第11讲 抛体运动【四大题型】（举一反三）-备战2025年高考物理举一反三系列（新高考通用）

第11讲 抛体运动 题型一 平抛运动的基本规律 题型二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动 题型三 斜抛运动 题型四 平抛运动的临界、极值问题 课标要求 命题预测 重难点 1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。 生活中的抛体运动。 与斜面或圆弧面有关的平抛运动。 （1）处理平抛运动中的临界、极值问题。 （2）运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。 2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。 3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。 4.知道平抛运动的轨迹是抛物线，能熟练操作器材，会在实验中描绘其轨迹。 5.会通过描绘的平抛运动轨迹计算物体的初速度。 平抛运动的基本规律 题型一 【典型例题剖析】 【例1】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于(　　) A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 【答案】　B 【详解】　摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝gt12，可解得v1＝，动能E1＝mv12＝；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝gt22，解得v2＝3，动能E2＝mv22＝mgh，故＝18，B正确。 　 【高考考点对接】 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 4．规律 (1)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (2)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 【解题能力提升】 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时； (2)物体的速度方向恰好沿某一方向时。 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键词，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 【跟踪变式训练】 【变式1-1】(多选)(2023·广东惠州市一模)“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(　　) A．运动的时间都相同 B．速度的变化量不相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若小面圈刚被抛出时初速度为v0，则L<v0<3L 【答案】　AD 【详解】　所有小面圈在空中均做平抛运动，竖直方向均为自由落体运动，根据h＝gt2得t＝， 可知所有小面圈在空中运动的时间都相同，A正确；所有小面圈都只受到重力作用，所以加速度均为g，根据Δv＝gt可知所有小面圈在空中运动过程中速度的变化量相同，B错误；若小面圈刚被抛出时初速度为v0，根据水平方向为匀速直线运动，落在锅里的水平距离最小值为L，最大值为3L，有L＝vmint，3L＝vmaxt，t＝，则L<v0<3L，小面圈落入锅中时水平速度最大值为最小值的3倍，但是竖直速度相等，根据速度的合成v＝，可知落入锅中时，最大速度小于最小速度的3倍，C错误，D正确。　 【变式1-2】 (2019·福建莆田市5月第二次质检)如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方.不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以(　　) A.增大抛出点高度，同时增大初速度 B.减小抛出点高度，同时减小初速度 C.保持抛出点高度不变，增大初速度 D.保持初速度不变，增大抛出点高度 【答案】　B 【详解】　设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，根据h＝gt2，可得平抛运动的时间为：t＝，则水平位移为：x＝v0t＝v0.增大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故A错误.减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能会抛进小桶中，故B正确.保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，故C错误.保持初速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，D错误. 【变式1-3】 (2020·广西高三月考)A、B两小球分别从图所示位置被水平抛出，落地点在同一点M，B球抛出点离地面高度为h，与落地点M水平距离为x，A球抛出点离地面高度为2h，与落地点M水平距离为2x，忽略空气阻力，重力加速度为g，关于A、B两小球的说法正确的是(　　) A.A球的初速度是B球初速度的两倍 B.要想A、B两球同时到达M点，A球应先抛出的时间是 C.A、B两小球到达M点时速度方向一定相同 D.B球的初速度大小为x 【答案】　C 【详解】　设小球做平抛运动的水平位移为s，竖直高度为H，由平抛运动规律可得，s＝v0t，H＝gt2，两式联立解得v0＝s，由题目条件可得vA＝2x，vB＝x，则A球的初速度是B球初速度的倍，故A、D错误；小球从开始抛出到落地时间为t＝，故可求得tA＝，tB＝，要想A、B两球同时到达M点，A球应先抛出的时间Δt＝tA－tB＝(－1)，故B错误；设小球落地时速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则由平抛运动推论可得tan θ＝2tan α＝，故可得tan θA＝tan θB＝，所以A、B两小球到达M点时速度方向一定相同，故C正确. 与斜面或圆弧面有关的平抛运动 题型二 【典型例题剖析】 【例2】(2023·山东聊城市期中)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)，求： (1)运动员在空中飞行的时间； (2)运动员落在B处时的速度大小； (3)运动员在空中离坡面的最大距离。 【答案】　(1)3 s　(2)10 m/s　(3)9 m 【详解】　(1)运动员做平抛运动，设在空中飞行的时间为t，则有x＝v0t，y＝gt2，由题图可知tan θ＝ 联立解得t＝tan θ＝3 s (2)运动员落在B处时有vx＝v0，vy＝gt 所以vB＝＝10 m/s (3)取沿斜坡向下方向(x方向)与垂直于斜坡向上方向(y方向)分析运动员的运动，则在垂直于斜坡方向上，vy′＝v0sin θ＝12 m/s ay＝－gcos θ＝－8 m/s2 当vy′＝0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有d＝＝9 m。 　 