课时作业·10.1随机事件与概率-2024-2025学年高一数学下学期课时作业（人教A版2019必修第二册）

课时作业·10.1随机事件与概率 1．若P(A∪B)＝1，则互斥事件A和B的关系是(　　) A．A⊆B　　　　　 B．A，B是对立事件 C．A，B不是对立事件 D．A＝B 答案　B 解析　根据对立事件的定义可知，若A，B为互斥事件，且并事件的概率为1，则A，B是对立事件．故选B. 2．在3，6路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需车的概率为(　　) A．0.20 B．0.60 C．0.80 D．0.12 答案　C 解析　由车站只停靠一辆公共汽车，所以3路车停靠与6路车停靠为互斥事件，由互斥事件的概率加法公式得所求概率为0.20＋0.60＝0.80. 3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A. B. C. D．1 答案　C 解析　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则A，B互斥且A∪B＝C，故P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.故选C. 4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为，4位同学都选周日的概率为，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝1－－＝＝.故选D. 5．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设(x，y)表示甲、乙两人抢到的红包，由题意知共有20个样本点：(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.72，1.55)，(1.72，0.62)，(1.83，1.72)，(1.83，2.28)，(1.83，1.55)，(1.83，0.62)，(2.28，1.72)，(2.28，1.83)，(2.28，1.55)，(2.28，0.62)，(1.55，1.72)，(1.55，1.83)，(1.55，2.28)，(1.55，0.62)，(0.62，1.72)，(0.62，1.83)，(0.62，2.28)，(0.62，1.55)，且每个样本点出现的可能性相等， 而满足条件的样本点有(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.83，1.72)，(1.83，2.28)，(2.28，1.72)，(2.28，1.83)，(2.28，1.55)，(1.55，2.28)，共8个，故所求概率为＝. 6．某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字0，3，2，5编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　用事件A表示“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，但不是密码”，由于事件A比较复杂，可考虑它的对立事件，即“输入由0，3，2，5组成的一个四位数字，恰是密码”，显然它只有一种结果，四个数字0，3，2，5随机编排顺序，所有可能结果可用树状图表示，如图： 从树状图可以看出，将四个数字0，3，2，5随机编排顺序，共有24种可能的结果，即样本空间共含有24个样本点，且24个样本点出现的结果是等可能的，因此可以用古典概型来解决，由P()＝，得P(A)＝1－P()＝.因此所求的概率为.故选B. 7．有5根木棍，它们的长度分别为1，3，5，7，9，从中任取3根，它们能搭成一个三角形的概率为________． 答案　 解析　从5根木棍中抽取3根的基本事件有(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)，共10个．要使所取出的3根木棍能搭成一个三角形，需满足“任意2根木棍长的和大于第3根，任意2根木棍长的差小于第3根”，属于此情况的木棍的长只有3种搭配：(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)．因此，所取的3根木棍能搭成三角形的概率P＝. 8．某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，每个小组各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加座谈会． (1)求数学小组的甲同学没有被选中、自然科学小组的乙同学被选中的概率； (2)求数学小组的甲同学、自然科学小组的乙同学至少有一人不被选中的概率． 解析　我们把数学小组的三位成员记作S1，S2，S3，自然科学小组的三位成员记作Z1，Z2，Z3，人文科学小组的三位成员记作R1，R2，R3，则S1被选中的基本事件是(S1，Z1，R1)，(S1，Z1，R2)，(S1，Z1，R3)，(S1，Z2，R1)，(S1，Z2，R2)，(S1，Z2，R3)，(S1，Z3，R1)，(S1，Z3，R2)，(S1，Z3，R3)，然后把这9个基本事件中S1换成S2，S3又各得9个基本事件，故基本事件的总数是27，以S1表示数学小组中的甲同学，Z2表示自然科学小组中的乙同学． (1)数学小组的甲同学没有被选中、自然科学小组的乙同学被选中所含有的基本事件是上述基本事件中不含S1、含有Z2的基本事件，即(S2，Z2，R1)，(S2，Z2，R2)，(S2，Z2，R3)，(S3，Z2，R1)，(S3，Z2，R2)，(S3，Z2，R3)，共6个，故所求的概率为＝. (2)“数学小组的甲同学、自然科学小组的乙同学至少有一人不被选中”的对立事件是“数学小组的甲同学、自然科学小组的乙同学都被选中”，这个事件所包含的基本事件是(S1，Z2，R1)，(S1，Z2，R2)，(S1，Z2，R3)，共3个，这个事件的概率是＝，根据对立事件的概率计算方法，所求的概率是1－＝. 9．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率． 解析　(1)从袋中随机取两个球，该试验的样本空间Ω1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共含有6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等．记“取出的球的编号之和不大于4”为事件A，A＝{(1，2)，(1，3)}，含2个样本点．故P(A)＝＝. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，则样本空间Ω2＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共含16个样本点，且每个样本点出现的可能性相等．记“满足n<m＋2”为事件B，B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共含有13个样本点，故P(B)＝. 10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，则事件A包含的样本点有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝. 11．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其情况有： (a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜； (a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜； (a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜； (a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜； (a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜； (a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜， 共6种等可能结果． 