高一数学月考卷01（新高考地区专用，平面向量+解三角形+复数）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 4．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设复数满足，则的虚部是（    ） A．0或 B．0或 C． D． 6．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 7．在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 8．中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，是复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10． 内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 11．在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则 ． 13．如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为 ． 14．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16．（15分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 17．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18．（17分）记的内角的对边分别为，已知且均为整数. (1)求的值； (2)设的中点为，求的余弦值. 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，设点P为的费马点，求； (3)设点在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为，若，求实数的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设 a  ，b  为非零向量，则“ a b  ”是“a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数 z满足 2022 1011 2025(i i ) 4iz  ，则复数 z的虚部是（ ） A．2i B． 2i C．2 D． 2 3．已知  3,a m ，  1, 1b    ，且 2a b   ，则    a b （ ） A．4 B．2 C． 5 D．1 4．如图，半径为 3 的扇形 AOB的圆心角为 120°，点C在AB上，且 30COB  ，若OC OA OB      ， 则  等于（ ） A． 3 3 B． 3 C． 4 3 3 D．2 3 5．设复数 z满足   22 2, , , ,z z z z z z ，则 z的虚部是（ ） A．0 或 3 2  B．0 或 3 i 2  C． 3 2  D． 3 i 2  6．已知向量 a  与b  的夹角为 π 3 ，若2a b  在 a  方向上的投影向量为 2 a  ，则 | | | | b a    （ ） A．3 B． 3 2 C． 2 3 D． 1 3 7．在 ABC 中， 3 , 2BC BD CF FA      ，E是 AB的中点，EF与 AD交于点 P，若 AP mAB nAC     ，则m n  （ ） A． 3 7 B． 4 7 C． 6 7 D．1 8． ABC 中，点 ,M N满足 , 2AM MC BN NC      ，且MN AB MA CN       ，则 BC AB （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知 1z ， 2z 是复数，则下列说法正确的是（ ） A． 1 2 1 22 2z z z z   B． 1 2 1 2z z z z   C．若 1 2 0z z  ，则 2 2 1 2 0z z  D．若 1 22 3 0z z  ，则 1 2 0z z  10． ABC 内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c．已知  sin 3 sinb A b c B  ，且 1cos 3 A  ，则下列结论正确的是 （ ） A． 3a c b  B． tan 2 2A C． ABC 的周长为4c D． ABC 的面积为 22 2 9 a 11．在 ABC 中， 45C  ，  3 0AB AC BC     ，则下列说法正确的是（ ） A． 10 sin 10 B  B． tan 2A  C．BA  在BC  方向上的投影向量为 3 4 BC  D．若 2AC   ，则 2AB AC    第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．i 是虚数单位，若复数 2i 2 i a   是纯虚数，则 2i 2 i a    ． 13．如图，在 ABC 中， 2BD DC   ，AE mAB   ， AF nAC   ， 0m  ， 0n  ，若 D，E，F三点共线，则 m n 的最小值为 ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 14．已知向量 a  与b  夹角为锐角，且 2a b   ，任意 R  ， a b   的最小值为 3 ，若向量 c  满足     0c a c b      ，则 c 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知向量  1,0a    ，  1,b m  ，且a  与b  的夹角为 π 4 ． (1)求m及 2a b   ； (2)若 a b   与 2a b   所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16．（15 分）在复数集中有这样一类复数： iz a b  与  i , Rz a b a b   ，我们把它们互称为共轭复数， 0b  时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设 iz   ， 1z  .求证： 21 z z 是实数； (2)已知 1 3z  ， 2 5z  ， 1 2 7z z  ，求 1 2 z z 的值； (3)设 iz x y  ，其中 x， y是实数，当 1z  时，求 2 1z z  的最大值和最小值. 17．（15 分）记 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且cos 2 b c A c   ． (1)证明： 2A C ； (2)若 2a  ，且 ABC 为锐角三角形，求 ABC 的周长的取值范围． 18．（17 分）记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知a b c  且 tan , tan , tanA B C均为整数. (1)求 tan , tan , tanA B C的值； (2)设 AC的中点为D，求 CDB 的余弦值. 19．（17 分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内 求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC 的 三个内角均小于 120°时，使得 120AOB BOC COA    的点 O即为费马点：当 ABC 有一个内角大 于或等于 120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 ABC 的内角 A，B，C所 对的边分别为 a，b，c，且 cosb a C . (1)求A ； (2)若 2 3bc  ，设点 P为 ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA           ； (3)设点 P在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为 L，若 L t PA ，求实数 t的最小值. 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2．已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，. 所以. 所以复数的虚部为：. 故选：A 3．已知，，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】因为，解得， 则， 则， 则 故选：A 4．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 5．设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】A 【详解】由题意为虚数，所以，从而由题意集合中唯一的正实数相等，即，所以， 若，则或，不合题意，舍去， 因此，由共轭复数的性质有， 设且，由得， 所以，由于，故解得，， 故选：A． 6．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量与的夹角为，得， 由在方向上的投影向量为，得，则， 整理得，所以. 故选：A 7．在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 8．中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意可得 ， ，， 因为，所以， 即， 故，于是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，是复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设. 