高二数学月考卷01（新高考地区专用，导数+计数原理）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 6 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理 5．难度系数：0.55 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知函数     3 1 2 24f x x f x   ，则  2f （ ） A．6 2 B．6 C．4 2 D．4 2．在   6 2 0 a x a x       的展开式中，常数项为 75，则a （ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 5 3．已知函数 ( ) ( )( 2)( 3)( 4)f x x a x x x     ，若 ( )f x 的图象在 2x  处的切线方程为 6y x b  ，则a b （ ） A． 11 B． 12 C． 13 D． 14 4．从高一新生中选出 3 名男生、3 名女生组成护旗方队，方队共 2 排 3 列，第 1 排是a，b，c，3 名女生， 第 2 排是甲、乙、丙 3 名男生，且女生a与男生甲不同列，则不同的排法种数为（ ） A．12 B．18 C．24 D．30 5．将函数 3 2y x  的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与 x轴相切，则 tan （ ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．实数 1x 、 2x 、 1y 、 2y 满足： 2 1 1 1ln 0x x y   ， 2 2 4 0x y   ，则    2 21 2 1 2x x y y   的最小值为（ ） A． 2 B．2 2 C．2 D．8 7．现要对三棱柱 1 1 1ABC A BC 的 6 个顶点进行涂色，有 4 种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色 不一样，则不同的涂色方案有（ ） A．264 种 B．216 种 C．192 种 D．144 种 8．已知 ,a bR ，函数    2e 1x af x x b x   在R 上单调递增，则（ ） A． 2a b B． a 2b C．2a b D．2a b 2 / 6 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知 2 ( )nx x  的展开式中第 4 项与第 5 项的二项式系数相等，则（ ） A．所有项的系数和为 1 B． 9n  C．没有常数项 D． 5x 的系数为 14 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生 5 人，女生 3 人，则下列说法正确的是（ ） A．从中选 2 人，1 人做正组长，1 人做副组长，共有 64 种不同的选法 B．从中选 2 人参加数学竞赛，其中男、女生各 1 人，共有 15 种不同的选法 C．将这 8 名学生排成一排，3 位女生排在一起的方法共有 4320 种 D．8 名学生排成一排，已知 5 名男生已排好，现将 3 名女生插入队伍中，则共有 336 种排法. 11．函数 exy  叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数   2 1e 1 xxf x x    ，则下列结论正确的是（ ） A．函数  f x 在 30, 2       上单调递减 B．函数  f x 既有极大值，也有极小值 C．方程    0f f x  有2个不同的实数解 D．在定义域内，恒有    2 2e 2 e 4ex xf x f x   第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．把除颜色外完全相同的 5 个红球和 4 个白球排成一行，则恰有 3 个红球相邻在一起的不同排法种数为 .(用数字作答 ) 13．已知直线 l与函数    e , ex xf x g x    均相切，则 l的方程为 . 14．已知函数    1 1e e sin 1 1x xf x x      ，则不等式    1 2 2f x f x   的解集为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）设 6 6 5 4 3 26 5 4 3 2 1 0(2 1)x a x a x a x a x a x a x a        ，求： (1) 6 5 4 3 2 1a a a a a a     ； (2) 6 4 2 0a a a a   ； (3) 6 5 4 3 2 1 064 32 16 8 4 2a a a a a a a      . 3 / 6 16．（15 分）已知函数   lnf x x x ． (1)求曲线  f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)已知函数     2 2f x g x x x   ，求  g x 的单调区间； (3)若对于任意 1 ,2e e x      ，都有   ef x ax  （ e为自然对数的底数），求实数 a的取值范围． 4 / 6 17．（15 分）从A ， B，C等 8 人中选出 5 人排成一排． (1) A 必须在内，有多少种排法? (2) A ， B都在内，且A 排在 B前面，有多少种排法? (3) A ， B，C都在内，且A ， B必须相邻，C与A ， B都不相邻，都多少种排法? (4) A 不允许站排头和排尾， B不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 5 / 6 18．（17 分）已知函数   21e 2 xf x ax x   . (1)当 1a  时，求曲线  y f x 在   0, 0f 处的切线方程； (2)若函数  f x 是增函数，求实数 a的取值范围； (3)若   21 2 f x x x b    ，求  1a b 的最大值. 6 / 6 19．（17 分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量 曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若  f x 是  f x 的导函数，  f x 是  f x 的导函 数，则曲线  y f x 在点   ,x f x 处的曲率      3 2 21 f x K f x        . (1)求曲线   lnf x x x  在  1,1 处的曲率 1K 的平方； (2)求正弦曲线    sinh x x x R 曲率的平方 2K 的最大值. (3)正弦曲线    sinh x x x R ，若    e 2xg x x h x    ，判断  g x 在区间 π π, 2 2     上零点的个数，并写出 证明过程. 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理 5．难度系数：0.55 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A． B．6 C． D．4 2．在的展开式中，常数项为75，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 4．从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是，，，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生与男生甲不同列，则不同的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 5．将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（    ） A． B． C． D． 6．实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 8．已知，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（   ） A．所有项的系数和为1 B． C．没有常数项 D．