函数的不动点即为方程的根，即方程的根． 显然，不是方程的根，所以．（5分） 记，因为（当且仅当取等号）， 所以在和上均单调递增．（6分） 由，记． ①当时， （ⅰ）当时，，（7分） （可设 当，当， 在单调递减，在单调递增，所以）， 存在，使得，即存在唯一使得；（8分） （ⅱ）当时，， （设 当，当， 在单调递增，在单调递减， 所以），存在，使得， 即存在唯一使得． （10分） ②当时， （ⅰ）当时，无零点； （ⅱ）当时，因为，，存在，使得，即存在唯一使得． （10分） 综上所述， 当时，函数有两个“不动点”，；当时，函数有一个“不动点”．（11分） （3）记，由（1）知， 当时，函数单调递增，且； 当时，函数单调递增，且； 当时，函数单调递减，且当趋向于无穷时，的增长速率远远大于一次函数的增长速率，则．（13分） 当，由（2）知 （其中）． 由，代入得． 因为，所以此时只有一个解； 因为，所以此时有两个解， 故共有三个解，不满足题意；（14分） 当，由（2）知 由，代入得， 当时，只有一个解，不满足题意，此时；（15分） 时，共有两个解，满足题意，（16分） 综上所述，当且时方程有两个不同实数根． （17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题知，，且，（1分） 解得，（2分） 所以实数的取值范围为.（3分） （2）不存在，（4分） 理由如下：由题知，对恒成立， 所以数列是等差数列，且，公差为， 所以.（5分） 假设存在实数，使得对恒成立，（6分） 即对恒成立， 所以对恒成立.（7分） 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾，（8分） 所以假设不成立， 故不存在符合要求的实数.（9分） （3）由题意，设数列的公比为且，则.（10分） 因为， 所以在数列中，为最小项. 所以在数列中，为最小项.（11分） 因为为“超1数列”， 所以只需，即， 又，所以. 又不是“超1数列”，且为最小项， 所以，即. 又，所以， 又，所以或4.（12分） 当时，， 令，（13分） 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”.（14分） 当时，， 令， 则，（15分） 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”.（16分） 综上所述，数列是“超1数列”.（17分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．4 C．3 D．-4 【答案】B 【解析】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：B. 2．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 3．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数； 对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数； 对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数； 对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数， 故选：D 4．已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得 ， 累加可得， ，所以， 故. 故选：D. 5．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与直线平行的直线l的方程为， ∴当直线l与曲线相切，且点Q为切点时，两点间的距离最小， 设切点，所以， ， 点直线l的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为． 故选：B. 6．已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为， 令得，即有两个根， 令，则， 令，显然在单调递减， 又，故当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，当时，恒陈立， 当趋向于0时，趋向于， 故要想有两个根，需满足 故选：A 7．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，， ， 又为整数， 必须是2的次幂，即． 内所有的“幸运数”的和： ， 故选：D． 8．已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】等价于，即，故有，或，在上恒成立， 即或在上恒成立， 令，得， 可得：在单调递增，在单调递减， 由，当，，， 令，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 当，， 对于在上恒成立，可得解得： 对于在上恒成立，可得：，解得 故a的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】由图知：上，上， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增. 故选：BC 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】ABC 【解析】对于A，由，，则，解得， ，则，故A正确； 对于B，由，则，又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项，可得，即， ， ， 则，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对于D，假设存在且，使得成等差数列， 则，即，即， ，，，则， 故上式不成立，假设错误，故D错误. 故选：ABC. 11．下列不等关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又，所以，所以， 所以，所以，故A正确； 又，即，所以，即，故D正确； 因为，所以，故B正确； 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 所以，所以，所以， 所以，即即，故C错误. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 13．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，自上而下，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，，依此类推，最底层有个小球，共有层，并得出小球总数的公式.若，小球总个数为168，则该长方台形垛积的第六层的小球个数为__________． 【答案】42 【解析】由题知，各层的小球个数构成数列， 且， 因为，所以， 故， 由题意，即，解得或（舍去）， 所以，故该垛积的第六层的小球个数为， 故答案为：42 14．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】当时，由，得，则， 所以成立，所以符合， 当时，令，则， 因为， 当时，， 所以在上递增， 因为定义在上的偶函数，所以， 所以，所以为偶函数， 因为，定义在上的偶函数，所以， 所以 由，得，所以， 所以， 因为在上递增， 所以，且，得，且， 综上，，即不等式的解集是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列，为其前n项和，. (1)求数列 的通项公式； (2)若 求数列的前n项和. 【解析】（1）∵数列 ，为其前n项和， ， ，（2分） 当时，， （4分） 当时，上式成立，（5分） ∴数列 的通项公式为 （6分） （2）∵ ∴数列的前n项和：①（8分） ②（9分） ①-②得：（10分） （11分） ，（12分） （13分） 16．（15分） 已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 【解析】（1）当时，，（2分） 则 ，又（4分） 故在点处的切线方程为，即（6分） （2）由的图象关于点中心对称，可知的图象关于原点对称，（7分） 即为奇函数，（8分） 则由的定义域关于原点对称，可得，即，（9分） 于是，定义域为，（11分） 故（13分） 联立解得（15分） 17．