第二十一章 代数方程 知识归纳与题型突破（15类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十一章 代数方程知识归纳与题型突破（17题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、整式方程： 1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数. 2.含字母系数的一元一次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式； 一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： . 二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根. 知识点二、分式方程： 6.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 知识点三、无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 知识点四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 03 题型归纳 题型一　一元整式方程 例题： 1．下列方程中，是关于的一元三次方程的是（　　） A． B． C． D．（为非零常数） 2．下面四个方程中是整式方程的是（　　）． A． B． C． D． 3．设a为一元二次方程的一个实数根，则 ． 巩固训练 4．用换元法解方程时，如果设，那么原方程化成关于的整式方程是 5．解关于x的方程： 6．解关于x的方程： 题型二　二项方程 例题： 7．已知关于x的方程没有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．下列方程中，是关于的二项方程式（    ） A． B． C． D． 9．二项方程的实数解是 ． 巩固训练 10．已知关于的方程是二项方程，那么 ． 11．解关于的方程： 12．解方程： 题型三　分式方程的定义 例题： 13．下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 14．下列关于x的方程中，其中说法正确的是（     ） A．方程是一元三次方程 B．方程是一元三次方程 C．方程是一元二次方程 D．方程是分式方程 15．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 16．判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 17．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 题型四　列分式方程 例题： 19．有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为．若设该分数的分子为x，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 20．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为(   ) A． B． C． D． 21．一辆列车在最近的铁路大提速后，时速提高了20千米/时，则该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，若该列车提速前的速度是千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 22．利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为，依题意，列方程 ． 23．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为： ． 24．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，�你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，�此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答． 某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？ 解题方案：设原计划每天挖x米． （1）用含x的代数式表示：开工后实际每天 米，完成任务原计划用 天，实际用 天； （2）根据题意，列出方程 ． 题型五　解分式方程 例题： 25．方程的解为 ． 26．分式方程的解为 ． 27．解下列分式方程：． 巩固训练 28．解分式方程： 29．解方程： (1) (2) 30．解方程 (1)； (2) 题型六　分式方程无解问题 例题： 31．关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 32．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．2或 B． C．2或1 D． 33．已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 巩固训练 34．若关于x的方程无解，则k的值为 ． 35．已知关于的分式方程： (1)当时，求此方程的解； (2)当为何值时，此方程无解； 36．已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 题型七　分式方程的增根问题 例题： 37．若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．7 B．3 C．4 D．0 38．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 39．如果方程有增根，那么增根为 ． 巩固训练 40．关于的分式方程有增根，则的值为 ． 41．已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 42．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 题型八　根据分式方程解的情况求值 例题： 43．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 44．已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 45．关于的方程：的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 巩固训练 46．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 47．若关于x的方程的解是，则m的值为 ． 48．阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 题型九　分式方程的实际应用1 例题： 49．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多元，且用元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种“文房四宝”数量的倍．求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 50．扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人，已知型每个进价比型的倍少元，采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了元和元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 51．猕猴桃被誉为“维C之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克12元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多100千克，两种水果的总销售额为6800元． (1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ (2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了1600元的红心猕猴桃和2800元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 巩固训练 52．春节，即农历新年，是一年之岁首，传统意义上的年节．为喜迎新春，某水果店推出水果篮和坚果礼盒，若花费4800元购进的水果篮的数量是花费4800元购进坚果礼盒的数量的 ，已知每个水果篮的进价比每盒坚果礼盒的进价多40元． (1)求一个水果篮、一盒坚果礼盒的进价各是多少元? (2)老板花费4800元购进坚果礼盒后，以每盒200元的价格销售坚果礼盒，当坚果礼盒售出 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使坚果礼盒的销售利润不低于2240元，剩余的坚果礼盒每盒售价至少要多少元? 53．云南昭通苹果含糖量高，风味浓，肉质脆，比较细嫩，美味可口，今年李叔叔家种植的昭通苹果又获得丰收，先人工采摘了公斤苹果，然后引入采摘机器采摘了公斤，已知机器采摘的效率（单位：公斤/天）是人工采摘效率的5倍，机器采摘用时比人工采摘还少2天 (1)求机器采摘苹果的效率； (2)李叔叔把这两次采摘的苹果批发给销售商，批发单价为元/公斤，单独人工采摘费用为每天元，引入采摘机器后人工和机器合计每天元，求除去采摘费用，获得的利润为多少元? 