第二十一章 代数方程 易错训练与压轴训练（8易错+6压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十一章 代数方程易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　整式方程的相关概念 1 易错题型二　解分式方程 3 易错题型三　分式方程的增根问题 5 易错题型四　分式方程的无解问题 7 易错题型五　根据分式方程解的情况（正负解）求参数 10 易错题型六　分式方程的实际应用 13 易错题型七　无理方程 15 易错题型八　二元二次方程及其解法 18 压轴题型一 分式方程增根无解综合问题 42 压轴题型二　分式方程解的情况求参数综合 51 压轴题型三　分式方程的应用压轴 57 压轴题型四　分式方程的新定义运算 63 压轴题型五　无理方程的压轴计算 69 压轴题型六　二元二次方程的压轴计算 78 02 易错题型 易错题型一　整式方程的相关概念 1．关于方程，下列说法正确的是（    ） A．它是二项方程 B．它的解是 C．它是高次方程 D．都是它的解 【答案】C 【分析】由于方程，所以方程的未知数是一个，次数是3次，由此即可确定选择项． 【详解】解：A、二项方程应该是为正整数，故本选项不符合题意； B、方程，整理得，由于，所以它的解是，故本选项不符合题意； C、它是高次方程，故本选项符合题意； D、方程，整理得，由于，所以它的解是，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了高次方程的定义，二项方程的定义，解高次方程，解题的关键是抓住高次方程是整式方程，同时要抓住未知数的个数和次数才能正确解决问题． 2．下列方程中，属于二项方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项方程的定义，依次判读可得正确答案． 【详解】解：A． ，故选项正确，不符合题意；     B． ，含有两个未知数的项，故选项错误，不符合题意；          C． ，含有两个未知数的项，故选项错误，不符合题意；         D． ，不是整式方程，故选项错误，不符合题意；     故选：A． 【点睛】此题考查二项方程的定义，解题的关键是知道二项方程的定义（一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零）并会用概念判断． 3．下列说法正确的是（    ） A．是二项方程； B．是二元二次方程； C．是分式方程； D．是无理方程． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程的定义，分式方程的定义，无理方程的定义判定即可． 【详解】A． 不是二项方程，左边内有常数项，故选项错误，不符合题意；     B． 是二元二次方程，故选项正确，符合题意； C． 不是分式方程，故选项错误，不符合题意；     D． 不是无理方程，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了方程的定义，解题的关键是熟记方程的定义，注意：根号内含有未知数的方程，叫无理方程；分母种又未知数的方程，叫分式方程． 4．下列方程中是二项方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．据此可以判断． 【详解】，有2个未知数项，故A选项不合题意； ，没有非0常数项，故B选项不合题意； ，有2个未知数项且等号另一端不为0，故C选项不合题意； ，D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考核知识点：二项方程，解题关键点为理解二项方程的定义． 易错题型二　解分式方程 5．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，要注意解分式方程时要检验．根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入最简公分母得：， 原方程的解为． 6．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程时，先去分母，再移项合并同类项，系数化1，注意要验根，即可作答． 【详解】解： ∴ 经检验：是原分式方程的解，不是原分式方程的解， ∴ 7．解方程：． 【答案】， 【分析】先去分母得到整式方程，解这个整式方程再验根即可． 【详解】解：方程两边同乘得：， 整理得：， 配方得：， 解得：或， 即，， 检验，时，， ∴原方程的解为，． 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，去分母化成整式方程是解题关键． 8．解方程：＝ + ． 【答案】x＝2 【分析】按照解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解：＝ + 2x＝（x+2）（x﹣1）+（x﹣2）（x+1）， 解得：x＝2或x＝﹣1， 检验：当x＝2时，x2﹣1≠0， 当x＝﹣1时，x2﹣1＝0， ∴x＝﹣1是原方程的增根，x＝2是原方程的根． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的方法是先将分式方程转化成整式方程求解，然后检验． 易错题型三　分式方程的增根问题 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．0 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：A． 10．关于的分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键．先解，得，根据增根的定义得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 的系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：C． 11．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母，得， 整理可得 ， 由于分式方程的增根是， 将代入，得， 解得：． 故答案为：． 12．关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 【答案】（1）x=-5；（2）-4或6 【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：（1）把m=3代入方程得：， 去分母得：3x+2x+4=3x-6， 解得：x=-5， 检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0， ∴分式方程的解为x=-5； （2）去分母得：mx+2x+4=3x-6， ∵这个关于x的分式方程会产生增根， ∴x=2或x=-2， 把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0， 解得：m=-4； 把x=-2代入整式方程得：-2m=-12， 解得：m=6． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 易错题型四　分式方程的无解问题 13．