专题08 向量的概念及其加减运算（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题08 向量的概念及其加减运算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、向量概念的辨析 3 类型二、相等向量与共线向量 4 类型三、向量的加法运算及其几何意义 5 类型四、向量的减法运算及其几何意义 7 压轴能力测评 7 一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. （3）平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定:零向量与任意向量平行. （4）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 二、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 三、向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 类型一、向量概念的辨析 【例1】下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（    ） A．正方形 B．圆 C．线段 D．点 【变式1-1】下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若四边形是平行四边形，则 D．若一个向量模为0，则该向量没有方向 【变式1-2】下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都是向量 【变式1-3】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 类型二、相等向量与共线向量 【例3】某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【例4】在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【变式2-1】如图，在菱形中，若，则以下说法中不正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【变式2-2】中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【变式2-3】如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 类型三、向量的加法运算及其几何意义 【例5】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 【例6】如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【变式3-1】化简或计算： (1)； (2)． 【变式3-2】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【变式3-3】若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 类型四、向量的减法运算及其几何意义 【例7】化简： (1) (2) 【例8】若，，则的取值范围是 . 【变式4-1】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【变式4-3】在边长为1的正方形中，若，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 1．对于平面向量，下列命题正确的是（    ） A．若向量与不相等，则 B．若，则向量 C．若向量与不共线，则与都是非零向量 D．若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 2．若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 5．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7．现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．四边形为菱形，其中，，则 . 9．已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 10．如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 11．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 12．甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 1 / 9学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 向量的概念及其加减运算 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、向量概念的辨析 3 类型二、相等向量与共线向量 5 类型三、向量的加法运算及其几何意义 8 类型四、向量的减法运算及其几何意义 10 压轴能力测评 11 一、向量的概念及表示 1.定义:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示: （1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. （2）向量的表示： ①几何表示:用有向线段表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模),记作. ②字母表示:书写时用表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以为起点,以为终点的向量记作. 3.特殊向量: （1）零向量与非零向量: 长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为，长度不为0的向量称为非零向量. （2）单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. （3）平行向量（共线向量）:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定:零向量与任意向量平行. （4）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;向量与相等,记作. 二、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 三、向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 类型一、向量概念的辨析 【例1】下列结论正确的个数是（    ） ①温度含零上和零下，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数； ③若向量与不共线，则与都是非零向量； ④若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量； ②错，的模等于0； ③正确，根据零向量与任何向量共线可以判断正确； ④错，向量不能比较大小． 故选：B． 【例2】如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（    ） A．正方形 B．圆 C．线段 D．点 【答案】B 【详解】把所有单位向量的起点平行移动到同一点，向量终点的集合是距离点为单位长的点，那么它们的终点构成的图形是圆. 故选：B. 【变式1-1】下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若四边形是平行四边形，则 D．若一个向量模为0，则该向量没有方向 【答案】C 【详解】A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误； B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误； C. 若四边形是平行四边形，则一组对边平行且相等，有， D.由零向量的规定，知错误． 故选：C 【变式1-2】下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都是向量 【答案】C 【详解】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误； 选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误； 选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确； 选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D错误． 故选：C 【变式1-3】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 类型二、相等向量与共线向量 【例3】某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【答案】120 【详解】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 所以. 故答案为：120 【例4】在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【详解】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 【变式2-1】如图，在菱形中，若，则以下说法中不正确的是（    ） A．与不平行 B．的模恰为模的倍 C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】A 【详解】对于选项A：向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以的模恰为模的倍，故B正确； 对于选项C：根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于选项D：与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确； 故选：A. 【变式2-2】中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【详解】解：，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    【变式2-3】如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 类型三、向量的加法运算及其几何意义 【例5】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地． (1)在如图所示的坐标系中画出，，，； (2)求B地相对于A地的位移． 【答案】(1)答案见解析 (2)B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 【详解】（1）向量，，，，如图所示： （2）由题意知．所以，且， 则四边形ABCD为平行四边形． 所以， 则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”． 【例6】如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【详解】①． ②． ③． 故答案为：；；. 【变式3-1】化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）． 【变式3-2】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【答案】答案见解析 【详解】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【变式3-3】若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形． 故选：D． 类型四、向量的减法运算及其几何意义 【例7】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式． 【例8】若，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知，，且， 当，同向时，取得最小值，； 当，反向时，取得最大值，； 当，不共线时，， 故的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-1】下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B 【变式4-2】在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 故选：D． 【变式4-3】在边长为1的正方形中，若，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 1．对于平面向量，下列命题正确的是（    ） A．若向量与不相等，则 B．若，则向量 C．若向量与不共线，则与都是非零向量 D．若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 【答案】C 【详解】对于A，当向量与互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确； 对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确； 对于C，由于零向量与任意向量共线，向量与不共线，则与都是非零向量，该命题正确； 对于D,与共线，与共线时，与也共线，当时命题不一定成立，该命题不正确， 故选：C 2．若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【详解】对于①，若与方向相反，则与共线， 对于②，由，只能确定两向量的大小相等，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线， 对于③，由或，可得或，由零向量与任意向量共线可得与共线， 对于④，由与都是单位向量，只能确定两向量的大小都为，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线. 故选：B. 3．如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，. 故选：C. 4．在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C 5．如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 6．在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 7．现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，（1）是； ，（2）不是； ，（3）是； ，（4）不是； ，（5）是， 所以化简结果为的个数为3. 故选：C 8．四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 9．已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 1 3 【详解】， ， 当且仅当同向时取得最大值3，当且仅当反向时取得最小值1. 故答案为：1；3. 10．如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 【答案】 0 1 2 【详解】解：如图所示：   ， 则， ， ， 如图所示：   ， ，则. 故答案为：，0，1，2 11．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 12．甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东的方向将球传给机器人乙，然后机器人乙按南偏东的方向将球传给机器人丙，机器人丙再按西南方向传给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小． 【答案】答案见解析 【详解】根据题意画出示意图如图，用、、、分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置， 则球的位移为，故球的最终位移为， 依题意知为正三角形，故． 又因为，，所以， 所以为等腰直角三角形，所以． 11 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$