精品解析：2025年河南省周口市郸城县名校九年级一模联考数学试题

2025春九年级第一次模拟试卷 数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在日常生活中，若收入200元记作元，则支出300元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 小浪底水利枢纽是黄河干流三门峡水利枢纽以下唯一能够取得较大库容的控制性工程．总库容126.5亿立方米，数据126.5亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于，的二元一次方程组，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正六边形中，连接，以点为圆心，的长为半径作，再以点为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积（单位：）变化的关系图象如图2所示，结合图3信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ） A. 当该容器的体积为时，氧气的密度为 B. 该容器内氧气的密度是关于体积的反比例函数 C. 若容器内氧气的密度为，则该容器的体积约为 D. 该容器内氧气的质量为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值：_____． 12. 某校田径队对学生进行百米跑训练，其中甲、乙、丙、丁四位同学成绩突出，表格中记录了他们10次百米跑所用时间的平均值与方差，要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的同学代表学校参加全市的田径百米跑比赛，应该选择_____． 甲 乙 丙 丁 /秒 12.1 131 12.1 13.1 06 0.6 0.9 0.5 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 如图，内接于，为的直径，过点A作的切线交的延长线于点，若，，则的长为_____． 15. 如图，在中，，，是平面内一点，，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的最大值为_____，最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 7.5 【数据应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由． （3）小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 18. 如图，矩形的顶点A，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图像上，已知点，． （1）求反比例函数的解析式． （2）将矩形平移得到矩形，平移后点的对应点在反比例函数的图像上，且点的纵坐标为2，求点的对应点的坐标． 19. 如图，在等腰中，已知，是的中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作腰上的高，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：． 20. 南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地．某综合实践学习小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动．他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量南阳解放纪念碑的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与纪念碑底座点位于同一水平地面的处立一标杆； ②测量两点间的距离； ③在处从点看到标杆顶点与纪念碑顶点在同一条直线上； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求南阳解放纪念碑的高度（结果精确到）． 21. “垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） （1）分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． （2）根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 22. 如图，某农户用喷枪对斜坡上的绿地进行喷灌，经测量，喷水头距地面，斜坡可以用一次函数刻画，喷出水柱的形状是抛物线，已知喷出水柱的水平距离（单位：米）与喷出水柱的高度（单位：米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 6 … 1 4 5 4 … 下面是某数学社团同学的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标点，并用平滑曲线画出该函数的图象． （2）求抛物线的表达式． （3）若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 23 综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____． 【问题解决】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025春九年级第一次模拟试卷 数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在日常生活中，若收入200元记作元，则支出300元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解正数和负数是具有相反意义的量成为解题的关键． 根据正数和负数是一组具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：若收入200元记作元，则支出300元应记作元． 故选：C． 2. 唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称．下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图的知识，解题的关键是根据主视图和左视图的定义，发挥空间想象能力选出正确的选项．分别求出对应几何体的主视图和左视图即可得到答案． 【详解】解：根据从正面看到的图形和从左面看的图形相同的只有选项B符合， 故选：B． 3. 小浪底水利枢纽是黄河干流三门峡水利枢纽以下唯一能够取得较大库容的控制性工程．总库容126.5亿立方米，数据126.5亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题关键是确定和的值．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看原数变成，小数点移动了多少位．小数点移动的位数与的绝对值相同．当原数的绝对值时，为正整数；当原数的绝对值时，为负整数．据此即可获得答案． 【详解】解：126.5亿． 故选：B． 4. 一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可知，，即可求得答案． 【详解】解：如图， 光线是平行的， 又杯底与水面平行 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 根据积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算法逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，故运算错误，不符合题意； B． ，故运算错误，不符合题意； C． ，故运算错误，不符合题意； D．  ，运算正确，符合题意． 故选：D． 6. 已知关于，的二元一次方程组，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查加减消元法，将第二个方程减去第一个方程，即可解答． 【详解】解：， ，得． 故选：D 7. 如图，在菱形中，，，交于点，于点，连接，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 8. 现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的结果有2种，再由概率公式求解即可．此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：把印有神舟十六号载人飞行任务、神舟十七号载人飞行任务，神舟十八号载人飞行任务的卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的有6种， ∴抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为， 故选：A． 9. 如图，在正六边形中，连接，以点为圆心，的长为半径作，再以点为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，交于点，证明为等边三角形，，求解，，，，结合即可得到结论。 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵正六边形， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，，， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴ ； 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键。 10. 如图1，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积（单位：）变化的关系图象如图2所示，结合图3信息窗中的内容，下列说法不正确的是（ ） A. 当该容器的体积为时，氧气的密度为 B. 该容器内氧气的密度是关于体积的反比例函数 C. 若容器内氧气的密度为，则该容器的体积约为 D. 该容器内氧气的质量为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可． 【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定， ∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意； 由图象可知，当时，， ∴，故D正确，不符合题意； ∴， 当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故C不正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值：_____． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键．根据不等式组的解及解集可得出a的范围，再范围内选取任一个符合条件的数即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集是， a的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 某校田径队对学生进行百米跑训练，其中甲、乙、丙、丁四位同学成绩突出，表格中记录了他们10次百米跑所用时间平均值与方差，要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的同学代表学校参加全市的田径百米跑比赛，应该选择_____． 