专题07 梯形的性质与判定及中位线（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题07 梯形的性质与判定及中位线 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等腰梯形的性质定理 2 类型二、等腰梯形的判定定理 7 类型三、梯形中位线定理 12 类型四、三角形中位线定理 16 类型五、梯形的存在性问题 21 压轴能力测评 30 知识点1：梯形 （1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 知识点2：等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 知识点3：等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 知识点4：三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 知识点5：梯形中位线定理 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即 梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高 类型一、等腰梯形的性质定理 【例1】如图，等腰梯形纸片中，，，，且点在上，．以为折线将点向左折后，点恰落在上，如图所示．，，则图的与的长度比为何？（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，等腰梯形放置在平面直角坐标系中，已知、、，反比例函数的图象经过点． (1)直接写出点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)将等腰梯形向上平移个单位后，使点恰好落在曲线上，求的值． 【变式1-1】如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 【变式1-3】如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 类型二、等腰梯形的判定定理 【例3】已知：在中，，将绕点C旋转使点B落在直线上的点D处，点A落在点E处，直线与直线相交于点F，射线与射线相交于点P，． (1)如图，连接，当时，求证：四边形是等腰梯形； (2)在（1）的条件下，求证：是与的比例中项． 【例4】如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【变式2-1】已知：在梯形中，，点E在边上（点E不与点A、D重合），点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，与交于点G，如果，求证：四边形为等腰梯形． 【变式2-2】如图：在梯形中，，平分，延长至点，使，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若，，求边的长． 【变式2-3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，且，．求证：四边形是等腰梯形． 类型三、梯形中位线定理 【例5】已知梯形的四条边长为1，2，3，4，则梯形的中位线长是 ． 【例6】如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的，（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） (1)梯形的中位线长是____________m； (2)梯形花坛的面积是____________； (3)甬道的宽应是多少米？ 【变式3-2】如图，在矩形中，，．P，Q分别是边和上的点，且，M为的中点，连结，则的长为 ． 【变式3-3】如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为 ． 类型四、三角形中位线定理 【例7】如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【例8】如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【变式4-1】如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     【变式4-2】如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，分别是的中点，与交于点，连接． (1)求证：． (2)求． 类型五、梯形的存在性问题 【例9】如图，在直角梯形中，，，，，，P、Q同时从A、C出发，点P以的速度沿运动，点Q从C开始沿边以的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．    (1)t为何值时，四边形是矩形； (2)t为何值时，四边形是等腰梯形； (3)是否存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【例10】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边．当点运动到原点处时，记的位置为．    (1)求点的坐标； (2)当点在轴上运动（不与重合）时，求证：； (3)是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，是圆的直径，、垂直于，，，，点是动点，点以的速度由向运动，同时从向以的速度运动，当一点到达时，另一点同时停止运动． (1)当从A向运动秒时，四边形的面积与的关系式． (2)是否存在时间，使得梯形是等腰梯形？若存在求出时间，不存在说明理由． 【变式5-2】如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求： (1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ (2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？ (3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，且． （1）求点的坐标； （2）在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 2．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，则这个梯形的周长是（    ） A．16cm B．20cm C．24cm D．18cm 4．如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 6．如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 7．如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 8．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 9．如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 10．如图，在中，，D是上一点，交于点E，且，F是AB上一点，，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：． 11．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 12．