精品解析：安徽省部分学校2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2024级高一学年下学期开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 4. 已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 1或2 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，若是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则实数（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 设是定义域为的单调函数，若，则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 当时， 11. 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若函数在上有最小值无最大值，则实数的取值范围为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为___________. 13. 设函数，若表示不超过的最大整数（如），则函数的值域是___________. 14. 已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求取值范围. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求关于的不等式的解集. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在，使得成立，求实数取值范围； （3）已知函数在区间上单调递减.试判断：是否恒成立？请说明理由. 19. 已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为奇函数. （1）求函数解析式； （2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值； （3）设函数，若对于定义域内的任意实数，给定的非零常数，总存在非零常数，使得成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一学年下学期开学考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集和补集的定义可求得所求集合. 【详解】因为全集，集合，， 则，所以. 故选：C. 2. 的值是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式求值. 【详解】. 故选：D 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】代入具体数值可判断命题和的真假，即可得到和的真假. 【详解】因为当时，成立，故命题为真命题，为假命题； 当时，，故命题为假命题，为真命题. 故选：B. 4. 已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可； 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移求得，再根据的图象关于轴对称建立关系即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到， 依题意可得，解得， 又，所以的最小值是. 故选：C 6. 已知函数，设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，比较、、的大小关系，即可得出、、的大小关系. 【详解】由于函数、均为上的减函数， 故在区间上单调递减， 又， 故，所以. 故选：B. 7. 已知函数的部分图象如图所示，若是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象求出，得，分类讨论、，结合图形和三角函数的对称性求出，根据计算即可. 【详解】由的部分图象知，，解得， 所以，又，解得， 因为，所以，所以. 若，不妨设的位置如图1所示，则， 又，所以，又， 所以； 同理时，如图2，， 令，解得， 所以点是图象与轴的一个交点，即关于直线对称， 得，解得， 所以. 综上，. 故选：D 8. 已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由单调函数的定义可知单调递减.根据分段函数、二次函数和指数函数的图象与性质建立不等式组，结合图形即可求解. 【详解】由对于任意的都有， 可知函数在R上单调递减. 由函数的图象关于直线对称， 知函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 二次函数的对称轴为. 若函数单调递减，必有，可得， 当时，不等式可化为， 在平面直角坐标系中画出函数的图象， 又由， 由图象可知不等式的解集为， 故实数的取值范围为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数的定义得到，进而可得，再利用诱导公式可得，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，且，所以为第三象限角，， 由，解得， 则，， 所以选项A，C正确，选项B，D错误， 故选：AC. 10. 设是定义域为的单调函数，若，则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】赋值法可判断A和B，根据函数的大小关系可判断选项C，根据单调性可判断D. 【详解】对于A，令，得，所以，A正确； 对于B，令，得，所以， 因为函数定义域为，令，得， 所以，B正确； 对于C，是奇函数，且为单调函数，又， 所以是上的减函数，C错误； 对于D，由C可知是上的减函数，当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若函数在上有最小值无最大值，则实数的取值范围为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦函数图象性质可知的最小值为半个周期，可得A正确；根据已知可求得函数为，利用整体代换可求得的一个对称轴为，可判断B正确；当时，可求得函数有最大值，可得C错误；根据二倍角公式以及两角差与和的余弦公式计算可得D正确. 【详解】因为，所以中一个为函数最大值，一个为最小值，因此，A正确； 由题知最小正周期，所以. 因为，所以. 又，所以，所以. 由，得， 当时，，所以函数的图象关于直线对称，B正确； 令，此时，当时，取得了最大值，与题意不符，C错误； 因为， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据诱导公式转化，再根据两角差的正弦公式逆用可求得结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 设函数，若表示不超过的最大整数（如），则函数的值域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分离常数可得，根据正弦函数的值域求出函数的值域，再根据的定义即可得解. 详解】， 因为，所以，则， 所以，则， 所以函数的值域是. 故答案为：. 14. 已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】关于的不等式恒成立，令，，根据一次函数性质及不等式关系得到则当时，有，可得到参数和的关系式，再通过换元将转化为只含一个参数的式子，利用基本不等式即可求最值. 【详解】由题意可知，令，， 因为，所以函数为增函数，因为当时，解得， 所以当时，，当时，， 又因为当时，关于的不等式恒成立，即， 所以当时，，当时，， 所以当时，，即， 所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方关系先求出，再由两角差的正弦公式求解； （2）根据二倍角公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 所以. 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复合函数的单调性，即可求解； （2）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，易知其单调递增区间为，单调递减区间为. 又为增函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及三角函数恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得； （2）根据余弦函数的图象和性质即得. 【小问1详解】 因为 . 令，得， 令，得， 故函数的单调递增区间为， 单调递减区间为. 【小问2详解】 由，得， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上单调递减.试判断：是否恒成立？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）恒成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先判断定义域，然后根据对数的运算以及对数函数的单调性可求得结果； （2）先分别求出两个函数的值域，根据函数值相等可得到结果； （3）根据解析式得到的表达式，根据对数的运算进行化简，可得到不等关系. 【小问1详解】 由得， 又，即，所以， 解得，即不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，单调递减，又为增函数， 所以函数在区间上单调递减， 又时，，所以的值域为， 因为在区间上单调递减，所以的值域为. 若存在，使得成立，只需，即， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 恒成立，理由如下： 因为， 所以 ， 因为在区间上单调递减， 所以当时，，所以， 即，即， 所以， 即恒成立. 19. 已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为奇函数. （1）求函数的解析式； （2）令，记函数在上零点从小到大依次为，求的值； （3）设函数，若对于定义域内的任意实数，给定的非零常数，总存在非零常数，使得成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论. 【答案】（1） （2） （3）存在，且，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的周期性求得，再根据奇偶性与已知条件解得，即可求得函数的解析式； （2）结合（1）的结论转化零点个数为函数交点问题，根据三角函数的图象与对称性计算即可； （3）根据定义得出恒成立，利用三角函数的有界性得出，分类讨论时，构造，根据零点存在性定理判定其零点唯一，再讨论时，通过指数函数与一次函数的性质与图象排除即可. 【小问1详解】 由题知函数的最小正周期为，所以，所以. 又函数为奇函数， 所以，解得. 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 由，得， 因为，所以， 令，则，所以， 设，如下图所示： 由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点， 点关于直线对称，点关于直线对称， 点，关于直线对称， 所以，即， 即，解得. 【小问3详解】 因为，所以. 假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数， 即， 则成立， 则成立. 当时，，则， 所以， 要使得恒成立，则有. 当时，则，即，令，其中， 则，且函数在上单调递增， 由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点， 此时恒成立，则，且， 即，且； 当时，则，即，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的图象没有公共点， 故方程无实数解. 综上所述，存在，且满足题意，其中满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$