8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定 （导学案)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定 导学案 1、 学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义； 2.了解直线与平面所成角的概念. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直. 4.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题． 2、 重点难点 重点： 1.直线与平面垂直的定义，用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明； 2.对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解 难点： 1.概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直” 2.求直线和平面所成角时，直线的射影的寻找学生初接触会有点难度. 3.直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直． 3、 导入新知 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系（图8.6-7），教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象． 观察 如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，影子的位置在不断变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？ 事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直．对于地面上不过点B的任意一条直线， 总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线也垂直，因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直． 一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作． 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示． 思考 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 可以发现，过一点作垂直于已知平面的直线有且只有一条． 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离． 下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件． 根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？ 探究 如图8. 6-10，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，与桌面接触）． （1）折痕与桌面垂直嘛？ （2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 容易发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直(图8．6-11)的充要条件是折痕AD是BC边上的高．这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD， DC都垂直． 事实上，由基本事实的推论2，平面可以看成是由两条相交直线，所唯一确定的，所以当直线垂直于这两条相交直线时，就能保证直线与内所有直线都垂直． 一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理． 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直的相互转化”． 思考 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？ 4、 能力提升 例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 已知：如图8.6-12，，，求证 分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线垂直于平面内的两条相交直线即可． 证明：如图8.6-13，在平面内取两条相交直线，． 直线，，．，，，又，，，是两条相交直线，． 你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？ 【变式】已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（   ） ①若，，则；            ②若，，则； ③若，，则；            ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【知识点】证明异面直线垂直、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】借助长方体模型考察直线是否可在平面内，可判断①②；在平面内取两条相交直线m，n，根据线面垂直判定定理可判断③；利用线面平行的性质定理和异面直线夹角定义可判断④. 【详解】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图， 当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确； 当直线为直线a时，满足，，而，②不正确； 在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则， 而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确； 因，过直线b作平面，如图， 则有，又，，于是得，从而得，④正确， ∴给定命题正确的是③④. 故选：D. 直线与平面垂直的定义的理解 直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法． 如图8.6-14，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如果是平面内的任意一条不与直线重合的直线，那么直线与直线所成的角和直线与这个平面所成的角的大小关系是什么？ 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是．直线与平面所成的角θ的取值范围是． 5、 应用新知 例4 如图8.6-15，在正方体中，求直线和平面所成的角． 分析：关键是找出直线在平面． 解：连接与相交于点，连接．设正方体的棱长为． ，，，平面．， 又，平面， 为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角． 在中，，． ．直线和平面所成的角为． 【变式】如图所示正方体中，与对角面所成的角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的概念及辨析、证明线面垂直 【分析】结合正方体性质和线面垂直性质和判定定理可得平面，然后根据线面夹角的定义即可求解. 【详解】由正方体性质可知，， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，所以平面， 故OB为在平面上的射影， 从而为与平面所成的角． 故选：D. 【感悟提升】　求直线与平面所成的角的步骤 　　 6、 能力提升 题型一　直线与平面垂直的定义 【练习1】下列命题正确的是（    ） A．与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直 B．过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行 C．各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合 D．各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥 【答案】C 【知识点】棱锥的结构特征和分类、平行公理、判断线面是否垂直 【分析】由直线与平面垂直的定义判断A；由平行公理判断B；正四面体的特性判断C；举例说明判断D作答. 【详解】对于A，一条直线与平面内的任意直线垂直，则直线与平面垂直，而无数条直线可以是一组平行直线，A不正确； 对于B，由平行公理知，过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，B不正确； 对于C，因各面都是正三角形的四面体是正四面体，而正四面体的外接球球心和内切球球心重合，C正确； 对于D，三棱锥中，， 显然三棱锥各面都是等腰三角形，而三棱锥不是正三棱锥，D不正确. 故选：C 【感悟提升】　直线与平面垂直定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直：若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直，即线线垂直⇒线面垂直； (2)证明线线垂直：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直．　 题型二、直线与平面垂直的判定定理 【练习2】已知，为两个不同平面，，为两条不同直线，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 【答案】B 【知识点】证明面面平行、线面垂直证明线线平行、线面垂直证明面面平行、空间垂直的转化 【解析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解. 【详解】对于A，，，根据线面垂直的性质可知，垂直于 同一平面的两直线平行，选项A正确； 对于B， ，，根据线面垂直的定义以及线面平行 的判定定理可知或，故选项B错误； 对于C， ，，根据线面垂直的性质定理以及面面平行 的判定定理可得，故选项C正确； 对于D，由和可知或，又，则由线面 平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知，，故选项D正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基础题. 【感悟提升】1.应用线面垂直判定定理的注意事项 (1)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的． (2)判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把证明线面垂直转化为证明线线垂直．即l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒l⊥α. 2.证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直． (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 题型三　 直线与平面所成的角 【练习3】如图，在正方体中，为与的交点，则与平面所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】在正方体内，可证明平面，根据线面角定义即可求出. 