专题06 （特殊）平行四边形中的最值问题（八大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题06 （特殊）平行四边形中的最值问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、平行四边形中的线段最值问题 1 类型二、矩形中的线段最值问题 6 类型三、菱形中的线段最值问题 11 类型四、正方形中的线段最值问题 17 类型五、平行四边形中的线段和差最值问题 21 类型六、矩形中的线段最值问题 28 类型七、菱形中的线段最值问题 33 类型八、正方形中的线段最值问题 38 压轴能力测评 43 类型一、平行四边形中的线段最值问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【例2】如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为 ． 【变式1-1】如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【变式1-2】已知四边形是平行四边形，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点E与点D重合时（如图2），则的长为 ； （2）当取最大值时，的长为 ． 【变式1-3】如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 类型二、矩形中的线段最值问题 【例3】如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为 ． 【例4】如图，，点在上，是边长为10的等边三角形，过点作与垂直的射线，，过射线上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（   ） A． B．20 C． D．40 【变式2-1】如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ． 【变式2-2】如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【变式2-3】如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（    ） A．3 B． C．5 D． 类型三、菱形中的线段最值问题 【例5】菱形的边长为4，，对角线、交于点，点为线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，则线段长的最小值为 ，最大值为 ． 【例6】如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为 ． 【变式3-1】如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ． 【变式3-2】如图，已知菱形的边长为5，面积为15，点E是对角线上的动点（不与点A重合），以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ． 【变式3-3】如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为 ． 类型四、正方形中的线段最值问题 【例7】如图，正方形ABCD边长为4，点P在对角线AC上（不含端点），以PA，PB为邻边作，则对角线PQ长度的最小值为 ． 【例8】如图，在边长为4的正方形中，点是对角线上的一动点，过点分别作，的垂线与，连接，则长度的最小值为 ． 【变式4-1】如图，在中，，以为边，在右侧作正方形，对角线与相交于点O，连接，则的最大值为 ． 【变式4-2】如图，在中，，，以为边作正方形，求的最大值 ． 【变式4-3】如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为 ． 类型五、平行四边形中的线段和差最值问题 【例9】如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则的最小值为 ． 【例10】如图，长为1的线段在x轴上移动，已知、，则的最小值是 ． 【变式5-1】如图，在中，，，为平行四边形对角线上一点，为边上一点，且，连接、，则的最小值为 ． 【变式5-2】如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ； （2）周长的最小值是 ． 【变式5-3】如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ． 类型六、矩形中的线段最值问题 【例11】如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F，且已知．    (1)求证：； (2)若点P为线段上一动点，求最小值． 【例12】如图，长方形中，，点是长方形内的一个动点，且的面积始终等于长方形面积的．若的最小值为，则的长为 ． 【变式6-1】如图，在矩形中，，点P为矩形内一点，满足；（1） 度；（2）若E在上一动点，则的最小值为 ．    【变式6-2】如图，在矩形中，M是的中点，P是上任意一点．若，，则的最大值为 ． 【变式6-3】如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 类型七、菱形中的线段最值问题 【例13】如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【例14】如图，在菱形中，，连接是的中点，M是上一点，且是上一动点，则的最大值为 ． 【变式7-1】如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【变式7-2】如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为 ． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ． 【变式7-3】如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 类型八、正方形中的线段最值问题 【例15】如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【例16】如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D． 【变式8-2】如图，在正方形中，对角线与交于点O，，E是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，求的长． 【变式8-3】如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 1．如图，和是菱形外的两个等边三角形，连接则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 2．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ） A． B． C．4 D．8 3．如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 4．如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 5．如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 6．如图，已知正方形的边长是，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最大值与最小值的差为 ． 7．如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 8．如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长度； (3)如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 9．如图，等腰梯形中，，，，M是的中点．    (1)求证：是等边三角形． (2)将绕点M旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，点E、F和点A构成． ①求证：是等边三角形． ②试探究的周长是否存在最小值？如果有，最小值是多少？ 10．（1）如图1，E为等边内一点，平分，D为边上一点，且，连接，取中点P，连接，，，直接写出与的位置关系，并直接用等式表示与的数量关系； （2）如图2，把图1中的绕点C顺时针旋转，其它条件不变，连接，点P为中点，连接，，，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，绕点C顺时针旋转，则的最大值为 ． 2 / 14学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 （特殊）平行四边形中的最值问题 目录 压轴题型讲练 1 类型一、平行四边形中的线段最值问题 1 类型二、矩形中的线段最值问题 6 类型三、菱形中的线段最值问题 11 类型四、正方形中的线段最值问题 17 类型五、平行四边形中的线段和差最值问题 21 类型六、矩形中的线段最值问题 28 类型七、菱形中的线段最值问题 33 类型八、正方形中的线段最值问题 38 压轴能力测评 43 类型一、平行四边形中的线段最值问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的坐标分别为，、、，若P是x轴上的一动点，若点A关于的对称点为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 / / 【详解】解：连接，如图： 平行四边形的坐标分别为、、、， ，， 若点关于的对称点为， ， 在中，由三角形三边关系可知：， ，即的最小值为，最大值为． 