若分式方程无解，则k的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先去分母解方程得到，再根据分式方程无解，即方程有增根进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， ∴， ∵原分式方程无解， ∴，即， ∴， 故选：B． 14．如果关于的方程无解，那么的值应为（   ） A．1 B． C． D．9 【答案】A 【分析】分式方程的增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．本题考查了分式方程的解．解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解：方程两边都乘得： ， 方程有增根， 最简公分母， 即增根是， 把代入整式方程，得． 故选：A． 15．若关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或． 16．若关于x的分式方程无解，求k的值． 【答案】或12 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到，求出，代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：分式方程两边同乘，去分母得：， 由分式方程无解得到，或，即或， 代入整式方程得：或12． 【点睛】此题考查了分式方程的无解问题，解决本题的关键是将分式方程去分母转化为整式方程． 易错题型五　根据分式方程解的情况（正负解）求参数 17．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，即可求解．解答本题的关键是明确解分式方程的方法． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 移项及合并同类项，得 ， ∵分式方程的解是非负数，， ∴， 解得，且， 故选：A． 18．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解： 先去分母，再移项，合并同类项，用含有m的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且，     解得，且． 故答案为：，且． 19．若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 20．若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 【答案】1 【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：原方程可化为：， ． 原方程的解为正数， ， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为且， 正整数的值为1． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况． 易错题型六　分式方程的实际应用 21．某学校举行“青春心向党建功新时代”演讲比赛活动，准备购买甲、乙两种奖品，小昆发现用480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等，已知甲种奖品的单价比乙种奖品的单价多10元． (1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)如果需要购买甲乙两种奖品共100个，且甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的2倍，问购买多少个甲种奖品，才使得总购买费用最少？ 【答案】(1) 甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元；(2)购买甲种奖品67个时，总费用最少 【分析】(1)设甲种奖品的单价为元，则乙种奖品的单价为元，利用“480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等”为等量关系列方程求解即可； (2)设购买甲种奖品个，则购买乙种奖品个，购买奖品的总费用为w元，由甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的2倍可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，根据总价=单价×数量可得出w关于m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】(1)设甲种奖品的单价为元，则乙种奖品的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验得是原方程的解， ∴, 答：甲种奖品的单价为40元，乙种奖品的单价为30元； (2)设购买甲种奖品个，则购买乙种奖品个， 由题意得： 解得：； ∵取正整数； ∴； 设购买奖品的总费用为w元， 由题意得：， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，最小； 答：购买甲种奖品67个时，总费用最少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式． 22．为了保障市民安全用水，我市启动自来水管改造工程，该工程若甲队单独施工，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．若甲、乙两队先合作施工45天，则余下的工程甲队还需单独施工23天才能完成．这项工程的规定时间是多少天？ 【答案】这项工程的规定时间是83天 【分析】依据题意列分式方程即可. 【详解】设这项工程的规定时间为x天，根据题意得 . 解得x＝83. 检验：当x＝83时，3x≠0.所以x＝83是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是83天． 【点睛】正确理解题意是解题的关键，注意检验. 23．某商店用640元钱购进水果销售，过了一段时间，又用1600元钱购进这种水果，所购数量是第一次购进数量2倍，但每千克水果的价格比第一次购进的贵了2元．该商店第一次购进水果多少千克？ 【答案】该商店第一次购进水果80千克． 【详解】分析：设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克水果的价格比第一次购进的贵了2元，列出方程求解即可． 详解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，根据题意得： 解得：x=80， 经检验，x=80是原方程的解， 答：该商店第一次购进水果80千克． 点睛：此题主要考查了分式方程的应用. 24．某商店准备购进A，B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元，且用2000元购进A商品的数量和用1200元购进B商品的数量相同．