【高考考点对接】 已知条件 情景示例 解题策略 已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示。 已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位 移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【跟踪变式训练】 【变式2-1】 如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【详解】　小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，由tan θ＝＝，可得竖直方向的位移y＝R，而vy2＝2gy，tan 30°＝， 联立解得v0＝， 选项A正确，B、C、D错误。 【变式2-2】(2024·福建宁德市一模)如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的说法正确的是(　　) A．两小球的飞行时间均与初速度v0成正比 B．落在b点的小球飞行过程中速度变化快 C．落在a点的小球飞行过程中速度变化大 D．小球落在a点和b点时的速度方向不同 【答案】　A 【详解】　设斜面倾角为θ，则tan θ＝＝＝，可得t＝，两小球的飞行时间均与初速度v0成正比，故A正确； 两球抛出后只受重力作用，加速度g相同，所以速度的变化快慢相同，故B错误； 根据题意知，落在a点的小球竖直位移比落在b点的小，根据h＝gt2，可知落在a点的小球运动的时间小于落在b点的，根据Δv＝gt可知，落在a点的小球速度变化小于落在b点的，故C错误； 设小球落到斜面上速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝2tan θ，所以小球落在a点和b点时的速度方向相同，故D错误。 【变式2-3】　(2024·陕西汉中市联考)某次试飞中，轰－20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰－20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求： (1)炸弹在空中运动的时间t； (2)A点到山坡底端的距离d。 【答案】　(1)　(2) 【详解】　(1)炸弹在竖直方向做自由落体运动，则有H－h＝gt2，解得t＝ (2)设炸弹的水平位移为x，如图，则有＝， d2＝x2＋h2 解得d＝。 斜抛运动 题型三 【典型例题剖析】 【例3】 (2023·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。 【答案】　2.1 m/s 【详解】　运动员起跳投篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，其逆过程可以看作是平抛运动，则有h3＋h2－h1＝gt12，L1－＝v0t1 代入数据解得v0＝2.1 m/s。 【高考考点对接】 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【解题能力提升】 逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 【跟踪变式训练】 【变式3-1】 (2023·山东卷·15)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。 (1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H； (2)已知电容器储存的电能E＝CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？ 【答案】　(1)60 m　(2)1 000 V 【详解】　(1)灭火弹做斜上抛运动， 则水平方向上有L＝v0cos θ·t 竖直方向上有H＝v0tsin θ－gt2 代入数据联立解得H＝60 m (2)根据题意可知Ek＝ηE＝15%×CU2 又因为Ek＝mv02，联立解得U＝1 000 V。 【变式3-2】 (2023·湖南卷·2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v1 C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等 【答案】　B 【详解】　抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误；谷粒2做斜抛运动，谷粒1做平抛运动，在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。两谷粒从O点运动到P点的水平位移相同，但谷粒2运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即最高点的速度小于v1，B正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 【变式3-3】 (2023·江苏徐州市三模)如图所示，在海边的山坡上同一位置以相同大小的初速度v0抛出两个石子，速度方向与水平方向夹角均为θ，两石子在同一竖直面内落入水中，不计空气阻力。两石子抛出后(　　) A．在空中运动时间相同 B．在空中同一高度时速度方向相同 C．落至水面时速度大小不同 D．落至水面时的水平射程相同 【答案】　B 【详解】　由斜上抛运动的对称性可知，斜上抛的石子落回到与抛出点同一高度时，竖直方向的分速度与斜下抛的竖直分速度大小v0sin θ相同，方向也相同。如图，从A点经过相同高度，斜上抛石子的状态与斜下抛石子的状态相同，故B正确，C错误；两石子在空中运动的时间差为斜上抛石子在抛出点上方运动的时间，A错误；落至水面时水平射程x＝v0cos θ·t，因两石子运动时间不同，故落至水面时的水平射程不同，D错误。 平抛运动的临界、极值问题 题型四 【典型例题剖析】 【例4】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是(　　) A.2 m/s B.4 m/s C.8 m/s D.10 m/s 【答案】　B 【详解】　小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大.此时有：L＝vmaxt1, h＝gt12 代入数据解得：vmax＝7 m/s 小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小， 则有：L＋d＝vmint2，H＋h＝gt22， 代入数据解得：vmin＝3 m/s，故v的取值范围是 3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误. 　 【解题能力提升】 1.平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向. 2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题. 