精品解析：山东省淄博市淄川区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

初三数学试题 （时间120分 满分150分） 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信，沉着，智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初三学年第一学期的期末数学学习画上圆满的句号！特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列各式中不能进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误的是【 】 A. 1.65米是该班学生身高的平均水平 B. 班上比小华高的学生人数不会超过25人 C. 这组身高数据的中位数不一定是1.65米 D. 这组身高数据的众数不一定是1.65米 3. 一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法（ ） ①对应线段平行； ②对应线段相等； ③对应角相等； ④图形的形状和大小都没有发生变化 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③4 D. ②③④ 4. 关于分式，下列说法错误的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 当时，分式的值为 C. 当时，分式没有意义 D. 当时，分式的值为 5. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 6. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（　　） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 1种 9. 如图，在平面直角坐标系中，经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到，这个变化过程不可能是（ ） A. 先平移，再轴对称 B. 先轴对称，再平移 C 先轴对称，再旋转 D. 先旋转，再平移 10. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形的面积平分． A 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. 如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，将平行四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 分解因式：______． 14. 分式与的最简公分母是______． 15. 一组数据2，5，4，x，3平均数是4，则这组数据的方差是______． 16. 一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 17. 如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中______． 18. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________． 19. 如图，正方形的两边分别在轴、轴上，点在边上，将绕点旋转，则旋转后点的对应点的坐标是_______． 20. 如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 分解因式： （1）， （2）． 22. 解方程： （1）， （2）． 23. 化简： （1）； （2）． 24. 如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，与成中心对称． （1）画出对称中心； （2）画出将向上平移6个单位长度得到的； （3）绕点按顺时针方向至少旋转多少度，才能与重合？ 25. 如图是学生给学校食堂的打分情况，请求出打分的平均数，中位数和众数． 26. 如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由． 27. 如图，在 □ABCD中，E，F分别是边AB，CD上点．已知AE＝CF，M，N分别是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形. 28. 如图，已知，点上，连接并延长交于点． （1）测量并猜想：线段与的数量关系为 ； （2）测量并探究：若将图中的绕点顺时针旋转，当小于时，得到图，连接并延长交于点，则（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三数学试题 （时间120分 满分150分） 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信，沉着，智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初三学年第一学期的期末数学学习画上圆满的句号！特别提醒：本次考试不允许使用计算器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列各式中不能进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可判断求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 详解】解：、，能进行因式分解，该选项不合题意； 、，能进行因式分解，该选项不合题意； 、不能进行因式分解，该选项符合题意； 、，能进行因式分解，该选项不合题意； 故选：． 2. 小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误的是【 】 A. 1.65米是该班学生身高的平均水平 B. 班上比小华高的学生人数不会超过25人 C. 这组身高数据的中位数不一定是1.65米 D. 这组身高数据的众数不一定是1.65米 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，依次对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、1.65米是该班学生身高的平均水平，正确； B、因为小华的身高是1.66米，不是中位数，所以班上比小华高的学生人数不会超过25人错误； C、这组身高数据的中位数不一定是1.65米，正确； D、这组身高数据的众数不一定是1.65米，正确． 故选：B． 3. 一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法（ ） ①对应线段平行； ②对应线段相等； ③对应角相等； ④图形的形状和大小都没有发生变化 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③4 D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【详解】平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 故选：D． 【点睛】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行． 4. 关于分式，下列说法错误的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 当时，分式的值为 C. 当时，分式没有意义 D. 当时，分式的值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义，分母的值不等于，分式的值为，分子的值为，分母的值不等于，据此逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、当时，，分式有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，有可能等于，故分式可能无意义，该选项说法错误，符合题意； 、当时，，分式没有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，，分式的值为，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 5. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，由分式方程解的情况求参数，先解分式方程，得，由分式方程的解为正数，得，即得，再根据分式的分母不等于，得，即得，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 6. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案． 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6， ∴∠BAO＝90°，OA＝3 ∴， ∴BD＝2BO＝10， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式加减法及乘法，先分别计算括号内加减法，再计算乘法即可． 【详解】解： ， 故选：B． 8. 顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（　　） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 1种 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案． 【详解】当①③时，四边形ABCD为平行四边形； 当①④时，四边形ABCD为平行四边形； 当③④时，四边形ABCD为平行四边形， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 9. 如图，在平面直角坐标系中，经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到，这个变化过程不可能是（ ） A. 先平移，再轴对称 B. 先轴对称，再平移 C. 先轴对称，再旋转 D. 先旋转，再平移 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质即可得到由△ABO得到△OCD的过程． 【详解】解：将△ABO沿y轴向左翻折，再沿y轴向下平移3个单位长度得到△OCD，故B可能，不符合题意； 或先沿y轴向下平移3个单位长度，再沿y轴向左翻折得到△OCD，故A可能，不符合题意； 或先将△ABO沿x轴向下翻折，再旋转得出△OCD，故C可能，不符合题意； 不能先旋转，再平移得到，故D选项不可能，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，坐标与图形变化-平移，坐标与图形变化-旋转．