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下方程： 甲： 乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义． x表示______， y表示______． (2)求出其中一个方程的解，并回答A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ 【答案】(1)每件A商品的进价，购进A和B商品的数量 (2)50元；30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 对于（1），根据题意即可解答； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解，并检验即可． 【详解】（1）解：甲方程是A商品的数量和B商品的数量相同，乙方程是每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元， 所以x表示每件A商品的进价，y表示购进A和B商品的数量； 故答案为：每件A商品的进价，购进A和B商品的数量； （2）解：甲： ， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：A，B两种商品每件的进价分别是50元和30元． 解：乙， 整理，得， 去分母，得， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， ∴A，B两种商品每件的进价分别是50元和30元． 易错题型七　无理方程 25．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式转化为一元二次方程的解．根据二次根式的运算方法，完全平方公式的运用，因式分解等方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 解得：， 检验：当时，左边右边，舍去； 当时，左边右边； ∴原方程的解为． 26．解方程：． 【答案】 【分析】将无理方程转化为有理方程，求解后，进行检验即可得出结论． 【详解】解：， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， 解得：； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解无理方程．解题的关键是将无理方程转化为有理方程，注意未知数的取值范围． 27．解方程：． 【答案】原方程的解是 【分析】根据二次根式的运算方法，完全平方公式的运用，因式分解等方法即可求解． 【详解】解： 移项， 两边同时平方， 移项，合并同类项， 两边同时平方， 因式分解，，解得，，， 经检验：是原方程的解，不是原方程的解，舍去， ∴原方程的解是． 【点睛】本题主要考查二次根式转化为一元二次方程的解，掌握二次根的运算方法，因式分解法和公式法解一元二次方程的方法是解题的关键． 28．解方程：． 【答案】x=4 【分析】化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案． 【详解】解：由得：， 两边平方得：4x-16=16+x2-8x， 解得x=4或x=8， 当x=4时，左边=，右边=4， ∴左边=右边， ∴x=4是原方程的解， 当x=8时，左边=，右边=4， ∴左边≠右边， ∴x=8不是原方程的解， ∴x=4． 【点睛】本题考查解无理方程，将无理方程化为有理方程是解题的关键，容易漏掉检验． 易错题型八　二元二次方程及其解法 29．解方程组：． 【答案】， 【分析】因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再重新与①组成方程组，求解即可． 【详解】解：由②，得， 所以③或④． 由①③、①④可组成新的方程组： ，． 解这两个方程组，得，． 所以原方程组的解为：，． 【点睛】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答． 30．解方程组： 【答案】或或或 【分析】将方程左边因式分解可得或，再分别代入方程求解即可． 【详解】解：，由得：或， ∴或， 当时，代入中， 得， 解得：或； 此时对应x值为或； 当时，代入中， 得， 解得：或； 此时对应x值为或； ∴方程组的解为：或或或． 【点睛】本题主要考查解高次方程的能力，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 31．解方程组： 【答案】或 【分析】利用代入消元法，将方程组转化为一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由①得：， 把代入②得：， 整理，得：， 解得：； 当时，； 当时，； ∴方程组的解为：或． 【点睛】本题考查解二元二次方程组．熟练掌握消元法以及因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 32．解方程组： 【答案】， 【分析】把方程①因式分解得出x与y的关系式，分别带入方程②即可解得． 【详解】 由①得 x=-y，x=6y 把x=-y带入②得 ， 整理得 解得 得 把x=6y带入②得 【点睛】此题考查了求方程组的解，解题的关键是对方程用十字交叉法进行因式分解． 03 压轴题型 压轴题型一　分式方程增根无解综合问题 33．已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 整理得：， 分式方程无解的情况有两种， 情况一：整式方程无解时，即时，方程无解， ∴； 情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6， ①当x=2时，代入，得： 解得：得m=4． ②当x=6时，代入，得：， 解得：得m=2． 综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解； 解不等式， 得： 根据题意该不等式有且只有三个偶数解， ∴不等式组有且只有的三个偶数解为−8，−6，−4， ∴−4<m−4≤−2， ∴0<m≤2， 综上所述当m=2或时符合题目中所有要求， ∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2． 故选B． 【点睛】此题考查了分式方程的无解的问题，以及一元一次不等式组的偶数解，其中分式方程无解的情况有两种情况，一种是分式方程化成整式方程后整式方程无解，另一种是化成整式方程后有解，但是解为分式方程的增根，易错点是容易忽略某种情况；对于已知一元一次不等式组解，求参数的值，找到参数所表示的代数式的取值范围是解题关键． 34．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为 ． 【答案】或． 【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：原方程变形为， 方程去分母后得：， 整理得：，分以下两种情况： 令，，； 令，，， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键． 35．当m= 时，关于x的分式方程没有实数解. 【答案】4或-6 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据方程没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2，再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程变形为， 方程两边同时乘以去分母得：x+m+3+x-3=0； 整理得：2x+m=0 ∵关于x的分式方程没有实数解. ∴分式方程有增根x=3或x=-2. 