【详解】因为平面,平面, 所以， 又, , 所以平面， 所以为在平面内的射影， 故为与平面所成的角， 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面角，直线与平面的垂直的判定与性质，属于中档题. 【感悟提升】　求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 题型四　直线与平面垂直的应用 【练习4】如图，在正方形中，分别是的中点，沿把正方形折成一个四面体， 使三点重合，重合后的点记为 点在△AEF 内的射影为，则下列说法正确的是(        ) A．是的垂心 B．是 的内心 C．是 的外心 D．是的重心 【答案】A 【知识点】线面垂直的性质、证明线面垂直 【详解】 由题意得，可知两两垂直，由平面，从而， 而平面，从而， 所以平面， 所以，同理可知， 所以为的垂心，故选A. 点睛：本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，试题属于中档试题. 【感悟提升】　 1．关于三角形垂心、内心、外心的确定 首先要明确三种心的定义及其性质，再通过垂直关系确定点满足的条件，对应相应的性质进行判断． 2．关于垂直的条件的确定 (1)借助直观想象，选取特殊点后进行证明，若满足垂直关系，则即为要求的点． (2)设出要求的点，通过计算确定点的位置，一般需要利用勾股定理构造方程解题． 7、 课堂总结 1. 本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法? (1) 定义法: 强调“任意一条直线”. (2) 判定定理法: 强调“两条相交直线”. 2. 得出直线与平面垂直的判定定理的过程中, 体现了 什么数学思想方法? 转化、化归、类比, 先猜想后论证. 3. 如何求直线和平面所成的角? 通过作辅助线, 转化为直线与直线所成的角.师生互动: 学生发言, 互相补充, 教师点评完善, 归纳 出判断直线与平面垂直的方法. 练习（第152页） 1．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 1．解析：不一定，如圆锥的母线与底面所成角都相等，但圆锥的任意两条母线是相交直线，不是平行直线． 2．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面． 2．证明：平面，平面，． 又底面为正方形，．又，平面． 3．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？ 3．解析：底面四边形的两对角线垂直时，．证明如下： 如图，连接，，因为在直四棱柱中，平面，平面， ，若，又，平面， 平面，． 而在直四棱柱中，显然，． 4．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，． （1）若，则点是的 心． （2）若，，则点是边的 心． （3）若，，，垂足都为，则点是的 心． 4．答案：（1）外 （2）中 （3）垂 解析：（1）连接、、， ，且为公共边， ，，为的外心． （2）当时，由（1）可知为的外心，而直角三角形的外心即为斜边的中点， 为边的中点． （3）连接，并延长分别交、于、两点． ，，，平面，． ．，又，平面，，同理，， ∴点为三条高的交点，即点为的垂心． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定 导学案 1、 学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义； 2.了解直线与平面所成角的概念. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直. 4.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题． 2、 重点难点 重点： 1.直线与平面垂直的定义，用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明； 2.对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解 难点： 1.概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直” 2.求直线和平面所成角时，直线的射影的寻找学生初接触会有点难度. 3.直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直． 3、 导入新知 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识．比如，旗杆与地面的位置关系（图8.6-7），教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象． 观察 如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，影子的位置在不断变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？ 事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直．对于地面上不过点B的任意一条直线， 总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所在直线与直线也垂直，因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直． 一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作． 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示． 思考 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 可以发现，过一点作垂直于已知平面的直线有且只有一条． 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离． 下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件． 根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．那么，有没有可行的方法？ 探究 如图8. 6-10，准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，与桌面接触）． （1）折痕与桌面垂直嘛？ （2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 容易发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直(图8．6-11)的充要条件是折痕AD是BC边上的高．这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD， DC都垂直． 事实上，由基本事实的推论2，平面可以看成是由两条相交直线，所唯一确定的，所以当直线垂直于这两条相交直线时，就能保证直线与内所有直线都垂直． 一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理． 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直的相互转化”． 思考 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？ 4、 能力提升 例3 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 已知：如图8.6-12，，，求证 【变式】已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（   ） ①若，，则；            ②若，，则； ③若，，则；            ④若，，则． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 如图8.6-14，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如果是平面内的任意一条不与直线重合的直线，那么直线与直线所成的角和直线与这个平面所成的角的大小关系是什么？ 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是．直线与平面所成的角θ的取值范围是． 5、 应用新知 例4 如图8.6-15，在正方体中，求直线和平面所成的角． 【变式】如图所示正方体中，与对角面所成的角是（    ）． A． B． C． D． 　　 6、 能力提升 题型一　直线与平面垂直的定义 【练习1】下列命题正确的是（    ） A．与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直 B．过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行 C．各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合 D．各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥 题型二、直线与平面垂直的判定定理 【练习2】已知，为两个不同平面，，为两条不同直线，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 题型三　 直线与平面所成的角 【练习3】如图，在正方体中，为与的交点，则与平面所成的角是（    ） A． B． C． D． 题型四　直线与平面垂直的应用 【练习4】如图，在正方形中，分别是的中点，沿把正方形折成一个四面体， 使三点重合，重合后的点记为 点在△AEF 内的射影为，则下列说法正确的是(        ) A．是的垂心 B．是 的内心 C．是 的外心 D．是的重心 7、 课堂总结 1. 本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法? (1) 定义法: 强调“任意一条直线”. (2) 判定定理法: 强调“两条相交直线”. 2. 得出直线与平面垂直的判定定理的过程中, 体现了 什么数学思想方法? 转化、化归、类比, 先猜想后论证. 3. 如何求直线和平面所成的角? 通过作辅助线, 转化为直线与直线所成的角.师生互动: 学生发言, 互相补充, 教师点评完善, 归纳 出判断直线与平面垂直的方法. 练习（第152页） 1．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 2．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面． 3．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？ 4．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，． （1）若，则点是的 心． （2）若，，则点是边的 心． （3）若，，，垂足都为，则点是的 心． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$