54．每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务． (1)求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？ (2)“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？ 题型十　分式方程的实际应用2 例题： 55．“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 56．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注.某师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车 油箱容积：50升 油价：7元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是______元. (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元 ①分别求出这两款车的每千米行驶费用. ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7346元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 57．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，完成填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可． 近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费． (1)设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，根据题意，用含有的式子填空：燃油车平均每千米的加油费是______元；充电费为元时电动汽车可行驶的总路程是______千米，加油费为元时燃油汽车可行驶的总路程是______千米． (2)列出方程，完成本题解答． 巩固训练 58．去年，松树桥中学为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，对教学楼走廊，下水管网，校园外墙进行了大力改造，新设计了系列文化景观，构建了一个文化生态空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲，乙两人先后接力完成，若甲每天可以完成10平方米，乙每天可以完成8平方米，共用10天完成，求甲，乙两人分别工作了多少天？ (2)由于第一期改造工程效果良好，学校计划对A校区综合楼外墙共计400平方米进行改造，由丙工程队负责，在B校区装修160平方米教学楼走廊，由丁工程队负责，若丙工程队每天可完成的工作量比丁工程队每天可完成的工作量多5平方米，丙工程队完成的时间是丁工程队完成时间的2倍，求丙，丁工程队每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 59．利川工夫红茶采制工艺精细，大致分为采摘、初制和精制三个主要过程．现有甲、乙两采摘队在同一块茶田采摘茶叶，甲队比乙队每小时多采摘，甲队采摘所用的时间与乙队采摘所用的时间相同． (1)甲、乙两队每小时各采摘多少茶叶？ (2)如果甲队单独采摘3个小时完成了整块田的，这时乙队加入进来，两队还要用多少小时完成这块田的采摘任务？ 60．若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？ 题型十一　分式方程的新定义问题 例题： 61．定义一种新运算（且）．若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 62．对于非零的两个实数，定义一种运算：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 63．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 巩固训练 64．已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则 65．定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ． 66．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 题型十二　分式方程的规律计算问题 例题： 67．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 68．已知，且，，，，． （1）根据上述规律，可得 （用含字母的代数式表示）； （2）当的值为 时，的值为． 69．已知：①方程的两根为或；②的两根为或；③方程两根为或…．请你根据它们所蕴含的规律，求方程，（为正整数）的两根为 （用含的代数式表示）． 巩固训练 70．解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 71．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 72．在学习分式方程的解法时，王老师提出了这样一个问题：解方程． 同学们在解答完成后，王老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得，解得． 经检验，是原方程的解． 小雨同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，发现由得成立，同时也成立，她又试了一些式子，由此发现了规律． (1)请你将她发现的规律补充完整： 已知均不为，若，则，①：______②：______③：______④：______； (2)请用上述规律，解分式方程． 题型十三　无理方程 例题： 73．解方程∶ ． 74．解方程：． 75．解方程：． 巩固训练 76．解方程：． 77．解方程： 78．解方程组：． 题型十四　二元二次方程组及其解法 例题： 79．解方程：． 80．解方程组：． 81．用换元法解方程组： 巩固训练 82．解方程组： 83．解方程组： 84．解方程组：． 题型十五　列方程（组）解应用题 例题： 85．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车一月份的销售总额为元，二月份商家促销，该种自行车的销售单价比一月份降低50元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，求一月份该种自行车的销售单价． 86．为了迎接新学期的到来，某文化用品商店分两批购进同样的书包，提供给新入学的学生购买使用． (1)第二批购进书包的单价是多少元？ (2)两批书包的销售价格都是80元，当两批书包全部售出后，商店共盈利多少元？ 87．为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买A，B两种奖品，已知奖品A的单价比奖品B的单价少10元，用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍． (1)求奖品A，B的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，计划购买A，B两种奖品共60件，所需费用不超过1100元，那么奖品A至少需要购买多少件？ 巩固训练 88．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用600万元购进A型汽车的数量比600万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型汽车进价是多少万元？ (2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共80辆，总费用不超过900万元，那么该公司最多购买A型汽车多少辆？ 89．某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍 (1)求年每辆车的销售价格 (2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？ 90．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 试卷第42页，共43页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 代数方程知识归纳与题型突破（15类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一、整式方程： 1字母系数：关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数. 2.含字母系数的一元一次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程； 求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程 定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程； 解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式； 一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程. 5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： . 