（15分） 已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 由题意得，（1分） 即，即，（3分） 解得或，（4分） 因为，所以，（5分） 所以．（6分） （2）因为， 当时，，（8分） 当时，，（9分） 又因为符合上式，所以．（10分） 令，即，（12分） 故（14分） ．（15分） 18．（17分） 已知函数，其中且． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数； (3)若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，，定义域为R．（1分） ，令，得．（2分） 当时，；当时，．（3分） 所以的单调增区间为，单调减区间为．（4分） （2）函数的不动点即为方程的根，即方程的根． 显然，不是方程的根，所以．（5分） 记，因为（当且仅当取等号）， 所以在和上均单调递增．（6分） 由，记． ①当时， （ⅰ）当时，，（7分） （可设 当，当， 在单调递减，在单调递增，所以）， 存在，使得，即存在唯一使得；（8分） （ⅱ）当时，， （设 当，当， 在单调递增，在单调递减， 所以），存在，使得， 即存在唯一使得． （10分） ②当时， （ⅰ）当时，无零点； （ⅱ）当时，因为，，存在，使得，即存在唯一使得． （10分） 综上所述， 当时，函数有两个“不动点”，；当时，函数有一个“不动点”．（11分） （3）记，由（1）知， 当时，函数单调递增，且； 当时，函数单调递增，且； 当时，函数单调递减，且当趋向于无穷时，的增长速率远远大于一次函数的增长速率，则．（13分） 当，由（2）知 （其中）． 由，代入得． 因为，所以此时只有一个解； 因为，所以此时有两个解， 故共有三个解，不满足题意；（14分） 当，由（2）知 由，代入得， 当时，只有一个解，不满足题意，此时；（15分） 时，共有两个解，满足题意，（16分） 综上所述，当且时方程有两个不同实数根． （17分） 19．（17分） 若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 【解析】（1）由题知，，且，（1分） 解得，（2分） 所以实数的取值范围为.（3分） （2）不存在，（4分） 理由如下：由题知，对恒成立， 所以数列是等差数列，且，公差为， 所以.（5分） 假设存在实数，使得对恒成立，（6分） 即对恒成立， 所以对恒成立.（7分） 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾，（8分） 所以假设不成立， 故不存在符合要求的实数.（9分） （3）由题意，设数列的公比为且，则.（10分） 因为， 所以在数列中，为最小项. 所以在数列中，为最小项.（11分） 因为为“超1数列”， 所以只需，即， 又，所以. 又不是“超1数列”，且为最小项， 所以，即. 又，所以， 又，所以或4.（12分） 当时，， 令，（13分） 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”.（14分） 当时，， 令， 则，（15分） 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”.（16分） 综上所述，数列是“超1数列”.（17分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二下学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二下学期第一次月考卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．4 C．3 D．-4 2．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 3．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（　　） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 5．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 11．下列不等关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数列满足，，则 ． 13．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，自上而下，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，，依此类推，最底层有个小球，共有层，并得出小球总数的公式.若，小球总个数为168，则该长方台形垛积的第六层的小球个数为__________． 14．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列，为其前n项和，. (1)求数列 的通项公式； (2)若 求数列的前n项和. 16．（15分） 已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 17．（15分） 已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若，求数列的前n项和． 18．（17分） 已知函数，其中且． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数； (3)若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围． 19．（17分） 若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第四章 数列+第五章 一元函数的导数及其应用。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．8 B．4 C．3 D．-4 2．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 3．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（　　） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 5．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 11．下列不等关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若数列满足，，则 ． 13．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，自上而下，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，，依此类推，最底层有个小球，共有层，并得出小球总数的公式.若，小球总个数为168，则该长方台形垛积的第六层的小球个数为__________． 14．已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列，为其前n项和，. (1)求数列 的通项公式； (2)若 求数列的前n项和. 16．（15分） 已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 17．（15分） 已知公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若，求数列的前n项和． 18．（17分） 已知函数，其中且． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数； (3)若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围． 19．（17分） 若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$