把x=3和x=-2分别代入2x+m=0中 得m=-6或m=4. 【点睛】分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．但也要注意，有时分式方程转化成的整式方程本身没有实数根，也是导致分式方程没有实数根的一种情况，所以要考虑全面，免得漏解. 36．已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 压轴题型二　分式方程解的情况求参数综合 37．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【详解】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为且， ∴a取整数，，0，1，3，4，5， 其和为10． 故选：A． 38．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组的解集恰好有3个整数解， ， ， ， ， 解得：， 分式方程有非负整数解， ，为整数且， 符合条件的所有整数的值为：，7， 符合条件的所有整数的和为：6， 故选：A． 39．若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况以及分式方程的解得情况求参数的值，解题的关键是正确的求出不等式组的解集和分式方程的解． 根据不等式组有且仅有2个偶数解，求出的取值范围，再根据y的分式方程有整数解，求出满足条件的整数的值，然后计算即可． 【详解】解：由， 得， ∴， ∵不等式组有且仅有2个偶数解， ∴偶数解为：2，0， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴a的值为：或1或3， ∴满足条件所有整数a的乘积为：． 故答案为：． 40．阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)4． (2)． (3)． 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵2×4=8，2+4=6， ∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4． 故答案为：4． （2）解：方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为； 则x1=2，x2=； 故答案为：． （3）解：方程整理得： ， 得2x1=n1或2x1=n， 可得x1=，x2=， 则原式=． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 压轴题型三　分式方程的应用压轴 41．根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各．若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 42．某商店将甲、乙两种糖果混合销售，已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为18元/千克，现将12千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入3千克甲种糖果再出售时，混合糖果的单价为19元/千克．问这箱甲种糖果有多少千克？（列方程或方程组解答） 【答案】千克 【分析】根据“混合前糖果总价=混合后糖果总价”列方程求解． 【详解】解：设这箱甲种糖果有千克，由题意可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的解， 答：这箱甲种糖果有千克． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 43．杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同． (1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？ (2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示： 日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元） 12月10日 4 6 2160 12月11日 6 8 3040 问：两款丝巾的销售单价分别是多少？ (3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高． 【答案】(1)款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元 (2)款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元 (3)有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高． 【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案； （2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可； （3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案． 【详解】（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， ∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元； （2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， ∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元； （3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条， 根据题意，可得 ， 整理，可得， ∴， ∵均为正整数， ∴；；， 即有三种进货方案： 方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条， 则利润为：元； 方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条， 则利润为：元； 方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条， 则利润为：元； 综上所述，选择方案一利润最高． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键． 44．某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少元，甲型电视机销售额为元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍． (1)求甲、乙两种电视机的售价； (2)经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价元与销售量台的关系如图所示，乙型电视机售价元与销售量台的关系为该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价． 