精品解析：陕西省西安市新城区西光中学教育集团2024-2025学年八年级下学期开学收心考数学试题

2024-2025学年西安市西光中学教育集团 八年级（下）开学数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 与数轴上的点一一对应的是（ ） A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点向左平移3个单位，向上平移2个单位到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，若∠ACE＝20°，则∠B的度数为（　　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 6. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，在同一条直线上，则a的值是（ ） A. 6或 B. 6 C. -6 D. 6或3 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，是边上的高线，，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则当x＝4时，点R应运动到( ) A. P处 B. Q处 C. M处 D. N处 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小： ______ （填 、或） 12. 命题“若a3＝b3，则a＝b”是________(填“真”或“假”)命题． 13. 若点，关于轴对称，则____________.. 14. 在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：①与互余；②；③，其中可以判定是直角三角形的有 _____个． 15. 如图，，，．给出下列结论： ①；②；③． 其中正确的结论是________．（将你认为正确的结论序号都填上） 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程组 （1）； （2）． 19. 已知：如图，等腰三角形的一个底角为锐角，腰为，求作这个等腰三角形． 20. 如图，已知．求证：． 21. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ 22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的____________，本次调查数据的中位数是____________h，本次调查数据的众数是____________h； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？ （3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 23. 如图，已知，E是上一点，．求证：． 24. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运25吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物450吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2.5万元，该公司采购两种型号的机器人各若干台，费用恰好是40万元，求该公司共有几种采购方案？两种机器人分别采购了多少台？ 25. 如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年西安市西光中学教育集团 八年级（下）开学数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的） 1. 与数轴上的点一一对应的是（ ） A. 整数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的，解答即可． 本题考查了实数与数轴上的点的对应关系，熟练掌握这个关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得数轴上的点与实数是一一对应的． 故选：D． 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的意义，立方根的意义即可求出答案． 【详解】解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，故原式错误，不符合题意； C、，故原式错误，不符合题意； D、，该选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平方根的意义，立方根的意义，解题的关键是正确理解平方根的意义，立方根的意义，本题属于基础题型． 3. 点向左平移3个单位，向上平移2个单位到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】让P的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标． 【详解】解：根据题意，点Q的横坐标为：2-3=-1；纵坐标为-3+2=-1； 即点Q的坐标是（-1，-1）． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 4. 如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 由题意知，，，由，可得，进而可求． 【详解】解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，若∠ACE＝20°，则∠B的度数为（　　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到△ADC是等腰直角三角形，求得AD＝CD，∠CAE＝∠ACD＝45°，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠DEC，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AD⊥BC，∠ACB＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝CD，∠CAE＝∠ACD＝45°， 在Rt△ABD与Rt△CED中， ∴Rt△ABD≌Rt△CED（HL）， ∴∠B＝∠DEC， ∵∠DEC＝∠CAE+∠ACE＝45°+20°＝65°， ∴∠B＝65°， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，求出，再求出，根据三角形内角和求出． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活应用整体思想，求出． 7. 若点，，在同一条直线上，则a的值是（ ） A. 6或 B. 6 C. -6 D. 6或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的特点，设一次函数的解析式为y=kx+b，然后把AB点的坐标代入解析式，解方程组，即可求出一次函数的解析式，再将x=5代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：设该直线对应的函数表达式为， 把，代入，得 解得 ∴， 又∵点也在这条直线上， ∴. 故选B. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．解决本题的关键是根据一次函数解析式的特点先求出一次函数的函数关系式． 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与网格问题，所以此题先得出的面积及，然后根据等积法可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴，， ∴点C点到AB的距离为； 故选D． 9. 在中，，是边上的高线，，则的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是要分两种情况讨论． 分两种情况，当在内部时，由三角形高线定义求出，即可得到；当在外部时，求出，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，当在内部时， ∵是边上的高线，， ∴， ∴； 如图，当在外部时， ∵是边上的高线，， ∴， ∵， ∴； ∴的度数为或．   故选：D ． 10. 如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则当x＝4时，点R应运动到( ) A. P处 B. Q处 C. M处 D. N处 【答案】A 【解析】 【分析】根据点R的移动规律，点R的运动路径为0→4，4→9，9→13，所在线段为NP，PQ，QM，所以当x=4时，点R运动到高不变的开始，即P点处. 