【跟踪变式训练】 【变式4-1】(2019·广东五校一联)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图9所示.模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平.现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　) A.0 B.0.1 m C.0.2 m D.0.3 m 【答案】　C 【详解】　小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有mg(H－h)＝mv2，从右端出口飞出后小球做平抛运动，有x＝vt，h＝gt2，联立解得x＝2，根据数学知识知，当H－h＝h时，x最大，即h＝1 m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正确. 【变式4-2】如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【详解】　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α.由tan α＝，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝，选项A正确. 　 【变式4-3】如图所示，固定斜面AB的底面和高均为h，平台和斜面顶点B在同一条水平线上，平台右端点C在A的正上方.物体P以不同初速度从C点水平抛出，已知重力加速度为g，求P落在斜面上时的最小速度大小. 【答案】　 【详解】　设物体P从C点离开时的速度为v0，P离开平台后做平抛运动， 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 又有x＋y＝h 联立可得v0＝－gt P在竖直方向做自由落体运动，落在斜面上时的竖直分速度为vy＝gt 设落在斜面上时P的速度为v，则v2＝v02＋vy2 可得v2＝－gh 根据数学知识可知＋t2≥gh 解得v的最小值为vmin＝. 1．在高空中匀速飞行的轰炸机，每隔时间t投放一颗炸弹，若不计空气阻力，则投放的炸弹在空中的位置是选项中的(图中竖直的虚线将各图隔离)(　　) 【答案】　B 【详解】　由题意可知，炸弹被投放后做平抛运动，它在水平方向上做匀速直线运动，与飞机速度相等，所以所有离开飞机的炸弹与飞机应在同一条竖直线上，故A、C错误；炸弹在竖直方向上做自由落体运动，从上至下，炸弹间的距离越来越大，故B正确，D错误. 2．(2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响).速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网.其原因是(　　) A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 【答案】　C 【详解】　由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝gt2及vy2＝2gh可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故选项C正确. 3．(2020·河南新乡市高三上学期第一次模拟)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下落高度为9 m时，在空中相遇.若两球的抛出速度都变为原来的3倍，不计空气阻力，则自抛出到它们在空中相遇时，两球下落的高度为(　　) A.6 m B.3 m C.3 m D.1 m 【答案】　D 【详解】　由题知，两小球均做平抛运动，同时抛出，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，两球始终在同一水平面上，根据x＝vAt＋vBt知，x不变，当两球的抛出速度都变为原来的3倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为，根据h＝gt2，H＝g()2，得：H＝＝1 m. 4．(2019·陕西汉中市下学期模拟)如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向.图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹.不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A.a和b的初速度大小之比为∶1 B.a和b在空中运动的时间之比为2∶1 C.a和c在空中运动的时间之比为∶1 D.a和c的初速度大小之比为2∶1 【答案】　C 【详解】　根据t＝可知a和b在空中运动的时间之比为∶1；根据v＝可知a和b的初速度大小之比为1∶，选项A、B错误.根据t＝可知a和c在空中运动的时间之比为∶1；根据v＝可知a和c的初速度大小之比为∶1，选项C正确，D错误. 5．如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰落在b点.若小球初速度变为v，其落点位于c，则(　　) A.v0<v<2v0 B.v＝2v0 C.2v0<v<3v0 D.v>3v0 【答案】　A 【详解】　根据平抛运动的规律可知，若小球落在b点，有x＝v0tb，tb＝，若落在c点，则2x＝vtc，而tc＝，若时间不变，则初速度变为原来的2倍，由于tc>tb，所以v0<v<2v0，故A正确. 6．(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　) A.初速度大小之比是∶∶ B.初速度大小之比是1∶∶ C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 【答案】　AC 【详解】　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误. 7．(2018·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　) A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 【答案】　A 【详解】　如图所示，可知： x＝vt， x·tan θ＝gt2 则vy＝gt＝2tan θ·v 则落至斜面的速率v落＝＝v，即v落∝v，甲、乙两球抛出速度为v和，则可得落至斜面时速率之比为2∶1. 8．如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点.已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2).求： (1)A点与O点的距离L； (2)运动员离开O点时的速度大小. 【答案】　(1)75 m　(2)20 m/s 【详解】　(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有 y＝Lsin 37°＝gt2 则A点与O点的距离L＝＝75 m. (2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动， 即x＝Lcos 37°＝v0t， 解得v0＝＝20 m/s. 9．