二项方程的解法：将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根. 知识点二、分式方程： 6.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 知识点三、无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程. 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系 有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程； 代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程. 3.无理方程的解法 （1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解； （2）一般步骤： 知识点四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题 1.二元二次方程 2.二元二次方程组 3.二元二次方程组的解法 (1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 方法：代入消元法； 一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解. (3)题型二：解方程组（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式） 方法：因式分解法； 解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题 03 题型归纳 题型一　一元整式方程 例题： 1．下列方程中，是关于的一元三次方程的是（　　） A． B． C． D．（为非零常数） 【答案】D 【分析】根据一元三次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为3的整式方程，进行判断即可． 【详解】解：A．，整理，得：，当为负数时，不是一元三次方程，不符合题意； B．不是整式方程，不符合题意； C．，整理得：，没有3次项，不符合题意； D．（为非零常数）整理，得：（为非零常数），是一元三次方程，符合题意； 故选． 【点睛】本题考查一元三次方程的识别．熟练掌握一元三次方程的定义，是解题的关键． 2．下面四个方程中是整式方程的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】A. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意； B. 即为，分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意； C. 两边都是含未知数的整式，是整式方程； D. 分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数． 3．设a为一元二次方程的一个实数根，则 ． 【答案】6065 【分析】根据a为一元二次方程的一个实数根，可以得到的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵a为一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：6065． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，明确题意，利用整体的数学思想解答是解题的关键． 巩固训练 4．用换元法解方程时，如果设，那么原方程化成关于的整式方程是 【答案】y²-3y+2=0 【分析】将原方程左右两边同时乘以，再将代入即可. 【详解】解：∵， ∴， 设， 则原方程可化成y²-3y+2=0. 故答案为y²-3y+2=0. 【点睛】本题主要考查整体思想，解此题的关键在于根据题找到原方程与所求式子之间的关系. 5．解关于x的方程： 【答案】 【分析】方程两边都除以b，再移项即可得出答案． 【详解】解：去括号，得bx-3b=4， 移项，得bx=3b +4， 由题意知b≠0， ∴方程两边同除以b得，， 方程的解为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，把b看作已知数是解题的关键． 6．解关于x的方程： 【答案】当时，方程的根是； 当，方程没有实数根. 【分析】先解方程得到x用a表示出来，再分a=1，a≠1两种情况讨论即可. 【详解】解：， ， ， 当时，； 当时，方程无实数解 ∴当时，方程的根是； 当，方程没有实数根. 【点睛】本题主要考查解方程，解此题的关键在于根据题意分情况进行讨论. 题型二　二项方程 例题： 7．已知关于x的方程没有实数根，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式方程无解问题，根据二项方程无解，则未知数的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴； 故选C． 8．下列方程中，是关于的二项方程式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二项方程的定义，掌握形如n为正整数的方程是二项方程是解题的关键． 【详解】解：A. 不是整式方程，不符合题意； B. ，不是二项方程； C. 是二项方程； D. ，当时，不是二项方程， 故选C． 9．二项方程的实数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方降次是关键．先求的解，再求实数解即可． 【详解】解：， ， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 巩固训练 10．已知关于的方程是二项方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了高次方程．利用方程的项数得出方程不含一次项，列式计算可得答案． 【详解】解：由题意，得： ． 故答案为：1． 11．解关于的方程： 【答案】见解析 【分析】此题考查解二项方程，正确掌握二项方程的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，； 当时，； 当时，方程无解． 12．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解二项方程，先化为，进而根据，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：或 题型三　分式方程的定义 例题： 13．下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果． 【详解】解：、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、是无理方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，故本选项符合题意； 故选：． 14．下列关于x的方程中，其中说法正确的是（     ） A．方程是一元三次方程 B．方程是一元三次方程 C．方程是一元二次方程 D．方程是分式方程 【答案】B 【分析】该题主要考查了一元二次方程、分式方程、一元一次方程、一元三次方程的概念，解题的关键是熟悉各个方程的概念． 根据方程的概念对选项一一判断即可． 【详解】A．方程是一元二次方程，原选项错误，该选项不符合题意； B．方程是一元三次方程，原选项正确，该选项符合题意； C．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意； D．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意； 故选：B． 15．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 巩固训练 16．判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【答案】（）（）（）（）（）是分式方程；（）（）是整式方程． 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】（1）是分式方程； （2）是整式方程； （3）是分式方程； （4）是分式方程； （5）是分式方程； （6）是整式方程； （7）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键． 17．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】①的分母中含有未知数，是分式方程； ②是整式方程； ③是整式方程； ④的分母中含有未知数，是分式方程． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 18．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：依题意，②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； ∴是分式方程的是②④， 故答案为：②④ 题型四　列分式方程 例题： 19．有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为．若设该分数的分子为x，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，找到关键描述语，本题要弄清分子和分母的关系，然后根据关键语列出方程． 