则， ，则，故A正确； 对于B，平移向量，，使两复数在复平面对应向量起点相同， 则对应向量为由对应向量终点指向对应向量终点所形成的向量， 若对应的向量不共线，则向量，，对应图形可组成三角形， 由三角形三边关系可得：， 若对应的向量共线，且方向相反，则， 若对应的向量共线同向，则, 综上，，故B正确； 对于C，令，，则， 但，，，故C错误； 对于D，因，， 则. 故D正确. 故选：ABD 10． 内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为， 由正弦定理得，整理得，即，A正确； 对于B，由可得， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 又，可得， 整理得的周长为，故C错误； 对于D，由上知：，，可得， 则的面积为，故D正确． 故选：ABD. 11．在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由， 解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，， ，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则 ． 【答案】1 【详解】由题意得，. ∵是纯虚数，∴，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 13．如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，得，即， ，E，F三点共线， ， ， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为 故答案为：. 14．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设向量与的夹角为，，则， ， 所以当时，取得最小值为， 即， 所以. 如图所示，设，三角形是等边三角形， 设是的中点，则， 由于，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为， 根据圆的几何性质可知，即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得，..........................................2分 所以，，则， 故............................................6分 （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是...........................................13分 16．（15分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 【详解】（1）设，， 所以，， 因为，，所以，且， 所以是实数；...........................................4分 （2）设，则， 因为，， 所以，所以①， 又， 所以②， 联立①②，解得，， 所以；...........................................10分 （3）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，..........................................15分 17．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理，，所以． 又，所以， 所以，所以， 因，所以，即............................................5分 （2）因为，所以， 因为，所以．...........................................7分 因为，所以， ∵为锐角三角形，∴，∴，∴...........................................10分 因为，由余弦定理，两式联立得， 又因为，代入上式，得到，则，且， 所以，即． 所以周长的取值范围为．..........................................15分 18．（17分）记的内角的对边分别为，已知且均为整数. (1)求的值； (2)设的中点为，求的余弦值. 【详解】（1）由，则. 由，则，故， 所以， 因为为整数，所以，...........................................3分 由，可得. 因为，所以，则， 所以. 由，则， 解得或（舍去）， 故， 又为正整数，所以，...........................................6分 所以， 综上，............................................9分 （2）由（1）可知，，则， 在中，由正弦定理， 可得，..........................................12分 又的中点为，所以， 在中，由余弦定理得： ，所以， 所以..........................................17分 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，设点P为的费马点，求； (3)设点在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为，若，求实数的最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理有， 所以，又因为、， 所以，故，故............................................3分 （2）由（1），所以的三个内角均小于120°， 所以由费马点定义有， 设，若 则由得， 即， 整理得，..........................................6分 所以 ...........................................9分 （3）由题意P为费马点，， 设， 则，故， 在、和中由余弦定理分别得 ， ， ， 又，所以， 所以，即， 因为， 所以，结合可得当且仅当等号成立， 又，所以， 整理得，解得或， 又，所以， 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为...........................................17分 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B C A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．1 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得，..........................................2分 所以，，则， 故............................................6分 （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是...........................................13分 16．（15分） 【详解】（1）设，， 所以，， 因为，，所以，且， 所以是实数；...........................................4分 （2）设，则， 因为，， 所以，所以①， 又， 所以②， 联立①②，解得，， 所以；...........................................10分 （3）因为，设， 则， 因为，所以， 所以，..........................................15分 17．（15分） 【详解】（1）由正弦定理，，所以． 又，所以， 所以，所以， 因，所以，即............................................5分 （2）因为，所以， 因为，所以．...........................................7分 因为，所以， ∵为锐角三角形，∴，∴，∴...........................................10分 因为，由余弦定理，两式联立得， 又因为，代入上式，得到，则，且， 所以，即． 所以周长的取值范围为．..........................................15分 18．（17分） 【详解】（1）由，则. 由，则，故， 所以， 因为为整数，所以，...........................................3分 由，可得. 因为，所以，则， 所以. 由，则， 解得或（舍去）， 故， 又为正整数，所以，...........................................6分 所以， 综上，............................................9分 （2）由（1）可知，，则， 在中，由正弦定理， 可得，..........................................12分 又的中点为，所以， 在中，由余弦定理得： ，所以， 所以..........................................17分 19．