第二十二章 四边形压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

第二十二章 四边形压轴训练 一、选择压轴 1．如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（　　） A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量 C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量 2．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．正方形的两边分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为旋转中心，把旋转，则旋转后D点得到的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（   ） A．4 B．2 C． D．1 6．如图，已知点P是菱形的对角线延长线一点，过点P分别作、延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 二、填空压轴 7．如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么 ． 8．如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 9．如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 10．如图，在多边形中，，，则 ． 11．如图，的直角顶点A在反比例函数的图象上，斜边在x轴上，延长到点D，使，以，为边作平行四边形．若的面积为10，则点D的坐标为 ． 12．如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发在上往返运动．两点同时出发，当点第一次返回点时点也停止运动，设运动时间为（）．当 时，四边形是平行四边形． 13．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    14．如图，E为正方形边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 15．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为 ． 16．在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．    17．如图，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，垂足为，下列结论中：①为线段的中点；②；③；④，正确的结论有 ． 18．如图，在菱形中，、分别是边，上的动点，连接，，点、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 19．如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是 ． 20．如图，正方形中，将线段绕点A顺时针旋转得到线段的延长线交正方形的对角线于点F，则的度数为 ． 三、解答压轴 21．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 22．已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上． (1)①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； (2)如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 23．如图，直线交x轴于点，交y轴于点，交双曲线于点． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)点P为线段上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形为平行四边形时，求点P的横坐标a的值． 24．如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，求的长． 25．如图，矩形中，，点P，Q分别为上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接，交点为点E，连接，交点为点F，设点P的运动时间为t秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形为矩形时，求t的值； (3)试判断四边形能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值：若不能，请说明理由． 26．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． (1)若，求的值； (2)求证：． 27．如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． (1)在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． (3)在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 7 / 9学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形压轴训练 一、选择压轴 1．如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（　　） A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量 C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量 【答案】C 【详解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意． B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意． C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意． D、+＝2≠，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小． 2．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①∵， ∴， ∵将纸片沿直线折叠，点C落在边上的一点H处， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∴， ∴只有时平分，故②错误； ③若点H与点A重合时，如图： 设，则， 在中，， 即， 解得：， 若点E与点D重合时，， ∴， ∴线段的取值范围为，故③错误； ④当点H与点A重合时，过点F作于M， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，故④正确； 综上所述，结论正确的有①③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠问题，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 4．正方形的两边分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为旋转中心，把旋转，则旋转后D点得到的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当顺时针旋转时，如图 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴当顺时针旋转时，旋转后的与重合， ∴， ∴点共线， ∴ ∴； 当逆时针旋转，如图： 同理可得此时点的对应点在延长线上， ∴， ∴， 综上所述，对应点的坐标是或， 故选：C． 5．如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（   ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴， ， ∵取边中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 同理可证明为菱形，且， ∴， 故选：B． 6．如图，已知点P是菱形的对角线延长线一点，过点P分别作、延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：如图：连接交于O， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 故选C． 二、填空压轴 7．如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵点G是两条中线AD、BE的交点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，， 点A、B的坐标分别为、， ，， 由题意可知：， ， 是中点， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ， 的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系等知识点，作辅助线构造，由三角形三边之间的关系得出是解题的关键． 9．如图，在平行四边形中，对角线相交于O点，，E是边的中点，G、F为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】120 【详解】解：如图所示，连接，过点作， ∵平行四边形中，对角线相交于点， ∴是边的中点， 又∵是边的中点， ∴是的中位线， ， 又∵， ， ∴四边形是平行四边形． ∴， 又∵， ， ， ， ， ∴等腰中边上的高为， ， ∵是边的中点， ， ∴阴影部分的面积为120． 故答案为：120． 10．如图，在多边形中，，，则 ． 【答案】/度 【详解】解：连接，如图： ， ∵五边形的内角和为：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，的直角顶点A在反比例函数的图象上，斜边在x轴上，延长到点D，使，以，为边作平行四边形．若的面积为10，则点D的坐标为 ． 