的系数为14 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 11．函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 13．已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 14．已知函数，则不等式的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设，求： (1)； (2)； (3). 16．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 17．（15分）从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数是增函数，求实数a的取值范围； (3)若，求的最大值. 19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在处的曲率的平方； (2)求正弦曲线曲率的平方的最大值. (3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理 5．难度系数：0.55 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】A 【详解】，所以， 解得，则，所以． 故选：A． 2．在的展开式中，常数项为75，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】常数项为，解得. 故选：D. 3．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 所以，解得， 又， 所以，解得，所以. 故选：C. 4．从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是，，，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生与男生甲不同列，则不同的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【详解】由题意得第1排和第2排任意排的排法总数为， 当女生与男生甲同列时，排法总数为， 所以女生与男生甲不同列排法总数为. 故选：C. 5．将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：是过原点的切线， 设切点坐标为：，， 则，解得：， 所以， 故选：C 6．实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，又， 所以，的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为， 由，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为的最小值， 所以，的最小值为． 故选：D. 7．现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 【答案】A 【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法， 用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法， 因此不同涂色方法数为； 用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法， 因此不同涂色方法数为，所以不同的涂色方案有（种）.故选：A 8．已知，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得对任意恒成立， 因为和在上都单调递增，则有唯一零点， 所以它们有相同的零点，故， 设函数，则， 由，得；由，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，即， 设函数， 因为，， 所以的正负不确定，即与的大小关系不确定． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（   ） A． B．所有项的系数和为1 C．没有常数项 D．的系数为14 【答案】BCD 【详解】因为第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得，故A错误; 令，可得展开式中所有项的系数和为，故B正确; 在中，第项， 取，即，所以不存在常数项，故C正确; 取，即，所以，所以的系数为14，故D正确. 故选：BCD 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 11．函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 【答案】BCD 【详解】易知的定义域为，， 对于选项A，由，得到，且，所以减区间为，，故选项A错误， 对于选项B，由，得到或， 当时，，当时，，当，，当时，， 所以的极大值为，极小值为，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，的增区间为，减区间为， 当时，，且时，，当从左边时，， 当从右边时，，且时，，当时，， 图象如图所示，由图知，只有一个零点，且， 令，由，得到，所以，令， 由图知，与有且仅有两个交点，所以选项C正确， 对于选项D，令，易知的图象关于点中心对称， 所以，即，得到，故选项D正确， 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 【答案】50 【详解】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起，然后让4个白球排列后形成5个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种； 第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让4个白球排列后形成5个空位，从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的4个空位选出3个空位放不相邻的红球即可，此时有，所以共有种. 故答案为：50 13．已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 【答案】 【详解】， 由题意可得切线的斜率存在，设为， 由导数的意义可得，即，又，所以切点， ，即，又，所以切点为， 又由斜率定义可得， 所以切点为，所以，即l的方程为. 故答案为：. 14．已知函数，则不等式的解集为 【答案】 【详解】令，则， 所以函数关于对称，由，得， 即，因为函数关于对称，所以， 则，，因为， 当且仅当，即时取等号，又，所以，所以函数在上单调递增， 则，即，解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设，求： (1)； (2)； (3). 【详解】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以..............................4分 （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以............................8分 （3）令，得：..............................13分 16．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 【详解】（1）由得，，，， 所以在点处的切线方程为．..............................4分 （2），， ，令，解得， 因为时，，所以在上单调递减， 因为时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为．.............................8分 （3）由题可知，， 所以，设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以．..............................15分 17．