已知梯形中，，，点、分别是对角线、的中点．求证：四边形为等腰梯形． 9 / 13学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 梯形的性质与判定及中位线 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、等腰梯形的性质定理 2 类型二、等腰梯形的判定定理 7 类型三、梯形中位线定理 12 类型四、三角形中位线定理 16 类型五、梯形的存在性问题 21 压轴能力测评 30 知识点1：梯形 （1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 知识点2：等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 知识点3：等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 知识点4：三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 知识点5：梯形中位线定理 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即 梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高 类型一、等腰梯形的性质定理 【例1】如图，等腰梯形纸片中，，，，且点在上，．以为折线将点向左折后，点恰落在上，如图所示．，，则图的与的长度比为何？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由折叠得：，，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了梯形性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 【例2】如图，等腰梯形放置在平面直角坐标系中，已知、、，反比例函数的图象经过点． (1)直接写出点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)将等腰梯形向上平移个单位后，使点恰好落在曲线上，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）解：过点C作于点E， 四边形是等腰梯形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， （2）解：设反比例函数的解析式， 把代入 得：， 解得：， 反比例函数的解析式； （3）解：将等腰梯形向上平移m个单位后得到梯形， 点， 点恰好落在双曲线上， 当时，， 即． 【变式1-1】如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 【变式1-2】如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 【答案】 【详解】解：以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H， ， 三点共线， 梯形的中位线长为6， ， ， ， ， ， 在梯形中，， 梯形是等腰梯形， ， ， ， ， ，即， （负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握梯形的性质是解题的关键． 【变式1-3】如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 类型二、等腰梯形的判定定理 【例3】已知：在中，，将绕点C旋转使点B落在直线上的点D处，点A落在点E处，直线与直线相交于点F，射线与射线相交于点P，． (1)如图，连接，当时，求证：四边形是等腰梯形； (2)在（1）的条件下，求证：是与的比例中项． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：由旋转条件，得， ， ， ， ， ， ， 与不平行， 四边形是梯形， ， 梯形是等腰梯形； （2）， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是与的比例中项． 【例4】如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式2-1】已知：在梯形中，，点E在边上（点E不与点A、D重合），点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，与交于点G，如果，求证：四边形为等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意如下图： ∵， ∴， ∵，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴， ∴， ∴四边形为等腰梯形． 【变式2-2】如图：在梯形中，，平分，延长至点，使，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若，，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形，（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）， ∴， ， 平分， ， 即：， ， ， 四边形是梯形， 四边形是等腰梯形； （2）解：， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式2-3】如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，且，．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， 四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰梯形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 类型三、梯形中位线定理 【例5】已知梯形的四条边长为1，2，3，4，则梯形的中位线长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，设梯形中，， 过点D作交于点E， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为1，3，4，此三角形不存在， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为2，2，4，此三角形不存在， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为3，2，3，此三角形存在， 此时梯形的中位线长是， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为1，1，4，此三角形不存在， 当时，若此时，或者，， 则的三边长为1，2，3，此三角形不存在， 当时，只有此时，或者，， 则的三边长为1，1，2，此三角形不存在， 综上可知梯形的中位线长是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了梯形的定义、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系、梯形的中位线定理，分类讨论是解题的关键． 