【答案】 【详解】如图，过点A作轴于点E，则， 根据题意，得四边形ABCD是正方形， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， 解得， ∴，，点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴点A，D关于原点对称， ∴点D的坐标为． 12．如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发在上往返运动．两点同时出发，当点第一次返回点时点也停止运动，设运动时间为（）．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】或 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若四边形是平行四边形，则， 设运动时间为t． ，，， ∵当点第一次返回点时点也停止运动， ∴点也运动秒，则， 当时，点在上运动，则， ∴， ∴， 解得：； 当时，点在上运动，则， ∴， ∴， 解得：； 综上，当或时，四边形是平行四边形． 故答案为：或． 13．如图，在四边形中，，，点，在边上，且．连接，，则四边形周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，取的中点，作D关于直线的对称点，连交于点F，在边上，F点左侧截取，连，，    ， ， ，的中点为， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形周长， 由两点之间线段最短知，此时四边形周长最小， 在中，， 四边形周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短距离，勾股定理，垂直平线的性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正添加辅助线是解决此题的关键． 14．如图，E为正方形边上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，在上截取，连接， ∵正方形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ． 当时，的值最小． 过点M作于点N， ∴， ． 故线段长度的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图在直角坐标系中，正方形ABCO的两边分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵四边形是正方形，点B的坐标是， ∴， ∴中点D的坐标为， 如图所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“完美三角形”， ∴， ∴，解得． ∴点P的坐标为． 如图2所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为， 如图3所示，当点P在上时，设； ∵是边上的“中线三角形”， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 16．在正方形中，E是边上一点，连接，将正方形沿折叠，使点C的对应点落在正方形内部，连接并延长，交边于点F，的延长线交于点G，此时恰有，若，则 ．    【答案】4 【详解】解：连接， ∵折叠， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：4． 17．如图，在正方形中，、、分别是边、、上的点，，垂足为，下列结论中：①为线段的中点；②；③；④，正确的结论有 ． 【答案】②③④ 【详解】解：①如图，当点重合，重合时， 则点与点重合， 此时，，故①错误； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③过点作于点M，则四边形是矩形， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④由③知，四边形是矩形， ∴，， ∵在正方形中，， ∴ ∴，故④正确； 故答案为：②③④． 18．如图，在菱形中，、分别是边，上的动点，连接，，点、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ， 当时，则最小，得到最小值， ， ∴是等腰直角三角形， ，即， ， ， 故答案为：． 19．如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或或 【详解】解：（1）当为直角顶点时，与重合，如图： 此时； （2）当为直角顶点时，过作于，如图： 由旋转性质可得， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ③当为直角顶点时，如图： 此时共线， ， 在中， 综上所述：的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质，三角形全等的判定、勾股定理，分情况讨论是解题关键． 20．如图，正方形中，将线段绕点A顺时针旋转得到线段的延长线交正方形的对角线于点F，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转性质，等腰等边三角形判定和性质，三角形内角和定理，余角定义，平角定义，是解题的关键． 三、解答压轴 21．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 22．已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上． (1)①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； (2)如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)（1）①作图见解答；② (2)，理由见解析 【详解】（1）解：①补全图形如图， ②由旋转得，，旋转角度为， ∴， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接并延长，交延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由旋转得，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 即：． 23．如图，直线交x轴于点，交y轴于点，交双曲线于点． (1)求直线和双曲线的表达式； (2)点P为线段上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形为平行四边形时，求点P的横坐标a的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：把代入可得， ，解得， ∴直线解析式为， 把代入可得，， 把代入， 解得， 即双曲线解析式为； （2）解：设，， ∵点P在线段上， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解，但， ∴； 24．如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明: 在中，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， 过点 D作 ， ∵四边形是菱形， ∴ ，   ∴， 又∵，   ∴，， ∵，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． 25．如图，矩形中，，点P，Q分别为上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接，交点为点E，连接，交点为点F，设点P的运动时间为t秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当四边形为矩形时，求t的值； (3)试判断四边形能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值：若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)可以是菱形但不能是正方形，，不能是正方形的理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵由题意得， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 若四边形是矩形，则， 由题意得，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，或， ∴或时，四边形是矩形； （3）解：可以是菱形但不能是正方形， 当P为的中点时， 此时， ∵ ， ， ， ， 由（1）知四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； 由（2）得： 或时，四边形是矩形， ∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形， ∴四边形不可能为正方形 26．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 27．如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． (1)在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． (3)在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【详解】（1）解：．理由如下： 连接，如解图1所示． 由旋转的性质，知，． 又， ． ． （2）证法一：如解图2，延长交于点H． 由（1），知， ． ． ， ． ． ． ， ． 又， ． ． 即Q为的中点． 证法二：如解图3，过点C作， 交延长线于点K． 则， 由（1），知， ． ． ． 又， ． ， 即为的中点． （3）或． 连接，如解图4， 设矩形的长为，宽为， 由勾股定理，可得． 由旋转，得． 当时，，， ． ． 由（2），得为中点， ． ． 当时，，， ． ． ． ． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形旋转．熟练掌握矩形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分类讨论，添加辅助线，是解题的关键． 1 / 33学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$