【详解】解：由题意可得：分母为， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查分式方程，根据条件得到分母，然后根据题意列方程即可． 20．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小组原有人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为： ，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系． 【详解】解：设小组原有人， 根据题意可得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清楚题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系． 21．一辆列车在最近的铁路大提速后，时速提高了20千米/时，则该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，若该列车提速前的速度是千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得出提速后的速度是千米/时，进而由该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟，即可列出关于x的分式方程． 【详解】∵该列车提速前的速度是千米/时， ∴提速后的速度是千米/时． ∵该列车行驶400千米所用的时间比原来少用了30分钟， ∴可列方程为． 故选B． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 巩固训练 22．利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为，依题意，列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设大巴车的速度为，则轿车的速度为，再根据时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设大巴车的速度为，列方程得， 故答案为：． 23．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为： ． 【答案】 【分析】设当前参加生产的工人有x人，然后根据计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂，列出方程即可． 【详解】解：设当前参加生产的工人有x人， 依题意得： ． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程． 24．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，�你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，�此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答． 某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？ 解题方案：设原计划每天挖x米． （1）用含x的代数式表示：开工后实际每天 米，完成任务原计划用 天，实际用 天； （2）根据题意，列出方程 ． 【答案】 =4 【分析】工作时间=工作总量÷工作效率；关键描述语为：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划天数-实际天数=4． 【详解】根据工作时间=工作总量÷工作效率；关键描述语为：“提前4天完成任务”；等量关系为：原计划天数-实际天数=4可得： (1) ， (2)， (3)， （4）=4， 故答案是：、、、=4. 【点睛】考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解决实际问题的检验分两个方面：①要保证方程有解，②要保证实际问题有意义． 题型五　解分式方程 例题： 25．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． 故答案为：． 26．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 27．解下列分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 检验，当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 巩固训练 28．解分式方程： 【答案】无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤成为解题的关键． 先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， 方程两边乘以， 得： 解得： 检验：当时，， 不是原分式方程的解． 原分式方程无解． 29．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 30．解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1 ）根据解分式方程的方法步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，求解，即可解题； （2 ）根据解分式方程的方法步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，求解，即可解题． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 题型六　分式方程无解问题 例题： 31．关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再分当时和当时两种情况解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，即整式方程无解； 当时， ∴， ∵分式方程无解， ∴， ∴， 经检验：是方程的解， ∴当或时，关于的分式方程无解， 故选：． 32．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．2或 B． C．2或1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程无解， 先去分母，移项，合并同类项，再根据原方程无解讨论得出答案． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得． 当时，原方程无解， 所以． 当时，． ∵原方程无解， ∴， 即， 解得． 综上所述，k的值为2或． 故选：A． 33．已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查分式方程无解的情况，需注意分式方程无解时要考虑增根的情况．先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到为增根，无意义，据此列式求解，即可解题． 【详解】解： ， 关于x的分式方程无解， 当为增根时，，解得， 当无意义时，，解得， 则k的值为或2； 故答案为：或2． 巩固训练 34．若关于x的方程无解，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先将分式方程移项，去分母，合并同类项得，再由原方程无解得，得出，求解即可． 【详解】解：原方程移项得：， 去分母得：， 解得：， ∵原方程无解， ∴， 解得， ∴， 解得，， 故答案为：． 35．已知关于的分式方程： (1)当时，求此方程的解； (2)当为何值时，此方程无解； 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把代入方程并转化为整式方程，解方程并验证即可； （2）把方程转化为整式方程得，当或或时，方程无解，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为 去分母得： 检验：把代入最简公分母 是此时方程的解． （2）解：原方程去分母得： ①当即时原方程无解 ②把增根代入整式方程 得： 此时 ③把增根代入整式方程 得： 此时 综上所述，满足条件的值为或或． 36．已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． （2）解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 题型七　分式方程的增根问题 例题： 37．若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．7 B．3 C．4 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的概念是解答本题的关键． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程有增根，得，即， 把代入整式方程得， 解得：． 故选：A． 38．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，理解增根的概念，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先根据解分式方程的方法得到分式方程的解，再根据增根的概念“使分式方程分母为0的未知数的值”得到，代入计算即可求解． 【详解】解：， 等式左边同分母分式相减得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵分式方程有增根，即， ∴， ∴， 解得，， 故选：B ． 