【例6】如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∵是梯形的中位线， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底的长为，下底长为，上下底相距，在两腰中点连线处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道面积是梯形面积的，（提示：梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段，其长度等于两底和的一半） (1)梯形的中位线长是____________m； (2)梯形花坛的面积是____________； (3)甬道的宽应是多少米？ 【答案】(1)70 (2)4200 (3)甬道的宽度为5米 【详解】（1）解：花坛上底的长为，下底长为， ∴梯形的中位线为：； 故答案为：70； （2）∵花坛上底的长为，下底长为，上下底相距， ∴梯形花坛的面积为：； 故答案为：4200． （3）设甬道的宽度为米，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：甬道的宽度为5米． 【变式3-2】如图，在矩形中，，．P，Q分别是边和上的点，且，M为的中点，连结，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵点为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】如图，点、分别是梯形的腰、的中点，连接、，交于点，如果，，则与的面积比为 ． 【答案】 【详解】解：在梯形中，，点、分别是、的中点，，， ，， ， 设和的高为，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 类型四、三角形中位线定理 【例7】如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解∶延长交的延长线于点，如图所示∶ ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∴在中，由勾股定理得∶， ∵平分． ∴ ∵． ∴， ∴ ∴． ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选∶． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题关键． 【例8】如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，延长，交于点，    ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 【变式4-1】如图，已知平行四边形中，E为的中点，，F为的中点，与相交于点G，则的长等于 ．     【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵， ∴ ∵的中点，F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键． 【变式4-2】如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-3】如图，在中，分别是的中点，与交于点，连接． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， 分别为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ，即为的中点， 又为的中点， ； （2）解：由(1)可知，， ． 类型五、梯形的存在性问题 【例9】如图，在直角梯形中，，，，，，P、Q同时从A、C出发，点P以的速度沿运动，点Q从C开始沿边以的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．    (1)t为何值时，四边形是矩形； (2)t为何值时，四边形是等腰梯形； (3)是否存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴，， ∵， ∴当时，四边形是矩形， 即，解得，． （2）∵， ∴当时，四边形是等腰梯形， 过Q、C分别作，，垂足分别为E、F．    则：，四边形为矩形， ∴， ， ∴，解得，． （3）梯形的周长和面积分别为： 周长，面积， 若当线段平分梯形周长时，则， 即，解得， 此时，梯形的面积为． 不存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，主要考查了矩形的判定和性质，等腰梯形的性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 【例10】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边．当点运动到原点处时，记的位置为．    (1)求点的坐标； (2)当点在轴上运动（不与重合）时，求证：； (3)是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【详解】（1）解：过点作轴于点，   ，为等边三角形， ，， ∴， ∴， ， 即； （2）证明：当点在轴上运动不与重合）时， ， ， 在和中， ， ；    （3）由（2）可知，点总在过点且与垂直的直线上，可见与不平行． ①当点在轴负半轴上时，点在点的下方， 此时，若，四边形即是梯形， 当时，，． 又，可求得， 由（2）可知，， ， 此时的坐标为． ②当点在轴正半轴上时，点在的上方，    此时，若，四边形即是梯形， 当时，，． 又，可求得， 由（2）可知，， ， 此时的坐标为． 综上，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定及性质，难度适中． 【变式5-1】如图，是圆的直径，、垂直于，，，，点是动点，点以的速度由向运动，同时从向以的速度运动，当一点到达时，另一点同时停止运动． (1)当从A向运动秒时，四边形的面积与的关系式． (2)是否存在时间，使得梯形是等腰梯形？若存在求出时间，不存在说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：过点作于， ， ， 四边形为矩形， ，， 又， ， 当、运动秒时，，，， 则， 即； （2）当四边形为等腰梯形时，过作于，如图： ， 则有， 即， 即， 解得：， 即当时，梯形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了梯形面积及等腰梯形的性质，解答本题的关键是用含t的式子表示出各线段的长度，等腰梯形的性质：等腰梯形可以分成一个矩形和两个全等的直角三角形． 【变式5-2】如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求： (1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ (2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？ (3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得：AP=t cm，CQ=3t cm， 则PD=（24-t）cm， ∵PD∥CQ， ∴PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形， 此时，24-t=3t， 解得：t=6， ∴t=6时，四边形PQCD为平行四边形； （2）由题意得：AP=t，BQ=26-3t， ∵AP∥BQ，∠B=90°， ∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形， ∴t=26-3t， 解得：t=， ∴当t=时，四边形ABQP为矩形． （3）∵由题意得：AP=t，BQ=26-3t， ， 解得， 此时BQ=26-3t=-4， ∴不存在，使梯形的面积为． 