(2019·海南琼海市嘉积中学高三期中)如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A.＝2 B.＝2 C.tan θ1tan θ2＝2 D.＝2 【答案】　C 【详解】　做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动.由题知，速度方向与水平方向的夹角为θ1，则tan θ1＝＝，位移方向与竖直方向的夹角为θ2，则tan θ2＝＝＝，所以tan θ1tan θ2＝2，所以选C. 10.(2020·贵州安顺市网上调研)如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道MNO顶端和斜面顶端O点以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则(　　) A.b球一定先落在斜面上 B.a球一定先落在半圆轨道上 C.a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D.b球落到斜面最底端时，a球恰好落在半圆轨道上最低点 【答案】　C 【详解】　如图甲，将半圆轨道和斜面轨道重叠在一起可知，若小球初速度合适，两小球可同时落在距离出发点高度相同的半圆轨道和斜面交点A处，改变初速度，可以a球先落在半圆轨道上，也可以b球先落在斜面上，故A、B错误，C正确；若b球落到斜面最底端时，由图乙所画轨迹可判断a球已经打在半圆轨道的P点了，故a球不可能落在半圆轨道上最低点，故D错误. 　 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 抛体运动 题型一 平抛运动的基本规律 题型二 与斜面或圆弧面有关的平抛运动 题型三 斜抛运动 题型四 平抛运动的临界、极值问题 课标要求 命题预测 重难点 1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。 生活中的抛体运动。 与斜面或圆弧面有关的平抛运动。 （1）处理平抛运动中的临界、极值问题。 （2）运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。 2.会处理平抛运动中的临界、极值问题。 3.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。 4.知道平抛运动的轨迹是抛物线，能熟练操作器材，会在实验中描绘其轨迹。 5.会通过描绘的平抛运动轨迹计算物体的初速度。 平抛运动的基本规律 题型一 【典型例题剖析】 【例1】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于(　　) A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 　 【高考考点对接】 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 4．规律 (1)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (2)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 【解题能力提升】 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度时； (2)物体的速度方向恰好沿某一方向时。 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键词，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 【跟踪变式训练】 【变式1-1】(多选)(2023·广东惠州市一模)“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(　　) A．运动的时间都相同 B．速度的变化量不相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若小面圈刚被抛出时初速度为v0，则L<v0<3L 【变式1-2】 (2019·福建莆田市5月第二次质检)如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球落在小桶的前方.不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以(　　) A.增大抛出点高度，同时增大初速度 B.减小抛出点高度，同时减小初速度 C.保持抛出点高度不变，增大初速度 D.保持初速度不变，增大抛出点高度 【变式1-3】 (2020·广西高三月考)A、B两小球分别从图所示位置被水平抛出，落地点在同一点M，B球抛出点离地面高度为h，与落地点M水平距离为x，A球抛出点离地面高度为2h，与落地点M水平距离为2x，忽略空气阻力，重力加速度为g，关于A、B两小球的说法正确的是(　　) A.A球的初速度是B球初速度的两倍 B.要想A、B两球同时到达M点，A球应先抛出的时间是 C.A、B两小球到达M点时速度方向一定相同 D.B球的初速度大小为x 与斜面或圆弧面有关的平抛运动 题型二 【典型例题剖析】 【例2】(2023·山东聊城市期中)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝20 m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)，求： (1)运动员在空中飞行的时间； (2)运动员落在B处时的速度大小； (3)运动员在空中离坡面的最大距离。 　 【高考考点对接】 已知条件 情景示例 解题策略 已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示。 已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位 移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【跟踪变式训练】 【变式2-1】 如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　) A. B. C. D. 【变式2-2】(2024·福建宁德市一模)如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的说法正确的是(　　) A．两小球的飞行时间均与初速度v0成正比 B．落在b点的小球飞行过程中速度变化快 C．落在a点的小球飞行过程中速度变化大 D．小球落在a点和b点时的速度方向不同 【变式2-3】　(2024·陕西汉中市联考)某次试飞中，轰－20实施对点作业，即对山坡上的目标A进行轰炸。轰－20沿水平方向匀速飞行，飞行高度为H，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，炸弹恰好垂直击中A点，整个过程如图所示。已知A点距山坡底端的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，求： (1)炸弹在空中运动的时间t； (2)A点到山坡底端的距离d。 