（15分）从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法...............................3分 （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法...............................6分 （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法...............................10分 （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法...............................15分 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数是增函数，求实数a的取值范围； (3)若，求的最大值. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为0， 所以曲线在处的切线方程为...............................4分 （2）由题意得，且在定义域内恒成立， 则， 令， 显然时，，即此时单调递减， 时，，即此时单调递增， 所以，则， 实数a的取值范围为...............................9分 （3）若，则， 令，则， 若，则，此时在R上单调递增， 当时，，不符合题意； 当，则时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 即， 即， 所以， 令， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即， 所以， 当且仅当时，， 所以的最大值为...............................17分 19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在处的曲率的平方； (2)求正弦曲线曲率的平方的最大值. (3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【详解】（1）因为，所以，，所以， ................................3分 （2）由，，则，， 令，则，故，设，则， 在时，递减，所以，最大值为1................................9分 （3）因为，，则.①当时，因为，所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点.②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使. 当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，且.所以.设，，，,所以在上单调递减，在上单调递增.所以. 所以，所以.所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点.综上所述，在上的零点个数为2..............................17分 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C C C D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．50 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以..............................4分 （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以............................8分 （3）令，得：..............................13分 16．（15分） 【详解】（1）由得，，，， 所以在点处的切线方程为．..............................4分 （2），， ，令，解得， 因为时，，所以在上单调递减， 因为时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为．.............................8分 （3）由题可知，， 所以，设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以．..............................15分 17．（15分） 【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法...............................3分 （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法...............................6分 （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法...............................10分 （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法...............................15分 18．（17分） 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为0， 所以曲线在处的切线方程为...............................4分 （2）由题意得，且在定义域内恒成立， 则， 令， 显然时，，即此时单调递减， 时，，即此时单调递增， 所以，则， 实数a的取值范围为...............................9分 （3）若，则， 令，则， 若，则，此时在R上单调递增， 当时，，不符合题意； 当，则时，，此时单调递增， 时，，此时单调递减， 即， 即， 所以， 令， 易知当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即， 所以， 当且仅当时，， 所以的最大值为...............................17分 19．（17分） 【详解】（1）因为，所以，，所以， ................................3分 （2）由，，则，， 令，则，故，设，则， 在时，递减，所以，最大值为1................................9分 （3）因为，，则.①当时，因为，所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点.②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使. 当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，且.所以.设，，，,所以在上单调递减，在上单调递增.所以. 所以，所以.所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点.综上所述，在上的零点个数为2..............................17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理 5．难度系数：0.55 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（   ） A． B．6 C． D．4 2．在的展开式中，常数项为75，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 4．从高一新生中选出3名男生、3名女生组成护旗方队，方队共2排3列，第1排是，，，3名女生，第2排是甲、乙、丙3名男生，且女生与男生甲不同列，则不同的排法种数为（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 5．将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（    ） A． B． C． D． 