【答案】(1)甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元； (2)第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台． 【分析】设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元，利用乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍列出方程即可求解； 设甲型电视机售价元与销售量台的关系为，待定系数法可得，设第二季度甲的电视机的销售量是台，则第二季度乙的电视机的销售量是台，根据甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，得，而商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元，有，可解得或舍去，从而可得第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台． 【详解】（1）设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元， 则， 解得：， 经检验，是方程的解，也符合题意， ， 答：甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元； （2）由知，第一季度甲种电视机售价是元台，销售量为台， 由图象可知，当售价是元台时，销售量是台， 设甲型电视机售价元与销售量台的关系为， ， 解得， ， 设第二季度甲的电视机的销售量是台，则第二季度乙的电视机的销售量是台， 甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍， ， 解得， 商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元， ， 整理化简得， 解得或， ， 舍去， ， 此时， 答：第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台． 【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 压轴题型四　分式方程的新定义运算 45．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①打√；②打“×” (2)4 (3)或 【分析】（1）①根据题意，得分式方程的解为， 满足题意，打√；②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． （2）根据数对是关于的分式方程的“关联数对”，得到关于x的分式方程的解为，根据方程同解，建立等式解答即可． （3）根据数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，得的解为，继而得到，整理，得 ，得，根据关于的方程有整数解，整理，得，得到，得到，根据方程有整数解，分类解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得分式方程的解为， 又， 故满足关于的分式方程的解是成立， 满足题意，故打√； 故答案为：√； ②根据题意，得分式方程的解为， 不满足题意，打“×”． 故答案为：“×”． （2）解：根据数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴关于x的分式方程的解为， ∵的解为， ∴， 解得， ∵， 故． （3）解：∵数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴的解为， ∴， 整理，得， ∴， ∵关于的方程有整数解， 整理，得， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∴即时，此时； ∵，且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，整数解的理解，整数解的计算，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 46．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可； （2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可； （3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， ∴是关于的分式方程的“方程数对”； ②当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， 故不是关于的分式方程的“方程数对”， 故答案为：①； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 解得； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键． 47．如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以． (1)填空：写出8的一种倒分解：______； (2)计算的值； (3)若的最大倒分解为，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新型定义运算的运用以及分式方程的应用，在解答时找出新运算法则,以及分类讨论思想的应用是关键． （1）8的倒数为，直接根据“倒分解”的定义写出即可； （2）先根据“倒分解”的定义写出36的所有“倒分解”，然后找出两个乘数差最大的一种分解，即可求出； （3）根据的最大倒分解为，讨论当时，当时，分别求出的值，再验证是否符合题意即可求解； 【详解】（1）解： 8的倒数为，， 8的一种倒分解为． （2）解：的倒分解为：或或或 其中最大的倒分解， （3）的最大倒分解为： ① 当时，， 解得：经检验，是原方程的根， 当时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去； ② 当时，， 解得经检验，是原方程的根，且符合题意，综上可得，的值为0． 48．对于任意两个非零实数，，定义运算⊕如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么______； (3)如果，求的值． 【答案】(1)，0 (2) (3)或 【分析】(1)根据题目已知的定义运算，进行计算，即可分别求得； (2)根据题意可知，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可求解； (3)分两种情况，和，根据新定义运算法则列分式方程求解即可 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：，0； （2）解：， ， ， 解得， 经检验：是原方程的解， 故答案为：； （3）解：当时， 由原式可得：， 得， 解得， 经检验：是原方程的解，但不符合， 应舍去． 当时，， 得， 解得或， 经检验：或是原方程的解，且符合， 综上，或． 