【详解】当R从N向P运动时，S△MNR=·MN·NR ∵NR不断增加， ∴S△MNR面积不断增大 当R从P向Q运动时，S△MNR=·MN·NP ∵MN、PN不变， ∴S△MNR面积保持不变 当R从Q向M运动时，S△MNR=·MN·MR ∵MR不断减小， ∴S△MNR面积不断减小 故当x=4时，点R运动到高不变的开始，即P点处. 【点睛】本题考查了矩形简单的动点问题与一次函数图象结合，解题关键是将△MNR的面积表示出来，发现随着点的运动，面积的变化仅由高变化引起，找到高不变的开始和结束即为面积不变的开始和结束. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 12. 命题“若a3＝b3，则a＝b”是________(填“真”或“假”)命题． 【答案】真 【解析】 【详解】命题“若a3＝b3，则a＝b”是真命题． 故答案为：真 13. 若点，关于轴对称，则____________.. 【答案】4 【解析】 【详解】根据关于x轴对称的点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，可知b=3，a-2=-a，解得a=1，因此可求得a+b=4. 故答案为4. 14. 在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件：①与互余；②；③，其中可以判定是直角三角形的有 _____个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据题意给出的条件依次进行证明即可． 【详解】解：①与互余， ， ， ， 是直角三角形，故①正确； ②， ，即， 是直角三角形，故②正确； ③， ， 是直角三角形，故③正确； 综上所述，可以判定是直角三角形的有①②③， 故答案为：3． 15. 如图，，，．给出下列结论： ①；②；③． 其中正确的结论是________．（将你认为正确的结论序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．利用全等三角形的判定和性质，可以证明，，，由此即可一一判断． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，故①②正确， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴，故③正确， 故答案为①②③． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键． 由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点平移后的横坐标，结合平移前点的横坐标，即可求出结论． 【详解】解：将代入中得， ， ∴直线的函数解析式为， 过作轴于，过作轴于，如图所示 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理可证， ， ， ， ∴平移后， 将代入中， ， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据负整数指数幂，二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解下列方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程即可； 【小问1详解】 解： 由①得 ③， 把③代入②得：， 解得： 把代入①得： ∴； 【小问2详解】 整理得： 由①得 ③， 把③代入②得 解得：， 把代入得：， ∴． 【点睛】本题考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解题的关键． 19. 已知：如图，等腰三角形的一个底角为锐角，腰为，求作这个等腰三角形． 【答案】 如图所示， 即为所求，，， 【解析】 【分析】本题考查作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据题意底角为锐角，腰为，即可得到等腰三角形． 【详解】略 20. 如图，已知．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行线的判定定理，根据，得到，由，推出，即可得出结论． 【详解】略 21. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ 【答案】（）；（）此时每天利润为元． 【解析】 【详解】试题分析：（1） 根据题意用待定系数法即可得解； （2）把x=35代入（1）中的解析式，得到销量，然后再乘以每件的利润即可得. 试题解析：（）设，将，和，代入，得：，解得：， ∴； （）将代入（）中函数表达式得： ， ∴利润（元）， 答：此时每天利润为元． 22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）求图1中的____________，本次调查数据的中位数是____________h，本次调查数据的众数是____________h； （2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？ （3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数． 【答案】（1） （2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时 （3）估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人 【解析】 【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解； （2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解； （3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 中位数为第与个数的平均数，即， 由条形统计图可知，众数为3， 故答案为：； 【小问2详解】 解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时， 答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23. 如图，已知，E是上一点，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴，， ∴在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．先证明，得出，，进而证明，即可得出结论． 【详解】略 24. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运25吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物450吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2.5万元，该公司采购两种型号的机器人各若干台，费用恰好是40万元，求该公司共有几种采购方案？两种机器人分别采购了多少台？ 【答案】（1）每台型机器人每天搬运货物100吨，每台型机器人每天搬运货物75吨 （2）公司共有种购买方案，方案一：种机器人采购台，种机器人采购台；方案二：种机器人采购台，种机器人采购台；方案三：种机器人采购台，种机器人采购台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． （1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据“3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物450吨”，列出方程，解方程即可得出答案； （2）：设种机器人采购台，种机器人采购台，由“该公司采购两种型号的机器人各若干台，费用恰好是40万元”，列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨， 由题意得：， 解得：， ， 每台型机器人每天搬运货物100吨，每台型机器人每天搬运货物75吨； 【小问2详解】 解：设种机器人采购台，种机器人采购台， 由题意得：， 均为非负整数， 当时，；当时，；当时，， 公司共有种购买方案，方案一：种机器人采购台，种机器人采购台；方案二：种机器人采购台，种机器人采购台；方案三：种机器人采购台，种机器人采购台． 25. 如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】（1）中点，6 （2）存在，运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）求出运动的路程即可判断的位置，由题意得：，求出的值即可； （2）列出关于的方程，求出的值，即可解决问题． 【小问1详解】 当点第一次到达点时， ， 运动了， 点的位置在中点； 当点追上点时， 由题意得：， ， 当、运动6秒时，点追上点， 故答案为：中点，6． 【小问2详解】 如图，， 作于， ，， ， ， ， 、运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $