8.6.2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 （导学案)-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

8.6.2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 导学案 1、 学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理； 2.运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题； 3.了解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的关系。 2、 重点难点 重点：1.平面与平面垂直的性质定理及其应用； 2.探究、发现直线与平面垂直的性质定理及性质定理的 简单应用. 难点：1.用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题； 2.直线与平面垂直的性质定理的推导证明以及灵活运用. 3、 导入新知 下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线与平面垂直的条件下能推出哪些结论． 根据已有经验，我们可以探究直线与平面内的直线的关系．但由定义，与内的所有直线都垂直．所以，可以探究， 与其他直线或平面的关系． 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢? 观察 （1）如图8.6-16，在长方体中，棱，，，所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系？ （2）如图8.6-17，已知直线，和平面．如果，，那么直线，一定平行吗？ 可以发现，这些直线相互平行．不失一般性，我们以（2）为例加以证明．如图8.6-18，假设b与不平行，且．显然点不在直线上，所以点与直线可确定一个平面，在该平面内过点作直线，则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面，设，则．因为，，所以，．又因为，所以．这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线， 与垂直，显然不可能．因此． 由于无法把两条直线归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”． 这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理： 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行． 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行．直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系． 在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论？如果平面与平面平行，你又能得到什么结论？ 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗? 4、 应用新知 例5 如图8.6-19，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等． 【变式】（多选题）下列说法中正确的有（    ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直 C．直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 例6 推导棱台的体积公式 ， 其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高． 【变式】米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为，则（    ） A． B． C． D． 5、 能力提升 题型一　直线与平面垂直的性质定理的应用 【练习1】已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，m⊥n，则 D．若，，则 题型二 空间中的距离问题 【练习2】线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（    ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 题型三 直线与平面垂直关系的综合应用 【练习3】已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)直线与平面垂直的定义． (2)直线与平面垂直的判定定理． (3)直线与平面所成的角． (4)直线与平面垂直的性质定理． 2．方法归纳：转化思想，数形结合． 3．常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直． 练习（第155页） 1．已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是 ． 2．已知，两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线． 3．如图，和都垂直于平面，且，是的中点，求证： 平面． 4．求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，(提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行．) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.6.2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 导学案 1、 学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理； 2.运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题； 3.了解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的关系。 2、 重点难点 重点：1.平面与平面垂直的性质定理及其应用； 2.探究、发现直线与平面垂直的性质定理及性质定理的 简单应用. 难点：1.用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题； 2.直线与平面垂直的性质定理的推导证明以及灵活运用. 3、 导入新知 下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线与平面垂直的条件下能推出哪些结论． 根据已有经验，我们可以探究直线与平面内的直线的关系．但由定义，与内的所有直线都垂直．所以，可以探究， 与其他直线或平面的关系． 我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢? 观察 （1）如图8.6-16，在长方体中，棱，，，所在直线都垂直于平面，它们之间具有什么位置关系？ （2）如图8.6-17，已知直线，和平面．如果，，那么直线，一定平行吗？ 可以发现，这些直线相互平行．不失一般性，我们以（2）为例加以证明．如图8.6-18，假设b与不平行，且．显然点不在直线上，所以点与直线可确定一个平面，在该平面内过点作直线，则直线与是相交于点的两条不同直线，所以直线与可确定平面，设，则．因为，，所以，．又因为，所以．这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线， 与垂直，显然不可能．因此． 由于无法把两条直线归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4．在这种情况下我们采用了“反证法”． 这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理： 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行． 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行．