（17分） 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理有， 所以，又因为、， 所以，故，故............................................3分 （2）由（1），所以的三个内角均小于120°， 所以由费马点定义有， 设，若 则由得， 即， 整理得，..........................................6分 所以 ...........................................9分 （3）由题意P为费马点，， 设， 则，故， 在、和中由余弦定理分别得 ， ， ， 又，所以， 所以，即， 因为， 所以，结合可得当且仅当等号成立， 又，所以， 整理得，解得或， 又，所以， 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为...........................................17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 / 5 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设 a  ，b  为非零向量，则“ a b  ”是“a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数 z满足 2022 1011 2025(i i ) 4iz  ，则复数 z的虚部是（ ） A．2i B． 2i C．2 D． 2 3．已知  3,a m ，  1, 1b    ，且 2a b   ，则    a b （ ） A．4 B．2 C． 5 D．1 4．如图，半径为 3 的扇形 AOB的圆心角为 120°，点C在AB上，且 30COB  ，若OC OA OB      ， 则  等于（ ） A． 3 3 B． 3 C． 4 3 3 D．2 3 5．设复数 z满足   22 2, , , ,z z z z z z ，则 z的虚部是（ ） A．0 或 3 2  B．0 或 3 i 2  C． 3 2  D． 3 i 2  6．已知向量 a  与b  的夹角为 π 3 ，若2a b  在 a  方向上的投影向量为 2 a  ，则 | | | | b a    （ ） 2 / 5 A．3 B． 3 2 C． 2 3 D． 1 3 7．在 ABC 中， 3 , 2BC BD CF FA      ，E是 AB的中点，EF与 AD交于点 P，若 AP mAB nAC     ，则m n  （ ） A． 3 7 B． 4 7 C． 6 7 D．1 8． ABC 中，点 ,M N满足 , 2AM MC BN NC      ，且MN AB MA CN       ，则 BC AB （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知 1z ， 2z 是复数，则下列说法正确的是（ ） A． 1 2 1 22 2z z z z   B． 1 2 1 2z z z z   C．若 1 2 0z z  ，则 2 2 1 2 0z z  D．若 1 22 3 0z z  ，则 1 2 0z z  10． ABC 内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c．已知  sin 3 sinb A b c B  ，且 1cos 3 A  ，则下列结论正确的是 （ ） A． 3a c b  B． tan 2 2A C． ABC 的周长为4c D． ABC 的面积为 22 2 9 a 11．在 ABC 中， 45C  ，  3 0AB AC BC     ，则下列说法正确的是（ ） A． 10 sin 10 B  B． tan 2A  C．BA  在BC  方向上的投影向量为 3 4 BC  D．若 2AC   ，则 2AB AC    第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．i 是虚数单位，若复数 2i 2 i a   是纯虚数，则 2i 2 i a    ． 13．如图，在 ABC 中， 2BD DC   ，AE mAB   ，AF nAC   ， 0m  ， 0n  ，若 D，E，F三点共线，则m n 的最小值为 ． 3 / 5 14．已知向量 a  与b  夹角为锐角，且 2a b   ，任意 R ， a b   的最小值为 3 ，若向量 c  满足     0c a c b      ，则 c 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知向量  1,0a    ，  1,b m  ，且a  与b  的夹角为 π 4 ． (1)求m及 2a b   ； (2)若 a b   与 2a b   所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16．（15 分）在复数集中有这样一类复数： iz a b  与  i , Rz a b a b   ，我们把它们互称为共轭复数， 0b  时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设 iz   ， 1z  .求证： 21 z z 是实数； (2)已知 1 3z  ， 2 5z  ， 1 2 7z z  ，求 1 2 z z 的值； (3)设 iz x y  ，其中 x， y是实数，当 1z  时，求 2 1z z  的最大值和最小值. 4 / 5 17．（15 分）记 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且cos 2 b c A c   ． (1)证明： 2A C ； (2)若 2a  ，且 ABC 为锐角三角形，求 ABC 的周长的取值范围． 18．（17 分）记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，已知a b c  且 tan , tan , tanA B C均为整数. (1)求 tan , tan , tanA B C的值； (2)设 AC的中点为D，求 CDB 的余弦值. 5 / 5 19．（17 分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内 求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC 的三 个内角均小于 120°时，使得 120AOB BOC COA    的点 O即为费马点：当 ABC 有一个内角大于或 等于 120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 ABC 的内角 A，B，C所对的边 分别为 a，b，c，且 cosb a C . (1)求A ； (2)若 2 3bc  ，设点 P为 ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA           ； (3)设点 P在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为 L，若 L t PA ，求实数 t的最小值. 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数 5．难度系数：0.68。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 4．如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设复数满足，则的虚部是（    ） A．0或 B．0或 C． D． 6．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C． D． 7．在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 8．中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，是复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 10． 内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 11．在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．i是虚数单位，若复数是纯虚数，则 ． 13．如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为 ． 14．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 16．（15分）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设，.求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值. 17．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18．（17分）记的内角的对边分别为，已知且均为整数. (1)求的值； (2)设的中点为，求的余弦值. 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，设点P为的费马点，求； (3)设点在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为，若，求实数的最小值. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$