甲 乙 丙 丁 /秒 12.1 13.1 12.1 13.1 0.6 0.6 0.9 0.5 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据平均数与方差的意义可作出判断即可． 【详解】解：在这四位同学中，甲、丙的平均时间一样，成绩比乙，丁好， 但甲的方差小，成绩比较稳定，由此可知，可选择甲 故答案为：甲 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 14. 如图，内接于，为的直径，过点A作的切线交的延长线于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正切的定义、圆的切线的性质、勾股定理等知识点，理解圆的切线的性质并灵活运用正切函数是解题的关键． 如图：连接，根据圆的切线的性质以及正切的定义可得，设该圆的半径为r，则、， 运用勾股定理列方程可求得，即，运用等面积法可得，再运用正切的定义以及线段的和差可得，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，即， 设该圆的半径为r，则，， ∵， ∴，解得：或（舍弃）， ∴， 如图：过A作， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是平面内一点，，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则的最大值为_____，最小值为_____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，发现点在以点为圆心、1为半径的圆上和点在以点A为圆心、1为半径的圆上并画出图形是解题的关键． 如图：连接，由勾股定理可得，再根据旋转的性质可得点在以点为圆心，1为半径的圆上；然后再证明可得，点在以点A为圆心，1为半径的圆上．然后画出图形，根据图形求最值即可． 【详解】解：如图：连接， ，， ． 是平面内一点，， 点在以点为圆心，1为半径的圆上． ，， ． 在与中， ， ， ， 点在以点A为圆心，1为半径的圆上． 如图1，当点在线段的延长线上时，最大， ∴，即的最大值为； 如图2，当点在线段上时，有最小值， ∴，即的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据立方根定义，零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 7.5 【数据应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由． （3）小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】（1）8；9； （2）乙，理由见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数等知识点，理解中位数、众数的意义成为解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义即可解答； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：甲组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是8、8，则甲组的中位数； 乙组学生成绩9分学生数最多，故乙组的众数． 故答案为：8，9． 【小问2详解】 解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小刚的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生． 故答案为：乙． 【小问3详解】 解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小西的观点比较片面． 18. 如图，矩形的顶点A，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图像上，已知点，． （1）求反比例函数的解析式． （2）将矩形平移得到矩形，平移后点的对应点在反比例函数的图像上，且点的纵坐标为2，求点的对应点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、求反比例函数解析式、平移的规律等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由矩形的性质结合已知条件可得，然后代入得即可解答； （2）先求出可得点向右平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到点，然后根据平移规律即可解答． 【小问1详解】 解：∵在矩形中， ∴，． ，， ，， ． 把点代入得， ， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：点的纵坐标为2， ， ．即点向右平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到点． 由（1）知点的坐标为， 点向右平移4个单位长度、向上平移2个单位长度得到点． 19. 如图，在等腰中，已知，是的中点． （1）请用无刻度直尺和圆规作腰上的高，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，作垂线，等腰三角形三线合一性质和全等三角形的判定与性质等知识，判定是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）证明得出，从而的得解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求作上的高； 【小问2详解】 如图所示，连接交于点， 由（1）得， ∵，是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 20. 南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地．某综合实践学习小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动．他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量南阳解放纪念碑高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与纪念碑底座点位于同一水平地面的处立一标杆； ②测量两点间的距离； ③在处从点看到标杆顶点与纪念碑顶点在同一条直线上； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求南阳解放纪念碑的高度（结果精确到）． 【答案】约为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，得，，，即得，进而由得，代入计算求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形， ，，， ∴， ， ， ， ， ． ， 答：南阳解放纪念碑的高度约为． 21. “垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买，两种型号的垃圾桶，已知型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） （1）分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． （2）根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 【答案】（1）A型垃圾桶的单价为100元，B型垃圾桶的单价为120元； （2）所需的最少经费为6480元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个．根据题意可得，解得；设所需经费为元，则，然后根据一次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：设型垃圾桶的单价为元，则型垃圾桶的单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）． 答：型垃圾桶的单价为100元，型垃圾桶的单价为120元． 【小问2详解】 解：设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个． 型垃圾桶的数量不超过型垃圾桶的倍， ，解得． 设所需经费为元，则． ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为（元）． 答：所需的最少经费为6480元 22. 如图，某农户用喷枪对斜坡上的绿地进行喷灌，经测量，喷水头距地面，斜坡可以用一次函数刻画，喷出水柱的形状是抛物线，已知喷出水柱的水平距离（单位：米）与喷出水柱的高度（单位：米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 5 6 … 1 4 5 4 … 下面是某数学社团同学的探究过程，请补充完整： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象． （2）求抛物线的表达式． （3）若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）从处喷出的水柱能越过这棵树的树顶，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）利用抛物线的对称性，求得顶点坐标为，设抛物线的表达式为，把代入求解即可； （3）当时，求得两个二次函数的纵坐标，据此求解即可． 【小问1详解】 解：描点，连线，函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：由表格知，抛物线经过，， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：当时， ，， ， 从处喷出的水柱能越过这棵树的树顶． 23. 综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （）如图，在“双垂四边形”中，若，则_____，的值为_____． 【问题解决】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． 【拓展应用】 （）如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（），；（）；（）或 【解析】 【分析】（）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （）如图，过点作于点，由（）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，分两种情况：①当点的对应点在的上方时；②当点的对应点在的下方时， 分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，； （）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图，过点作于点， 由（）知，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可得，， ∴， 由折叠的性质可知四边形为正方形， 连接，则，， 分两种情况：①如图，当点的对应点在的上方时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴； ②如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得， ∴； 综上可得，的面积为或． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$