【点睛】本题考查的是梯形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，且． （1）求点的坐标； （2）在坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为，， 【详解】解：（1）直线与轴、轴分别交于、两点， 令x=0，则y=4， 令y=0，则x+4=0， ∴x=-4， ，， ． ， ． 因为点在线段上， 所以设的坐标为． ， 解得：或（不符题意，舍去）， ． （2）存在， 由（1）知，A（-4，0），C（-3，1）， ∵以A、C、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形， ∴①当等腰梯形是ACQO时，如图1， AC=OQ，CQ∥AO， 过点C作CE⊥OA于E，过点Q作QF⊥OA于F， ∴∠AEC=∠OFQ=90°， ∴四边形CEFQ是矩形， ∴CE=QF， ∴Rt△AEC≌Rt△OFQ（HL）， ∴AE=OF， ∵C（-3，1）， ∴CE=1，E（-3，0）， ∴QF=1， ∵A（-4，0）， ∴AE=1， ∴OF=1， ∴Q（-1，1）； ②当等腰梯形ACOQ时，如图2，AC∥OQ，AQ=CO， 过点Q作QN⊥AC于N，过点O作OM⊥AC于M， 则四边形OMNQ是矩形， ∴QN=OM， 同①的方法得，Rt△COM≌Rt△AQN（HL）， ∴CM=AN， 在Rt△AOB中，A（-4，0），B（0，4）， ∴OA=OB=4， ∵OM⊥AC， ∴AM=BM=2， ∴M（-2，2）， ∵AC=， ∴CM=， ∴AN=， ∴点N与点C关于点A对称， ∴N（-5，-1）， 点M向右移动2个单位，再向下平移2个单位到点O， ∴点N向右移动2个单位，再向下平移2个单位到点Q， ∴Q（-3，-3）； ③当等腰梯形是ACOQ时，如图3， AC=OQ，CO∥AQ，连接CQ，则CQ=OA=4， ∵点C（-3，1）， ∴直线OC的解析式为y=-， ∵点A（-4，0）， ∴直线AQ的解析式为y=--， 设Q（q，-q-）（q＞-3）， ∴CQ==4， ∴q=-7（舍）或q=， Q（，-）， 即满足条件的点Q的坐标为（-1，1）或（-3，-3）或（，-）． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，等腰梯形的性质，矩形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平移的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 1．如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【详解】过作, 交延长线于, 如图所示:、 ∵, ∴四边形是平行四边形, ∴, , ∵是等腰梯形， ∴, ∵, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, 在中,, ∴, ，此时①正确； 由， ∴， ∴，故②错误； 故选A 2．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 3．如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，则这个梯形的周长是（    ） A．16cm B．20cm C．24cm D．18cm 【答案】B 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 过作交于， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 这个梯形的周长是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 4．如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， 此时的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，关键是判定四边形是矩形，得到，由三角形中位线定理得到，由三角形面积公式求出的最小值． 5．如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 【答案】16 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 故答案为：16． 6．如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：取的中点K，连接， ∵点D为的中点，点K为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 【答案】 【详解】如图，连接， 四边形是矩形，，， ，． R是的中点， ， ， 、分别是、的中点， 为的中位线， ， 故答案为：． 8．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 9．如图，已知点A、B的坐标分别为、，点P为坐标平面内的一个动点，若，点Q为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，取中点，连接，， 点A、B的坐标分别为、， ，， 由题意可知：， ， 是中点， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ， ， 的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系等知识点，作辅助线构造，由三角形三边之间的关系得出是解题的关键． 10．如图，在中，，D是上一点，交于点E，且，F是AB上一点，，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)四边形是等腰梯形，理由见解析． (2)证明见解析 【详解】（1）解：结论：四边形是等腰梯形． 理由：∵是的两边， ∴与不平行，即与不平行， ∵， ∴四边形是梯形， ∵， ∴， ∴梯形是等腰梯形． （2）∵梯形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 11．如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 12．已知梯形中，，，点、分别是对角线、的中点．求证：四边形为等腰梯形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵点、分别是对角线、的中点， ∴，， ∴， ∵，点、分别是对角线、的中点， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设对角线交于点O， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴和都是锐角， ∴与不平行， ∴四边形为梯形， 又∵， ∴四边形为等腰梯形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，梯形的判定以及平行线的判定等知识．熟练掌握等腰梯形的判定方法是解本题的关键． 2 / 41学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$