【点睛】本题考查了实数的运算，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键． 压轴题型五　无理方程的压轴计算 49．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，将等式两边平方，可得，再通过移项后，再进行两边平方，可得，令，即可得到的值，再解分式方程，即可解答，熟练地进行平方，对方程进行化简是解题的关键． 【详解】解：， 两边平方得， 整理可得， 两边平方得， 整理得， 令， 可得， 解得， ， 整理得 解得， 根据二次根式有意义的条件可得， ． 50．解方程 【答案】， 【分析】设，可得，进而解得，则或再分类讨论，即可求解． 【详解】解：设， 依题意， 得： 即③ ①代入③得，④ ①代入④得：， 解得： ∴或 若，即，则， 若，即，则， 综上所述， 【点睛】本题考查了解无理方程，掌握立方和公式，解一元二次方程是解题的关键． 51．解方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)，； (3)，，，． 【分析】（1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可． 【详解】（1） 解：移项得，， 两边平方得，， 合并同类项得，， ∴， 两边平方得，， 整理得，， ∴， 解得：，， 经检验，，不是原方程的解， ∴原方程的解为：． （2） 解：方程两边同时乘以得， 整理得，， 解得，， ∴，， 经检验，，时，， ∴原方程的根为：，． （3） 解： 令，代入原方程得，， ∴， 解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 经检验都为原方程的解 ∴原方程的解为：，，，． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根． 52． 【答案】， 【分析】先变形为，两边平方、整理得，再两边平方、整理成一元二次方程，解之可得． 【详解】解：， ， 则， 整理，得：， 两边平方，整理，得：， 解得，， 经检验和均符合题意， 则原无理方程的解为，． 【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 压轴题型六　二元二次方程的压轴计算 53．解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把原方程组化为：或再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得，再代入求得，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为 把化为：， 即或 原方程组化为：或 因为 把化为，把代入中， 得，所以 ， 所以方程组的解是 或 同理解得方程组的解是或 所以原方程组的解是： （2）因为 所以①＋②得：，所以，把代入② 得：， 所以，解得： 经检验是原方程组的解，所以原方程的解是 【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤． 54．解方程组 【答案】原方程组的解为：， 【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x的一元二次方程，解方程求出x，把x代入第一个方程，求出y即可. 【详解】解： 把①代入②得：x2-4x（x+1）+4（x+1）2=4， x2+4x=0， 解得：x=-4或x=0， 当x=-4时，y=-3， 当x=0时，y=1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为，． 【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想. 55．解方程组： 【答案】,. 【分析】先将方程①变形为（x+6y）（x﹣y）=0得x+6y=0或x﹣y=0，分别与方程组成二元一次方程组，从而求出方程的解. 【详解】解：方程①可变形为（x+6y）（x﹣y）=0 得x+6y=0或x﹣y=0             将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）或（Ⅱ） 解方程组（Ⅰ），解方程组（Ⅱ）， 所以原方程组的解是,． 故答案为,. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点. 56．解方程组：． 【答案】或 【分析】将原方程组转化为两个二元一次方程组，然后解方程组即可. 【详解】解：∵ ， ∴， ∴x＋y＝3，x＋y＝－3， ∴原方程组变形为或， （1）， ②-①，得， ∴ ， 把代入②，得 ， ∴ ， ∴方程组的解为 ； （2）， ④-③，得 ， ∴， 把代入④，得 ， ∴ ， ∴方程组的解为. 综上知，原方程组的解为或. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把原二元二次方程组降幂，转化为二元一次方程组是解题的关键． 40 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 代数方程易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　整式方程的相关概念 1 易错题型二　解分式方程 3 易错题型三　分式方程的增根问题 5 易错题型四　分式方程的无解问题 7 易错题型五　根据分式方程解的情况（正负解）求参数 10 易错题型六　分式方程的实际应用 13 易错题型七　无理方程 15 易错题型八　二元二次方程及其解法 18 压轴题型一 分式方程增根无解综合问题 42 压轴题型二　分式方程解的情况求参数综合 51 压轴题型三　分式方程的应用压轴 57 压轴题型四　分式方程的新定义运算 63 压轴题型五　无理方程的压轴计算 69 压轴题型六　二元二次方程的压轴计算 78 02 易错题型 易错题型一　整式方程的相关概念 1．关于方程，下列说法正确的是（    ） A．它是二项方程 B．它的解是 C．它是高次方程 D．都是它的解 2．下列方程中，属于二项方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．是二项方程； B．是二元二次方程； C．是分式方程； D．是无理方程． 4．下列方程中是二项方程的是（    ） A． B． C． D． 易错题型二　解分式方程 5．解方程：． 6．解方程：． 7．解方程：． 8．解方程：＝ + ． 易错题型三　分式方程的增根问题 9．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．0 10．关于的分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 11．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 12．关于x的分式方程：． （1）当m＝3时，求此时方程的根； （2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值． 易错题型四　分式方程的无解问题 13．若分式方程无解，则k的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．