39．如果方程有增根，那么增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是确定增根的可能值，只需让最简公分母为0即可．本题需注意，当分母互为相反数时，最简公分母是其中的一个．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母即可．分母中的和互为相反数，那么最简公分母是． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， ∴方程的增根为． 故答案为：． 巩固训练 40．关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母，根据分式方程有增根的条件求解即可． 【详解】解： 当，即时，方程无解 当，即时，此时 分式方程无解 ，解得： 综上，或时，分式方程无解 故答案为：或． 41．已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程的增根， （1）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得，再结合得出方程，求出解即可； （2）当时原方程有增根，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 因为，所以． 当此方程的解为时，，解得； （2）当此方程会产生增根时，， 即， 所以， 解得． 42．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 题型八　根据分式方程解的情况求值 例题： 43．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是非负数得，由，得，计算可得答案．此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， 即， 得， ∵， ∴，得， ∴且， 故选：C． 44．已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先求出分式方程程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题的关键． 【详解】解： ， ∵的解是非负数，， ∴， 解得：且， 故选：． 45．关于的方程：的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，构建不等式求解即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：， ， 的解是非正数， ， ， ， ， 且． 故选：D． 巩固训练 46．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先解关于的方程，表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或 当时，． 当时，，原方程分母为0，原方程无解． ∴． 故答案为：． 47．若关于x的方程的解是，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解分式方程，把代入，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 故答案为：． 48．阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，， 故答案为：，． 题型九　分式方程的实际应用1 例题： 49．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多元，且用元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种“文房四宝”数量的倍．求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ 【答案】A种型号“文房四宝”的单价是元，B种型号“文房四宝”的单价是元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．设B种型号“文房四宝”的单价是元，则A种型号“文房四宝”的单价是元，利用数量总价单价，结合元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种型号“文房四宝”数量的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出B种型号“文房四宝”的单价，再将其代入中，即可求出A种型号“文房四宝”的单价． 【详解】解：设B种型号“文房四宝”的单价是元，则A种型号“文房四宝”的单价是元．根据题意得∶ 解得∶， 经检验，是所列方程的解，且符合题意 (元)． 答∶A种型号“文房四宝”的单价是元，B种型号“文房四宝”的单价是元． 50．扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了，两种型号扫地机器人，已知型每个进价比型的倍少元，采购相同数量的，两种型号扫地机器人，分别用了元和元．请问，两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 【答案】元；元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设每个型扫地机器人的进价为元，则每个型扫地机器人的进价为元， 依题意得：． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：每个型扫地机器人的进价为元，每个型扫地机器人的进价为元． 51．猕猴桃被誉为“维C之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克12元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多100千克，两种水果的总销售额为6800元． (1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ (2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了1600元的红心猕猴桃和2800元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 【答案】(1)第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克 (2)第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用； （1）等量关系式：红心猕猴桃的销售额黄心猕猴桃的销售额元，红心猕猴桃的销量黄心猕猴桃的销量千克，据此列方程组，即可求解； （2）等量关系式：1600元购买的红心猕猴桃的数量元购买的黄心猕猴桃的数量，据此列出分式方程，即可求解． 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克，由题意得 ， 解得：， 答：第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克； （2）解：设第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元，则红心猕猴桃进价进价为（）元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； 答：第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元． 巩固训练 52．春节，即农历新年，是一年之岁首，传统意义上的年节．为喜迎新春，某水果店推出水果篮和坚果礼盒，若花费4800元购进的水果篮的数量是花费4800元购进坚果礼盒的数量的 ，已知每个水果篮的进价比每盒坚果礼盒的进价多40元． (1)求一个水果篮、一盒坚果礼盒的进价各是多少元? (2)老板花费4800元购进坚果礼盒后，以每盒200元的价格销售坚果礼盒，当坚果礼盒售出 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使坚果礼盒的销售利润不低于2240元，剩余的坚果礼盒每盒售价至少要多少元? 【答案】(1)一个水果篮的进价是160元， 一盒坚果礼盒的进价是120元； (2)剩余的坚果礼盒每盒售价至少是140元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设一盒坚果礼盒的进价是元，则一个水果篮的进价是元，利用数量=总价单价，结合花费4800元购进的水果篮的数量是花费4800元购进坚果礼盒的数量的，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出一盒坚果礼盒的进价，再将其代入中，即可求出一个水果篮的进价； （2）设剩余的坚果礼盒每盒售价是元，利用总利润=每盒的销售利润销售数量，结合坚果礼盒的销售利润不低于2240元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设一盒坚果礼盒的进价是元，则一个水果篮的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元） 答：一个水果篮的进价是160元，一盒坚果礼盒的进价是120元； （2）解：设剩余的坚果礼盒每盒售价是元， 根据题意得： 解得：， ∴y的最小值为140． 答：剩余的坚果礼盒每盒售价至少要140元． 53．