直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系． 在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论？如果平面与平面平行，你又能得到什么结论？ 你还能自己提出更多的问题，发现更多的结论吗? 4、 应用新知 例5 如图8.6-19，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距离相等． 证明：过直线上任意两点，分别作平面的垂线，， 垂足分别为，． ，，， 设直线，确定的平面为，，，． 四边形为矩形．． 由，是直线上任取的两点，可知直线上各点到平面的距离相等． 【变式】（多选题）下列说法中正确的有（    ） A．垂直于同一个平面的两条直线平行 B．过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直 C．直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 【答案】AB 【知识点】判断线面是否垂直、线面垂直证明线线平行、判断线面平行、平面的基本性质及辨析 【分析】A由线面垂直的性质判断；B根据平面的基本性质过一点有且仅有一条直线垂直于平面；C、D画出线面相交的反例、画出线面不垂直情况下的反例. 【详解】垂直于同一个平面的两条直线是平行的，A正确； 过空间一点有且只有一条直线和已知平面垂直，B正确； 如下图，直线上有两点到平面的距离相等，直线与平面可能相交， C错误； 如果直线垂直于平面内的无数条直线，如下图直线（不与平面垂直），在平面内一条直线且， 显然，平面内存在无数条直线与平行，则垂直于平面内无数条直线，但直线和平面不垂直，D错误； 故选：AB 【感悟提升】　空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离； (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．由例5我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 例6 推导棱台的体积公式 ， 其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高． 解：如图8.6-20，延长棱台各侧棱交于点，得到截得棱台的棱锥．过点作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，，则垂直于棱台的上底面(想一想，为什么?)，从而． 设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为，则．于是 ，． 所以棱台的体积 ． ① 由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似①，并且 ，①请你自己证明这个结论 所以 代入①，得． 【变式】米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算、由线面角的大小求长度 【分析】设该米斗的高为，解得．根据米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为列方程求得. 【详解】设该米斗的高为，解得． 易知上口的对角线的长度为，下口的对角线长度为， 所以侧棱与下底面所成角的正切值为， 解得． 故选：B 5、 能力提升 题型一　直线与平面垂直的性质定理的应用 【练习1】已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，m⊥n，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】线面垂直证明面面平行、判断面面平行、判断线面平行 【分析】A选项可用线面平行的判定定理进行判断； B选项根据面面的位置关系进行判断； C选项根据线面的位置关系进行判断； D选项可用线面垂直的性质定理件进行判断. 【详解】A不正确，因为，可得出n与内的直线位置关系是平行或异面； B不正确，因为，中的平行关系不具有传递性，平行于同一直线的两个平面可能平行，也可能相交； C不正确，，m⊥n，可得出或； D正确，，，可根据垂直于同一直线的两个平面平行得出. 故选：D. 【感悟提升】　证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． 题型二 空间中的距离问题 【练习2】线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（    ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 【答案】D 【知识点】求点面距离 【分析】根据A，B是否在平面的同一侧分类讨论进行求解即可. 【详解】当A，B在平面同侧时，如图所示：设，， 显然，由梯形中位线定理可知：，    当A，B在平面异侧时，如图所示：设，，    则有，且， 由平行线成比例定理可知中： ， ，得， 故选：D. 【感悟提升】　空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(或等分点)转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 题型三 直线与平面垂直关系的综合应用 【练习3】已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 【答案】ABD 【知识点】判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】由矩形，得，若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故不正确． 【详解】解：矩形，矩形， ，故正确． 若，则平面， 又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直， 故不正确，故不正确； 矩形， ，， 平面，，故正确； 矩形， 由三垂线定理得，故正确； 故选：． 【感悟提升】直线与平面垂直关系　 (1)线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面．要证线面垂直，可通过线面垂直的定义及判定定理，体现了→→，解题时要注意这种相互转化关系的合理应用． (2）要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法． (3)综合应用线面垂直的判定、性质证明线线垂直时，一是根据已知的垂直关系，确定需要证明的直线和平面；二是思路调整，比如要证明直线a垂直于平面α内的直线b，往往需要证明直线b垂直于直线a所在的平面β.　　 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)直线与平面垂直的定义． (2)直线与平面垂直的判定定理． (3)直线与平面所成的角． (4)直线与平面垂直的性质定理． 2．方法归纳：转化思想，数形结合． 3．常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直． 练习（第155页） 1．已知直线，和平面，且，，则与的位置关系是 ． 1．答案：或． 2．已知，两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线． 2．证明：过点、分别作，，分别交于点、，连接， ，与距离相等，即，又，，， ∴四边形为平行四边形， ，又，． 3．如图，和都垂直于平面，且，是的中点，求证： 平面． 3．证明：证法一：取中点，连接，， ，是中点，则 又、都垂直于平面，．所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，平面． 又是中点，，平面，平面，平面， 又，所以平面平面，又平面，平面． 证法二：取的中点，连接，．，， 又，，，所以四边形为平行四边形，． 又平面，平面，平面． 4．求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，(提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行．) 4．已知：，，求证：． 证明：如图，过直线任作平面，， 使，，，， ，，，，，， ∴在平面内，，又，，． 同理．又直线，相交，，，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$