解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线． 10. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答．本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵绕点旋转得到 ， ∴， ， ． 故选：A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在x轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，经过（ ）秒该直线可将平行四边形的面积平分． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y=2x+1的直线解析式，从而可得直线y=2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案． 【详解】解：连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分， ∵四边形AOCB是平行四边形， ∴BD=OD， ∵B（6，2），点C（4，0）， ∴D（3，1）， 设DE的解析式为y=kx+b， ∵DE平行于y=2x+1， ∴k=2， ∵过D（3，1）， ∴DE的解析式为y=2x-5， ∴直线y=2x+1要向下平移6个单位， ∴时间为6秒， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积． 12. 如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，将平行四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出点的坐标，进而利用旋转的性质得出规律解答即可． 【详解】解：平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，， ， 当旋转时，第一次时，； 第二次时，； 第三次时，； 第四次时，； ， 第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，根据平方差和完全平方公式先把分母因式分解，再确定最简公分母即可，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴最简公分母是， 故答案为：． 15. 一组数据2，5，4，x，3的平均数是4，则这组数据的方差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的计算，先利用平均数的计算公式得到，解得，然后根据方差公式计算这组数据的方差即可．解题的关键是掌握：一般地，设个数据，，，…，的平均数为，则方差． 【详解】解：∵2，5，4，x，3的平均数是， ∴， 解得：， 数据为：，，，，， ∴， ∴这组数据的方差是． 故答案为：． 16. 一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意得，， ∴， ∴正多边形是正五边形， ∴它的每一个内角为， 故答案为：． 17. 如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，如图，把拼在一起，得到平行四边形，则，由平行四边形的性质得，进而四边形的内角和为得到，据此解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，把拼在一起，得到平行四边形，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键． 如图：连接，根据三角形的中位线可得，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得： ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，正方形的两边分别在轴、轴上，点在边上，将绕点旋转，则旋转后点的对应点的坐标是_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质．分两种情况，画出旋转后的图形，根据旋转的性质可知和的长，由此判断点的坐标． 【详解】解：当绕点顺时针旋转，如图， 正方形的两边，分别在轴、轴上，点， ，， 根据旋转的性质，， 的坐标； 当绕点逆时针旋转，如图， 四边形是正方形，， ，， ，， 点的坐标为． 故答案为：或． 20. 如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为______． 【答案】2秒或3.5秒 【解析】 【分析】由ADBC，则PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9−3t＝5−t，解方程即可，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t−9＝5−t，解方程即可． 【详解】解：如图： ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝9， ∵ADBC， ∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则得：9−3t＝5−t， 解得：t＝2， ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则得：3t−9＝5−t， 解得：t＝3.5； ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或3.5秒． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 分解因式： （1）， （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用平方差公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 解方程： （1）， （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）按照解分式方程的步骤解答即可； （）按照解分式方程的步骤解答即可； 【小问1详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 23. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． （）先通分，再根据分式的加法法则计算即可； （）先通分，再根据分式的加法法则计算即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 24. 如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，与成中心对称． （1）画出对称中心； （2）画出将向上平移6个单位长度得到的； （3）绕点按顺时针方向至少旋转多少度，才能与重合？ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平移作图，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握相关知识，并灵活运用． （1）连接、，相交于点O，点O即为所求； （2）先画出点、、平移后的对应点，再依次连接即可； （3）连接，根据图形，求出的度数即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：由图可知，， 则绕点按顺时针方向至少旋转，能与重合． 25. 如图是学生给学校食堂的打分情况，请求出打分的平均数，中位数和众数． 【答案】平均数为分，中位数为分，众数为分 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，平均数，中位数和众数，利用加权平均数公式可求出平均数，根据百分比可求出中位数和众数，掌握平均数，中位数和众数的定义是解题的关键． 【详解】解：由扇形统计图可得，平均数分，中位数为分，众数为分． 26. 如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的基本性质得出与平行且相等，再根据三角形的三边关系得出解答即可． 【详解】解：由平移的性质知，与平行且相等，， ∵， ∴， 当B、D、E不共线时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 根据三角形的三边关系知， 即． 当D、B、E共线时，， 综上，． 27. 如图，在 □ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点．已知AE＝CF，M，N分别是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形. 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条件发现DF和BE平行且相等．证明四边形DEBF为平行四边形．得到DE和BF平行且相等，再结合中点的概念，所以四边形MENF为平行四边形． 【详解】∵四边形ABCD平行四边形 ∴AB∥CD，AB=CD， ∴BE∥DF， ∵ AE＝CF， ∴ BE=DF， ∴四边形BEDF是平行四边形 ∴DE∥BF ,DE=BF， ∵点M,N分别是DE,BF中点， ∴EM=DE, FN=BF， ∴EM=FN， ∵EM∥FN， ∴四边形EMFN是平行四边形. 【点睛】本题考查平行四边形的判定、性质、三角形的中位线定理，解题关键是正确选择判定与性质，不能混淆. 28. 如图，已知，点在上，连接并延长交于点． （1）测量并猜想：线段与的数量关系为 ； （2）测量并探究：若将图中的绕点顺时针旋转，当小于时，得到图，连接并延长交于点，则（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（）延长到点，并使，连接，证明，进而得到为等腰三角形，即可证明； （）延长到点，并使，连接，，同理（）证明即可求证； 本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：延长到点，并使，连接，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系为， 故答案：； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 延长到点，并使，连接，如图，设延长线交于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$