故答案为：，． 【例2】如图，在等边中，，点M，N分别在边上，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如解图，过点C，M分别作的平行线，并交于点P，作射线． ， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴当时，有最小值，此时， 最小值是． 故答案为 【变式1-1】如图中，，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作平行四边形，连接，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，即最小， 即当重合时，最小， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 【变式1-2】已知四边形是平行四边形，，，点E是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点H． （1）当点E与点D重合时（如图2），则的长为 ； （2）当取最大值时，的长为 ． 【答案】 【详解】（1）解：如图2所示，过D作的延长线于， 设，则， 由折叠可得， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得， 故答案为：． （2）解：由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 如图所示，当时，有最大值， 由（1）可得之间的距离为， ∴当时， ， 设，则， 由折叠可得， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 【变式1-3】如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】A 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 类型二、矩形中的线段最值问题 【例3】如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵于点，于点，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，即最小， 此时，即：， ∴； ∴的最小值为； 故答案为：． 【例4】如图，，点在上，是边长为10的等边三角形，过点作与垂直的射线，，过射线上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（   ） A． B．20 C． D．40 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形，对角线，的交点为， ， 是等边三角形， ，， ，且平分， 点在的垂直平分线上， 平分， ， 当时，的值最小， 此时， ，， ， 故选：A． 【变式2-1】如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ． 【答案】 / 【详解】解：如图1中， 四边形是菱形， ，， ∴，都是等边三角形， 当点与重合时，是等边的高， ∴ ∴． 如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接． ，， ， ， 四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 的最大值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式2-2】如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 【变式2-3】如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ，， ， ，， ， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：D． 类型三、菱形中的线段最值问题 【例5】菱形的边长为4，，对角线、交于点，点为线段上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，则线段长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 2 【详解】解：在上取点，使，连接， 由旋转得，，， ． 四边形为菱形， ，，． ， 为等边三角形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ， 点为的中点． 当时，取得最小值，当点与点或点重合时，取得最大值， 的最大值为2， 即线段长的最大值为2． ，， ， ， ， 即线段长的最小值为1． 故答案为：1；2． 【例6】如图，在菱形ABCD中，，，点M为边中点，点E为菱形四条边上的一个动点，沿的方向运动，连接，以为边作直角三角形，其中，，在点E运动的过程中，线段长度的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图，当点E在上时，则点F在射线运动，当运动到点B时，点F点运动到点，且；当点E在上时，则点F在线段上运动，且；当点E在上时，则点F在线段上运动，且；当点E在上时，，则点F在线段上运动，且，；所以点F的运动路径是一个菱形，其边长为4，当点E与点D重合，点F与点重合时，最长；连结； ∵在菱形ABCD中，，，点M为边中点， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴在中，； 所以线段长度的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，确定点F的运动路径是解题的关键与难点． 【变式3-1】如图，在菱形中，，，为边上一动点，将沿折叠为，为边上一点，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作于点，则， 四边形是菱形，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠得， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式3-2】如图，已知菱形的边长为5，面积为15，点E是对角线上的动点（不与点A重合），以为对角线作平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 设，， 菱形的边长为5，面积为15， ，， ，， 又，， 解得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，互相平分， 设交于点，则：， ∴当最小时，最小， ∴当时，有最小值， 此时：； 故答案为∶． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识．熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分，是解题的关键． 【变式3-3】如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图，连接交于点取的中点连接， 直线将菱形分成面积相等的两部分， 直线经过点 四边形是菱形， ， 都是等边三角形， 的最大值为 故答案为： 类型四、正方形中的线段最值问题 【例7】如图，正方形ABCD边长为4，点P在对角线AC上（不含端点），以PA，PB为邻边作，则对角线PQ长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设AB与PQ交于点O，过点作， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， ， ∴OE=AE， ∴OE2+AE2=AO2， ， 根据题意，是上的动点，当P点与E点重合时，PO取得最小值． 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 【例8】如图，在边长为4的正方形中，点是对角线上的一动点，过点分别作，的垂线与，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如下图，连接EC， ∵四边形ABCD是正方形，BC=4， ∴∠BCD=90°，∠DBC=45°， ∵EF⊥BC，EG⊥DC， ∴四边形EFCG是矩形， ∴FG=EC， ∴当EC⊥BD时，EC取得最小值，即FG取得最小值， 此时△BEC是等腰直角三角形， ∴EC=BC=， ∴FG的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等这个性质是解题的关键． 【变式4-1】如图，在中，，以为边，在右侧作正方形，对角线与相交于点O，连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图：以为边作等腰直角，且， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 若点A，点B，点F三点不共线时，； 若点A，点B，点F三点共线时，， ∴， ∴的最大值为9， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，，，以为边作正方形，求的最大值 ． 【答案】/ 【详解】如图所示，过点A作且，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴， ∴当点F，C，B三点共线时，有最大值，即的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为，即的最大值． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质可得： ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与平行且与的距离为的直线上， 根据垂线段最短可知，当点在边上时，最小且， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型五、平行四边形中的线段和差最值问题 【例9】如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长交于点Q，    依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉全等三角形的性质和找到最小值的位置． 【例10】如图，长为1的线段在x轴上移动，已知、，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图所示，以，为边构造平行四边形，作点C关于x轴的对称点F，连接， 则轴，  ， ∵四边形是平行四边形， ，， ∵垂直平分线 ， ， ， ∴当点E，A，F在同一直线上时，最短，等于的长度， 此时，∵中，，  ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式5-1】如图，在中，，，为平行四边形对角线上一点，为边上一点，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：如图所示，以为边作，在上取，过点作、，垂足为、，则四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∴当、、三点共线时，最小值即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关三角形的判定，证明． 【变式5-2】如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ； （2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴点到直线的距离是3； 故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值； 由（1）知，在中，，， ， ， 由对称性可知，，， 是等腰三角形， 又， ， ， ∴周长的最小值； 故答案为：. 【变式5-3】如图，和关于点O中心对称，，，，点P是上一动点，点Q是上一动点（点P、Q不与端点重合），且．连接，，则的最小值为 ． 【答案】18 【详解】解：∵和关于点O中心对称， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴过D作，且，连接，，如图， 则四边形是平行四边形，， ∴， ∴，当B、Q、K共线时取等号，此时最小，最小值为的长． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即的最小值为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了中心对称图形、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加平行线找到取得最小值的K点是解答的关键． 类型六、矩形中的线段最值问题 【例11】如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，交于点F，且已知．    (1)求证：； (2)若点P为线段上一动点，求最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为 【详解】（1）解：如图，    由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵四边形是矩形且， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， ∴， 解得  ，即， ∴， 如图，连接，    根据折叠得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点F、P、B三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 即最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠问题、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的判定，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【例12】如图，长方形中，，点是长方形内的一个动点，且的面积始终等于长方形面积的．若的最小值为，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，过点作于点， 则， ∵的面积始终等于长方形面积的， ∴ ∴， ∴点的轨迹为的垂直平分线， 连接，，则， ∴， 可知当点、、三点共线时，的值最小，如图2，最小值为的长， ∵的最小值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】如图，在矩形中，，点P为矩形内一点，满足；（1） 度；（2）若E在上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 90 / 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作点B关于的对称点，连接，    则， 当、E、P三点在同一条直线上时，取的最小值，即的长， 设的中点为O，连接，交以为直径的圆于点P， 此时即为的最小值， ∴ ， 在中， ∵， ∴ ， ∴， ∴取的最小值为； 故答案为：90；． 【点睛】本题考查矩形的性质、轴对称一最短线路问题 勾股定理, 有点难度，要求学生平时加强练习． 【变式6-2】如图，在矩形中，M是的中点，P是上任意一点．若，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴当最大时，的值最大，此时点与点重合， ∵M是的中点， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作于，交的延长线于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴当直线时，的值最大，为，即， 故选：D． 类型七、菱形中的线段最值问题 【例13】如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵，于点， ∴在中，， ∴， 则 作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图： 当三点共线，则有最大值，且为 ∴ ∴是等边三角形， 过作 则在中， 则 ∴ 则的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，三点共线求线段的差最小值，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【例14】如图，在菱形中，，连接是的中点，M是上一点，且是上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：连接并延长交于点，在中，，当M、P、O三点共线时，取得最大值，最大值为的长度． 过点O作于点N． 由题意得为等边三角形， 则，． 由O为中点得． 在中，得到， 则， 在中，， 勾股定理，得， 故的最大值为． 故答案为：． 【变式7-1】如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：为等边三角形，， ， 将沿翻折，得到， ， 四边形为菱形， ∴，，， ∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点， ∴是边上的中线，的角平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．根据题意确定最大值的情况是解题的关键． 【变式7-2】如图，在菱形中，． （1）菱形的面积为 ． （2）若点分别在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）如图所示，连接，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：； （2）如图，连接，作点关于直线的对称点，连接，可得， ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ，当三点共线时，最小， 四边形是菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 三点共线，当三点共线时，点，重合， ， ∴，即的最小值为4． 【变式7-3】如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ，， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 类型八、正方形中的线段最值问题 【例15】如图：已知正方形的边长为4，若P是对角线上一动点，E为边中点；连接；则P点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接、， ∵正方形的边长为4，E为边中点 ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分，点P在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【例16】如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点P．