6．实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（    ） A．264种 B．216种 C．192种 D．144种 8．已知，函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（   ） A．所有项的系数和为1 B． C．没有常数项 D．的系数为14 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 11．函数叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数既有极大值，也有极小值 C．方程有个不同的实数解 D．在定义域内，恒有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 13．已知直线l与函数均相切，则l的方程为 . 14．已知函数，则不等式的解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）设，求： (1)； (2)； (3). 16．（15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 17．（15分）从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数是增函数，求实数a的取值范围； (3)若，求的最大值. 19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在处的曲率的平方； (2)求正弦曲线曲率的平方的最大值. (3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：导数+计数原理 5．难度系数：0.55 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知函数     3 1 2 24f x x f x   ，则  2f （ ） A．6 2 B．6 C．4 2 D．4 2．在   6 2 0 a x a x       的展开式中，常数项为 75，则a （ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 5 3．已知函数 ( ) ( )( 2)( 3)( 4)f x x a x x x     ，若 ( )f x 的图象在 2x  处的切线方程为 6y x b  ，则a b （ ） A． 11 B． 12 C． 13 D． 14 4．从高一新生中选出 3 名男生、3 名女生组成护旗方队，方队共 2 排 3 列，第 1 排是a，b，c，3 名女生， 第 2 排是甲、乙、丙 3 名男生，且女生a与男生甲不同列，则不同的排法种数为（ ） A．12 B．18 C．24 D．30 5．将函数 3 2y x  的图象绕坐标原点顺时针旋转 后第一次与 x轴相切，则 tan （ ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．实数 1x 、 2x 、 1y 、 2y 满足： 2 1 1 1ln 0x x y   ， 2 2 4 0x y   ，则    2 21 2 1 2x x y y   的最小值为（ ） A． 2 B．2 2 C．2 D．8 7．现要对三棱柱 1 1 1ABC A BC 的 6 个顶点进行涂色，有 4 种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色 不一样，则不同的涂色方案有（ ） A．264 种 B．216 种 C．192 种 D．144 种 8．已知 ,a bR ，函数    2e 1x af x x b x   在R 上单调递增，则（ ） A． 2a b B． a 2b C．2a b D．2a b 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知 2 ( )nx x  的展开式中第 4 项与第 5 项的二项式系数相等，则（ ） A．所有项的系数和为 1 B． 9n  C．没有常数项 D． 5x 的系数为 14 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生 5 人，女生 3 人，则下列说法正确的是（ ） A．从中选 2 人，1 人做正组长，1 人做副组长，共有 64 种不同的选法 B．从中选 2 人参加数学竞赛，其中男、女生各 1 人，共有 15 种不同的选法 C．将这 8 名学生排成一排，3 位女生排在一起的方法共有 4320 种 D．8 名学生排成一排，已知 5 名男生已排好，现将 3 名女生插入队伍中，则共有 336 种排法. 11．函数 exy  叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其它函数进行运算产生新的函数.已知函 数   2 1e 1 xxf x x    ，则下列结论正确的是（ ） A．函数  f x 在 30, 2       上单调递减 B．函数  f x 既有极大值，也有极小值 C．方程    0f f x  有2 个不同的实数解 D．在定义域内，恒有    2 2e 2 e 4ex xf x f x   第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．把除颜色外完全相同的 5 个红球和 4 个白球排成一行，则恰有 3 个红球相邻在一起的不同排法种数为 .(用数字作答 ) 13．已知直线 l与函数    e , ex xf x g x    均相切，则 l的方程为 . 14．已知函数    1 1e e sin 1 1x xf x x      ，则不等式    1 2 2f x f x   的解集为 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）设 6 6 5 4 3 26 5 4 3 2 1 0(2 1)x a x a x a x a x a x a x a        ，求： (1) 6 5 4 3 2 1a a a a a a     ； (2) 6 4 2 0a a a a   ； (3) 6 5 4 3 2 1 064 32 16 8 4 2a a a a a a a      . 16．（15 分）已知函数   lnf x x x ． (1)求曲线  f x 在点   1, 1f 处的切线方程； (2)已知函数     2 2f x g x x x   ，求  g x 的单调区间； (3)若对于任意 1 ,2e e x      ，都有   ef x ax  （ e为自然对数的底数），求实数 a的取值范围． 17．（15 分）从A ， B，C等 8 人中选出 5 人排成一排． (1) A 必须在内，有多少种排法? (2) A ， B都在内，且A 排在 B前面，有多少种排法? (3) A ， B，C都在内，且A ， B必须相邻，C与A ， B都不相邻，都多少种排法? (4) A 不允许站排头和排尾， B不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 18．（17 分）已知函数   21e 2 xf x ax x   . (1)当 1a  时，求曲线  y f x 在   0, 0f 处的切线方程； (2)若函数  f x 是增函数，求实数 a的取值范围； (3)若   21 2 f x x x b    ，求  1a b 的最大值. 19．（17 分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡 量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若  f x 是  f x 的导函数，  f x 是  f x 的导 函数，则曲线  y f x 在点   ,x f x 处的曲率      3 2 21 f x K f x        . (1)求曲线   lnf x x x  在  1,1 处的曲率 1K 的平方； (2)求正弦曲线    sinh x x x R 曲率的平方 2K 的最大值. (3)正弦曲线    sinh x x x R ，若    e 2xg x x h x    ，判断  g x 在区间 π π, 2 2     上零点的个数，并写 出证明过程.