斜抛运动 题型三 【典型例题剖析】 【例3】 (2023·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。 【高考考点对接】 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 【解题能力提升】 逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 【跟踪变式训练】 【变式3-1】 (2023·山东卷·15)电磁炮灭火消防车(图甲)采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。 (1)求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H； (2)已知电容器储存的电能E＝CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15%，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？ 【变式3-2】 (2023·湖南卷·2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v1 C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等 【变式3-3】 (2023·江苏徐州市三模)如图所示，在海边的山坡上同一位置以相同大小的初速度v0抛出两个石子，速度方向与水平方向夹角均为θ，两石子在同一竖直面内落入水中，不计空气阻力。两石子抛出后(　　) A．在空中运动时间相同 B．在空中同一高度时速度方向相同 C．落至水面时速度大小不同 D．落至水面时的水平射程相同 平抛运动的临界、极值问题 题型四 【典型例题剖析】 【例4】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2.则可以实现上述要求的速度大小是(　　) A.2 m/s B.4 m/s C.8 m/s D.10 m/s 　 【解题能力提升】 1.平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向. 2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题. 【跟踪变式训练】 【变式4-1】(2019·广东五校一联)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图9所示.模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平.现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为(　　) A.0 B.0.1 m C.0.2 m D.0.3 m 【变式4-2】如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A. B. C. D. 　 【变式4-3】如图所示，固定斜面AB的底面和高均为h，平台和斜面顶点B在同一条水平线上，平台右端点C在A的正上方.物体P以不同初速度从C点水平抛出，已知重力加速度为g，求P落在斜面上时的最小速度大小. 1．在高空中匀速飞行的轰炸机，每隔时间t投放一颗炸弹，若不计空气阻力，则投放的炸弹在空中的位置是选项中的(图中竖直的虚线将各图隔离)(　　) 2．(2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响).速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网.其原因是(　　) A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 3．(2020·河南新乡市高三上学期第一次模拟)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下落高度为9 m时，在空中相遇.若两球的抛出速度都变为原来的3倍，不计空气阻力，则自抛出到它们在空中相遇时，两球下落的高度为(　　) A.6 m B.3 m C.3 m D.1 m 4．(2019·陕西汉中市下学期模拟)如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向.图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹.不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A.a和b的初速度大小之比为∶1 B.a和b在空中运动的时间之比为2∶1 C.a和c在空中运动的时间之比为∶1 D.a和c的初速度大小之比为2∶1 5．如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰落在b点.若小球初速度变为v，其落点位于c，则(　　) A.v0<v<2v0 B.v＝2v0 C.2v0<v<3v0 D.v>3v0 6．(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　) A.初速度大小之比是∶∶ B.初速度大小之比是1∶∶ C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶ D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶ 7．(2018·全国卷Ⅲ·17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上.甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　) A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 8．如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点.已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2).求： (1)A点与O点的距离L； (2)运动员离开O点时的速度大小. 9．(2019·海南琼海市嘉积中学高三期中)如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ1是OA与竖直方向的夹角，θ2是BA与竖直方向的夹角，则(　　) A.＝2 B.＝2 C.tan θ1tan θ2＝2 D.＝2 10.(2020·贵州安顺市网上调研)如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道MNO顶端和斜面顶端O点以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，则(　　) A.b球一定先落在斜面上 B.a球一定先落在半圆轨道上 C.a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上 D.b球落到斜面最底端时，a球恰好落在半圆轨道上最低点 / 学科网（北京）股份有限公司 $$