云南昭通苹果含糖量高，风味浓，肉质脆，比较细嫩，美味可口，今年李叔叔家种植的昭通苹果又获得丰收，先人工采摘了公斤苹果，然后引入采摘机器采摘了公斤，已知机器采摘的效率（单位：公斤/天）是人工采摘效率的5倍，机器采摘用时比人工采摘还少2天 (1)求机器采摘苹果的效率； (2)李叔叔把这两次采摘的苹果批发给销售商，批发单价为元/公斤，单独人工采摘费用为每天元，引入采摘机器后人工和机器合计每天元，求除去采摘费用，获得的利润为多少元? 【答案】(1)公斤/天 (2)元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设人工采摘效率为公斤/天，则机器采摘效率为公斤/天，由题意得：，据此即可求解； （2）由（1）计算出单独人工采摘和引入采摘机器后人工和机器采摘的天数即可求解； 【详解】（1）解：设人工采摘效率为公斤/天，则机器采摘效率为公斤/天， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴机器采摘苹果的效率为公斤/天； （2）解： ， ∴除去采摘费用，获得的利润为元 54．每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务． (1)求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？ (2)“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？ 【答案】(1)甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件 (2)更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，根据生产的总数量为2000件，列方程求解即可； （2）设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，根据结果比原计划提前4天完成任务，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，依题意，得： ， 解得：． 答：甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件． （2）解：设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，依题意，得： ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件． 题型十　分式方程的实际应用2 例题： 55．“路通百业兴，道顺民心畅”，甲、乙两个工程队负责修建某段道路．已知甲工程队每天比乙工程队多修1千米，如果甲工程队修2千米所用的天数是乙工程队修3千米所用天数的一半． (1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)现计划再修建长度为20千米的公路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为36万元，乙队每天所需费用为45万元，求在总费用不超过180万元的情况下，至少安排甲工程队施工多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天修，乙工程队每天修 (2)天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设乙工程队每天修，则甲工程队每天修，根据题意列出分式方程计算并检验即可； （2）设安排甲工程队施工天，则乙施工天，根据题意列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天修，则甲工程队每天修， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天修，乙工程队每天修； （2）解：设安排甲工程队施工天，则乙施工天， 由题意得：， 解得， 的最小值为， 答：至少安排甲工程队施工天． 56．近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注.某师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车 油箱容积：50升 油价：7元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是______元. (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元 ①分别求出这两款车的每千米行驶费用. ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7346元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 57．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，完成填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可． 近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费． (1)设这款电动汽车平均每千米的充电费为元，根据题意，用含有的式子填空：燃油车平均每千米的加油费是______元；充电费为元时电动汽车可行驶的总路程是______千米，加油费为元时燃油汽车可行驶的总路程是______千米． (2)列出方程，完成本题解答． 【答案】(1)；； (2)电动汽车平均每千米的充电费为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键； （1）设这款电动汽车平均每千米的充电费用为元，则燃油车平均每千米的加油费为元，进而求解充电费和加油费为元时可行驶的总路程即可； （2）根据若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍列出方程并解答； 【详解】（1）解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用为元， 则燃油车平均每千米的加油费为元， 充电费为元时电动汽车可行驶的总路程千米， 则加油费为元时燃油汽车可行驶的总路程是千米； 故答案为：；； （2）解：根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 答：这款电动汽车平均每千米的充电费用为元； 巩固训练 58．去年，松树桥中学为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，对教学楼走廊，下水管网，校园外墙进行了大力改造，新设计了系列文化景观，构建了一个文化生态空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲，乙两人先后接力完成，若甲每天可以完成10平方米，乙每天可以完成8平方米，共用10天完成，求甲，乙两人分别工作了多少天？ (2)由于第一期改造工程效果良好，学校计划对A校区综合楼外墙共计400平方米进行改造，由丙工程队负责，在B校区装修160平方米教学楼走廊，由丁工程队负责，若丙工程队每天可完成的工作量比丁工程队每天可完成的工作量多5平方米，丙工程队完成的时间是丁工程队完成时间的2倍，求丙，丁工程队每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 【答案】(1)甲工作了天，乙工作了天 (2)丙工程队每天可完成平方米，丁工程队每天可完成平方米 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，掌握一元一次方程，分式方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意，设甲工作了天，则乙工作了天，由此列式求解即可； （2）根据题意可得设丁工程队每天可完成平方米，则丙工程队每天可完成平方米，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工作了天，则乙工作了天， ∴， 解得，， ∴ 甲工作了天，则（天）， 答：甲工作了天，乙工作了天； （2）解：设丁工程队每天可完成平方米，则丙工程队每天可完成平方米， ∴丙工程队工作的时间为，丁工程队工作的时间为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 则（平方米）； 答：丙工程队每天可完成平方米，丁工程队每天可完成平方米． 59．利川工夫红茶采制工艺精细，大致分为采摘、初制和精制三个主要过程．现有甲、乙两采摘队在同一块茶田采摘茶叶，甲队比乙队每小时多采摘，甲队采摘所用的时间与乙队采摘所用的时间相同． (1)甲、乙两队每小时各采摘多少茶叶？ (2)如果甲队单独采摘3个小时完成了整块田的，这时乙队加入进来，两队还要用多少小时完成这块田的采摘任务？ 【答案】(1)甲、乙两队每小时各采摘和茶叶 (2)5 【分析】（1）设乙队每小时采摘x千克，甲队每小时采摘千克，根据甲队采摘所用的时间与乙队采摘所用的时间相同列分式方程解题即可； （2）设两队还需用a小时完成任务，根据（1）中的结果列方程解题即可． 【详解】（1）解：设乙队每小时采摘x千克，甲队每小时采摘千克， ， 解得：， 经检验：是原方程的解． 甲队每小时采摘（千克）． 答：甲、乙两队每小时各采摘120和150茶叶． （2）解：设两队还需用a小时完成任务， ， 解得：， 答：两队还要用5小时完成这块田的采摘任务． 【点睛】本题考查运用方程解决实际问题，找准等量关系正确列出方程是解题的关键． 60．若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？ 