其中田忌获胜只有一种情况：(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为，故选D. 12．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000块大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，任取一个，其两面涂有油漆的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　每条棱上两面涂油漆的有8块，共8×12＝96(块)，∴P＝＝. 13．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示： 文艺节目 新闻节目 总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计 55 45 100 (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2)用分层随机抽样的方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在(2)抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率． 解析　(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的． (2)应抽取大于40岁的观众×5＝×5＝3(名)． (3)用分层随机抽样的方法抽取的5名观众中，20至40岁的有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁的有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3. 设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众的年龄在20至40岁”，则A中的基本事件有6个：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝＝. 14．【多选题】已知m∈{1，2，3，4}，n∈{2，3，6，8}，设向量p＝(m，n)，且a＝(3，6)，b＝(2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．|p|＝的概率为 B．p与a共线的概率为 C．p⊥b的概率与p与a共线的概率相等 D．p·(a＋b)＝50的概率为 答案　BC 解析　依题意样本空间如表所示： 2 3 6 8 1 (1，2) (1，3) (1，6) (1，8) 2 (2，2) (2，3) (2，6) (2，8) 3 (3，2) (3，3) (3，6) (3，8) 4 (4，2) (4，3) (4，6) (4，8) 共16个样本点，对于A，由|p|＝，得m2＋n2＝13，满足事件的样本点只有(2，3)，(3，2)，则其概率为P＝＝，知A错；对于B，由p与a共线，得6m－3n＝0，即2m＝n，满足事件的样本点有(1，2)，(3，6)，(4，8)，则其概率为，知B正确；对于C，由p⊥b，得2m－n＝0，所以此事件的概率和p与a共线的概率相等，知C正确；对于D，由p·(a＋b)＝50，得5(m＋n)＝50，即m＋n＝10，满足事件的样本点有(2，8)，(4，6)，则其概率为P＝＝，知D错．故选BC. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业·10.1随机事件与概率 1．若P(A∪B)＝1，则互斥事件A和B的关系是(　　) A．A⊆B　　　　　 B．A，B是对立事件 C．A，B不是对立事件 D．A＝B 2．在3，6路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需车的概率为(　　) A．0.20 B．0.60 C．0.80 D．0.12 3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A. B. C. D．1 4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　) A. B. C. D. 5．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是(　　) A. B. C. D. 6．某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字0，3，2，5编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0，3，2，5组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是(　　) A. B. C. D. 7．有5根木棍，它们的长度分别为1，3，5，7，9，从中任取3根，它们能搭成一个三角形的概率为________． 8．某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，每个小组各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加座谈会． (1)求数学小组的甲同学没有被选中、自然科学小组的乙同学被选中的概率； (2)求数学小组的甲同学、自然科学小组的乙同学至少有一人不被选中的概率． 9．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率． 10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A. B. C. D. 11．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 12．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000块大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，任取一个，其两面涂有油漆的概率是(　　) A. B. C. D. 13．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示： 文艺节目 新闻节目 总计 20至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计 55 45 100 (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2)用分层随机抽样的方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ (3)在(2)抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率． 14．【多选题】已知m∈{1，2，3，4}，n∈{2，3，6，8}，设向量p＝(m，n)，且a＝(3，6)，b＝(2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．|p|＝的概率为 B．p与a共线的概率为 C．p⊥b的概率与p与a共线的概率相等 D．p·(a＋b)＝50的概率为 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$