如果关于的方程无解，那么的值应为（   ） A．1 B． C． D．9 15．若关于x的分式方程无解，则的值为 ． 16．若关于x的分式方程无解，求k的值． 易错题型五　根据分式方程解的情况（正负解）求参数 17．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．且 18．关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 19．若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 20．若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 易错题型六　分式方程的实际应用 21．某学校举行“青春心向党建功新时代”演讲比赛活动，准备购买甲、乙两种奖品，小昆发现用480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等，已知甲种奖品的单价比乙种奖品的单价多10元． (1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)如果需要购买甲乙两种奖品共100个，且甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的2倍，问购买多少个甲种奖品，才使得总购买费用最少？ 22．为了保障市民安全用水，我市启动自来水管改造工程，该工程若甲队单独施工，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．若甲、乙两队先合作施工45天，则余下的工程甲队还需单独施工23天才能完成．这项工程的规定时间是多少天？ 23．某商店用640元钱购进水果销售，过了一段时间，又用1600元钱购进这种水果，所购数量是第一次购进数量2倍，但每千克水果的价格比第一次购进的贵了2元．该商店第一次购进水果多少千克？ 24．某商店准备购进A，B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元，且用2000元购进A商品的数量和用1200元购进B商品的数量相同．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下方程： 甲： 乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义． x表示______， y表示______． (2)求出其中一个方程的解，并回答A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ 易错题型七　无理方程 25．解方程：． 26．解方程：． 27．解方程：． 28．解方程：． 易错题型八　二元二次方程及其解法 29．解方程组：． 30．解方程组： 31．解方程组： 32．解方程组： 03 压轴题型 压轴题型一　分式方程增根无解综合问题 33．已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 34．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为 ． 35．当m= 时，关于x的分式方程没有实数解. 36．已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 压轴题型二　分式方程解的情况求参数综合 37．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 38．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 39．若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件．所有整数的乘积为 ． 40．阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 压轴题型三　分式方程的应用压轴 41．根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各．若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 42．某商店将甲、乙两种糖果混合销售，已知甲种糖果单价为20元/千克，乙种糖果单价为18元/千克，现将12千克乙种糖果和一箱甲种糖果混合销售，售出5千克后，又在混合糖果中加入3千克甲种糖果再出售时，混合糖果的单价为19元/千克．问这箱甲种糖果有多少千克？（列方程或方程组解答） 43．杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同． (1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？ (2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示： 日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元） 12月10日 4 6 2160 12月11日 6 8 3040 问：两款丝巾的销售单价分别是多少？ (3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高． 44．某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少元，甲型电视机销售额为元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍． (1)求甲、乙两种电视机的售价； (2)经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价元与销售量台的关系如图所示，乙型电视机售价元与销售量台的关系为该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价． 压轴题型四　分式方程的新定义运算 45．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”， ①（______）；②（______）．若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 46．给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 47．如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以． (1)填空：写出8的一种倒分解：______； (2)计算的值； (3)若的最大倒分解为，且，求的值． 48．对于任意两个非零实数，，定义运算⊕如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么______； (3)如果，求的值． 压轴题型五　无理方程的压轴计算 49．解方程：． 50．解方程 51．解方程： (1)； (2)； (3) 52． 压轴题型六　二元二次方程的压轴计算 53．解下列方程组： （1） （2） 54．解方程组 55．解方程组： 56．解方程组：． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$