【答案】甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米． 【分析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，根据“行驶一半的路程甲所用时间比乙所用时间多2小时”列出方程求解即可． 【详解】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴原方程的解是x＝3， 则x＋2＝5， 答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是能够表示两人所用时间，然后根据题意列方程求解． 题型十一　分式方程的新定义问题 例题： 61．定义一种新运算（且）．若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．根据题目所给的运算顺序和运算法则进行计算即可，要注意分式方程需要检验． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 62．对于非零的两个实数，定义一种运算：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，根据题意的新定义得，然后根据解分式方程的步骤即可求解，正确理解题意得到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意的新定义得：， 去分母得：，即， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：． 63．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】根据新定义可得，，从而可得分式方程，再解分式方程即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得：， 把代入得，， ∴是原方程的解， 故选；A． 巩固训练 64．已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．分类讨论3与的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，但，不符合题意，舍去； 当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意． 故答案为：． 65．定义两种新运算“Δ”和“※”，其运算规则为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算，解分式方程，根据新运算规则得，解出方程，即可求解；理解新运算规则，掌握解分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 去分母得： ， 整理得：， 解得：， 检验：当时， ， 原方程的解为， 故答案：． 66．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析 (2)或3 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． （2）解： ∵x，y，m均为整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 题型十二　分式方程的规律计算问题 例题： 67．一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【详解】解：由一列方程如下排列： 的解是， 的解是， 的解是， 得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2， 解是的方程：， 故答案为：． 68．已知，且，，，，． （1）根据上述规律，可得 （用含字母的代数式表示）； （2）当的值为 时，的值为． 【答案】 【分析】（1）把，代入相应的式子求解即可； （2）根据所给的规律进行求解即可，从而可得到这个数列里的数每个循环出现，从而可求解． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）由题意得：， ， ， 则这个数列的数每个循环出现， ， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子分析出存在的规律． 69．已知：①方程的两根为或；②的两根为或；③方程两根为或…．请你根据它们所蕴含的规律，求方程，（为正整数）的两根为 （用含的代数式表示）． 【答案】x=或x= 【分析】根据已知三个方程的解，归纳总结得到规律，将所求方程变形后，利用此规律即可得到方程的解． 【详解】解：①的解是或；②的解是或；③的解是或， 变形为且， 解为x=和x=． 故答案为：x=或x=． 【点睛】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键． 巩固训练 70．解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【答案】(1)第⑤个方程：解为第⑥个方程：解为 (2)第个方程：解为． 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）等号左边的分母都是，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是，第二个式子的解是，那么第5个式子的解是第6个式子的解是． （2）由（1）得第个式子的等号左边的分母是，分子是，等号右边的被减数的分母是，分子是，减数是1，结果是 【详解】（1）解：①的解． ②的解． ③的解． ④的解 …… ①，②，③，④ （1）第⑤个方程：的解为 第⑥个方程：的解为 （2）解：第个方程：的解为 方程两边都乘得 解得 检验：当时， ， ∴原方程的解为． 71．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 72．在学习分式方程的解法时，王老师提出了这样一个问题：解方程． 同学们在解答完成后，王老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得，解得． 经检验，是原方程的解． 小雨同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，发现由得成立，同时也成立，她又试了一些式子，由此发现了规律． (1)请你将她发现的规律补充完整： 已知均不为，若，则，①：______②：______③：______④：______； (2)请用上述规律，解分式方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据例题的规律填空即可求解； （2）根据（1）的规律将方程化简，进而解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， ， 解得或， 经检验，或是方程的解， ∴原方程的解为或， 【点睛】本题考查了分式的性质，解分式方程，解一元二次方程，利用例题中的规律解题是解题的关键． 题型十三　无理方程 例题： 73．解方程∶ ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法，两边同时平方，移项将带根号的式子与整式分在等号两边，两边再次平方，化简可得一个一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】 ， 解得：，，　 经检验是增根，舍去， ∴原方程的根为． 74．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解无理方程，掌握解无理方程的技巧和解一元二次方程是解题的关键． 先将无理方程转化为一元二次方程，然后解一元二次方程即可，最后根据无理方程的特点要进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ，， 经检验时，不符合题意，舍去． ∴原方程的解为． 75．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了无理方程，解题关键是把无理方程转化成有理方程，并注意根的检验．先移项，再把两边平方，把无理方程转化成有理方程，解一元二次方程，再把根代入原方程检验即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边平方，得， 整理，得， 解得，， 检验：把代入原方程，左边=右边，故是原方程的根， 把代入原方程，左边右边，故是原方程的增根，舍去， 故原方程的解为． 巩固训练 76．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．先移项，再利用两边平方的办法去掉一个根号，整理后再利用同样的办法去掉另外一个根号，进一步求解可得． 【详解】解：， ， 则， 整理，得：， ， 整理，得：， 解得，（舍． 77．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解无理方程，先移项得到，再把方程两边同时平方得到，据此利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验：当时，左边，右边，所以不是原方程的解， 当时，左边，右边，所以是原方程的解， ∴． 78．解方程组：． 【答案】或或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，先整理方程组，再利用代入消元法求解方程即可；熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：方程组整理得， ②代入①得：，即， 解得：或， 将代入②得：， 解得：或， 即或； 将代入②得：， 解得：， 即； 综上，方程组的解为：或或． 