连接，线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接，则（定值）， 根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段的值最小， 在中，由勾股定理得， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到的中点的距离是定值是解题的关键． 【变式8-1】如图，E为正方形中边上的一点，且，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小，为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式8-2】如图，在正方形中，对角线与交于点O，，E是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，求的长． 【答案】 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵关于的对称点是，是的中点， ∴是的中点，即 在中，， ∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【变式8-3】如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵关于的对称点是，是的中点， ∴是的中点，即 在中，， ∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：1． 1．如图，和是菱形外的两个等边三角形，连接则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：作于M，作于点N，连接， ∵， ∴当点E，M，N，F共线时，取得最大值，即此时的值最大． 设菱形的边长为2， ∵和是菱形外的两个等边三角形， ∴，，， ∵， ∴，， 同理可求：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最大值为∶ ． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，以及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转不变性可知：，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴当的值最大时，的值最大， ∵， ∴的最大值为8， ∴的最大值为． 故选：B． 3．如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，，如图所示： 四边形是菱形， ， ， ，都是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 时，最小， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴， 的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题． 4．如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过作，交延长线于点，则， 由旋转性质可知：，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在上运动，四边形是正方形， 在正方形中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 作作的对称点，连接， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，， 如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 5．如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【答案】/7.2 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质． 6．如图，已知正方形的边长是，E是边上一动点，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，在上截取，使，连接，，延长到，使，延长，交的延长线于，连接， ∵正方形， ∴，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴在线段上运动， 如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为， 由勾股定理得，， 由题意知，，， ∴当重合时，最大，为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识．确定的运动轨迹，以及的最大值与最小值的情况是解题的关键． 7．如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 【答案】 3 / 【详解】解：当与点 重合时， 如图： 由于对称：，， 设，则，， 在中， 由勾股定理得：； ， 则； 如图：取中点， ， 由题意知，无论如何变动，经过点， 连接、、， 在△中， 四边形关于对称得到四边形， ，故只有当、、 三点共线时、长度最大， 此时， 过点作，，， 在中，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：3；． 8．如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长度； (3)如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)线段的长度为； (3)的最小值为． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点E是的中点， ∴， 设，则， 延长至，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴线段的长度为； （3）解：连接，， ∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵G是的中点， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断． 9．如图，等腰梯形中，，，，M是的中点．    (1)求证：是等边三角形． (2)将绕点M旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，点E、F和点A构成． ①求证：是等边三角形． ②试探究的周长是否存在最小值？如果有，最小值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②的周长存在最小值，最小值为． 【详解】（1）证明：过点D作于点P，过点A作于点Q，    则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵点M是的中点， ∴， 在中，， 故是等边三角形． （2）①证明：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，都是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， 由旋转可知，，， ∴， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②解：的周长存在最小值，最小值为． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时，取得最小值， 此时， ∴的最小值为，即的最小值是， ∵， ∴ ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值为． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，综合性较强，添加合适的辅助线是解题的关键． 10．（1）如图1，E为等边内一点，平分，D为边上一点，且，连接，取中点P，连接，，，直接写出与的位置关系，并直接用等式表示与的数量关系； （2）如图2，把图1中的绕点C顺时针旋转，其它条件不变，连接，点P为中点，连接，，，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，绕点C顺时针旋转，则的最大值为 ． 【答案】（1）；（2）结论成立，详见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，延长至，使，连接，， ∵等边， ∴，， ∵平分， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，，， ， ，， ， 是等边三角形， ∵， ，， ∴． （2）结论成立． 证明：如图，延长至，使，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ∴， 由（1）可知， ， ， 即， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ∵， ，， ∴． （3）在（2）的条件下，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，即最大值为，此时在上， ∴的最大值为， 故答案为：． 2 / 59学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$