题型十四　二元二次方程组及其解法 例题： 79．解方程：． 【答案】原方程无解 【分析】先移项，再两边平方，再整理可得，从而可得原方程无解． 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得：， 整理得：，而， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查的是无理方程的解法，掌握解无理方程的方法与步骤是解本题的关键． 80．解方程组：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元二次方程组．先把原方程组变形为或，再分别解出方程组，即可求解． 【详解】解：， 变形得：， 即或， 解得：， 81．用换元法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是． 巩固训练 82．解方程组： 【答案】， 【分析】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握和运用解二元二次方程组的方法是解决本题的关键． 首先把第二个方程分解因式，得到两个二元一次方程，再组合成二个二元一次方程组，分别解方程组即可． 【详解】解：    由②得： 或 所以原方程组可化为两个二元一次方程组： 或 分别解这两个方程组，得原方程组的解是 ， 83．解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先变形（1）得出，，作出两个方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：， 由（1）得出，， 故有或 解得：或 原方程组的解是或． 84．解方程组：． 【答案】，． 【分析】由①得，代入②求得，，据此求解即可． 【详解】解：， 由①得， 将代入②得，整理得， 解得，， ∴，， ∴方程组的解为，． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握二元二次方程组的解法是解题的关键． 题型十五　列方程（组）解应用题 例题： 85．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车一月份的销售总额为元，二月份商家促销，该种自行车的销售单价比一月份降低50元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，求一月份该种自行车的销售单价． 【答案】一月份该种自行车的销售单价为元 【分析】本题考查分式方程的应用，设一月份该种自行车的销售单价为元，根据该种自行车的销售单价比一月份降低元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设一月份该种自行车的销售单价为元，由题意得： ， 解得：； 经检验是原方程的解； 答：一月份该种自行车的销售单价为元． 86．为了迎接新学期的到来，某文化用品商店分两批购进同样的书包，提供给新入学的学生购买使用． (1)第二批购进书包的单价是多少元？ (2)两批书包的销售价格都是80元，当两批书包全部售出后，商店共盈利多少元？ 【答案】(1)第二批购进书包的单价是64元 (2)商店共盈利2600元 【分析】此题考查了分式方程应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设第二批购进书包的单价是x元，则第一批购进的单价是元，根据两次购买书包的数量之间的关系列出分式方程求解即可； （2）用两次的售价减去两次的成本即可． 【详解】（1）解：设第二批购进书包的单价是x元， 则：， 解之得， 经检验：是原方程的根． 答：第二批购进书包的单价是64元； （2）解：第二批书包的数量是（个）， 第一批书包的数量是50个， （元）， 答：商店共盈利2600元． 87．为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买A，B两种奖品，已知奖品A的单价比奖品B的单价少10元，用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍． (1)求奖品A，B的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，计划购买A，B两种奖品共60件，所需费用不超过1100元，那么奖品A至少需要购买多少件？ 【答案】(1)奖品A的单价是15元，奖品B的单价是25元 (2)奖品A至少需要购买40件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设奖品A的单价是x元，则奖品B的单价是元，利用数量总价单价，结合用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即奖品A的单价），再将其代入中，即可求出奖品B的单价； （2）设购买m件奖品A，则购买件奖品B，利用总价单价数量，结合总价不超过1100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设奖品A的单价是x元，则奖品B的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：奖品A的单价是15元，奖品B的单价是25元； （2）设购买m件奖品A，则购买件奖品B， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为40． 答：奖品A至少需要购买40件． 巩固训练 88．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用600万元购进A型汽车的数量比600万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型汽车进价是多少万元？ (2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共80辆，总费用不超过900万元，那么该公司最多购买A型汽车多少辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车进价12万元 (2)该公司决定最多购买A型汽车50辆 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用； （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据用600万元购进A型汽车的数量比600万元购进B型汽车的数量少10辆，列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意，列出不等式，求解即可． 正确列出方程和不等式是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设每辆B型汽车进价x万元，则每辆A型汽车进价1.2x万元．依题意，得 ， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意． ∴（万元）， 答：每辆A型汽车进价12万元． （2）解：设该公司决定购买A型汽车m辆，则B型汽车购买辆． 依题意，得 ， 解得：． 答：该公司决定最多购买A型汽车辆． 89．某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍 (1)求年每辆车的销售价格 (2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？ 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，正确解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键； （1）根据题中的等量关系建立分式方程，解方程即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）根据题意，设年每辆车的销售价格为万元，列方程可得： ； 解得： 答：年每辆车的销售价格为万元． （2）解：设定价至少要万元；根据题意列不等式， 解得：， 答：为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于万元． 90．修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． (1)求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； (2)为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 【答案】(1)甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米 (2)甲工程队所花费用较少；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算． （1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， （天）， 答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米． （2）解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， 乙工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， ∵， ∴两个工程队都能在天内完成， ∵， ∴甲工程队所花费用较少． 试卷第42页，共43页 58 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$