专题7.6 离散型随机变量大题专项训练【六大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.6 离散型随机变量大题专项训练【六大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 求离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【解题思路】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率； （2）由已知有的可能取值为0，10，20，50，60并求出对应概率，即得分布列，进而由求值. 【解答过程】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 2．（23-24高二下·北京顺义·期中）从一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台．如果从中随机挑选台， (1)求台电脑中恰好有一台品牌的概率； (2)求这台电脑中品牌台数的分布列． 【解题思路】（1）先求随机挑选两台的取法共有种，再求2台电脑种恰有一台品牌电脑的取法有种即可； （2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【解答过程】（1）随机挑选两台的取法共有种， 2台电脑种恰有一台品牌电脑的取法有种 2台电脑种恰有一台品牌电脑的概率是. （2）2台电脑种品牌的台数为可能取值为． ， ， 所以的分布列为： 3．（24-25高二下·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【解题思路】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率； （2）由已知的取值为100，80，60，40，再求出对应的概率，即可得分布列. 【解答过程】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 4．（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【解题思路】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【解答过程】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 5．（2025高三·全国·专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解. （2）根据随机变量的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解分布列. 【解答过程】（1）学生甲恰好答对两题的概率. （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 且， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 题型二 求离散型随机变量的均值 6．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． (1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 【解题思路】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得，，再由条件概率公式计算； （2）确定的所有可能取值为，0，3，6，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算出期望． 【解答过程】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件， ， ， 所以． （2）由题意可知，的所有可能取值为，0，3，6， 则， ， ， ． 所以的分布列为 0 3 6 故． 7．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【解题思路】（1）根据乘法公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出； （3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论. 【解答过程】（1）若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以． （2）易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 所以的数学期望为：． （3）采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 8．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 【解题思路】（1）根据题意，得到随机变量的取值可能是0，20，40，60，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）选择方案二，记得分为变量，可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，结合，即可得到结论. 【解答过程】（1）解：由题意知，随机变量的取值可能是0，20，40，60， 可得， ， ， ， 则变量的分布列如下表所示： 0 20 40 60 0.008 0.096 0.384 0.512 所以期望为． （2）解：若该学生选择方案二，记得分为变量，则的取值可能为， 可得，， ， ， ， ， ， 则变量的分布列为： 0 10 20 30 40 50 70 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以期望为 ． 结合（1）知， 所以选择方案一，能使得该生的得分更高． 9．（24-25高二下·全国·课前预习）在某项目的选拔比赛中，，两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分（不存在平局），设队，队最后所得总分分别为，，且． 对阵队员 队队员胜 队队员负 (1)求队得分为1分的概率； (2)求的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 【解题思路】（1）队得分为1分，说明三场比赛中，队队员只赢了一次，根据表格即可求出概率； （2）由题意可得随机变量的可能取值为，根据表格逐一求出概率即可得到分布列,进而得到数学期望,根据数学期望判断实力强弱. 【解答过程】（1）设队得分为1分的事件为， 则． （2）随机变量的可能取值为, ， ， ． ． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 因此随机变量的数学期望 ． 因为，所以， 则随机变量的数学期望 ， 所以，故队实力较强． 10．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分. 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为，参加“机器人操作”比赛合格的概率为. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记为博文同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由. 【解题思路】（1）依题意可得的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出的分布列； （2）求出，若甲同学先进行“机器人操作”，记为甲同学的累计得分，求出，即可判断. 【解答过程】（1）由题意得，的可能取值为，，， 所以，，， 所以的分布列为： 0 4 10 （2）由（1）可得， 若甲同学先进行“机器人操作”，记为甲同学的累计得分，的可能取值为，，， 所以，，， 所以， 因为，所以甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛. 题型三 求离散型随机变量的方差、标准差 11．（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 【解题思路】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，求分布列，进而可得方差； （2）由（1）可知：，，根据期望和方差的性质列式求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，则有： ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． ． （2）由（1）可知：，， 若随机变量，且， 可得，解得. 12．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【解题思路】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【解答过程】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 13．（24-25高二下·全国·课前预习）两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： 机床 次品数 0 1 2 3 0.7 0.2 0.06 0.04 机床 次品数 0 1 2 3 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较两台机床的加工质量？ 【解题思路】先利用随机变量的均值比较，因，无法区分两机床的加工质量，故考虑比较方差，通过计算得出，即得机床加工的质量更稳定. 【解答过程】由， ． 因，即根据数学期望无法区分这两台机床的加工质量，故考虑运用方差. , , 因，故机床加工的质量更稳定. 由此可见，利用样本方差可以刻画样本数据的稳定性，从而可以较好地比较两台机床的加工质量. 14．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表: 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立. (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望; (2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小. 【解题思路】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，根据已知条件求出，的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求得的分布列与数学期望; （2）根据方差的性质判断即可. 【解答过程】（1）记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件 . 则 ， 则的可能取值为 . 所以， ， ， 所以 的分布列为: 0 1 2 所以 . （2）依题意可得， 所以, 即 . 15．（2024高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【解题思路】（1）借助概率之和为1可计算出的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布； （2）借助期望及方差的公式计算即可得. 【解答过程】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 题型四 二项分布的均值与方差 16．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【解题思路】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解； （2）由题意确定私家车遇到红灯的概率是，由二项分布即可求解. 【解答过程】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 17．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）某学校食堂中午和晚上都会提供A，B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为：在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择B类套餐的前提下，晚上选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为． (1)求同学甲晚上选择B类套餐的概率； (2)记某宿舍的4名同学在晚上选择B类套餐的人数为X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X的分布列及数学期望． 【解题思路】（1）应用互斥事件加法求同学甲晚上选择B类套餐的概率； （2）根据题设易知，应用二项分布概率公式求对应概率写出分布列，进而求期望. 【解答过程】（1）设事件为甲晚上选套餐，事件为甲中午选套餐，事件为甲中午选套餐， 则，，故. （2）由（1）知：，则宿舍的4名同学晚上选B套餐的人数为， 所以， 则，， ，， ， 所以X的分布列如下， 0 1 2 3 4 则. 18．（23-24高二下·江西景德镇·期中）2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日.某校为增强学生的国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛.比赛规则如下：①比赛分为五轮，每轮比赛设有五道题；②每轮答题前需要读一段安全知识；③如果答题时有n道题回答错误，那么需要被罚分钟的时间；④最终用时为答题时间、读安全知识的时间和被罚时间之和，最终用时最少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲每轮读安全知识的时间比乙少12秒，甲、乙两人每道题答对的概率分别为和，假设甲、乙两人的答题用时相同，且每道题是否答对互不影响. (1)若在前四轮答题中，甲、乙两人被罚的时间相同，求乙胜甲的概率 (2)若仅从最终用时考虑，试问甲、乙两人哪位的水平更高？并说明理由. 【解题思路】（1）由题意，乙胜甲的基本事件有：{甲对2题，乙全对} 、{甲对1题，乙最少对4题}、{甲对0题，乙最少对3题}，利用二项分布的概率公式求出对应事件的概率，加总即可得结果； （2）利用二项分布期望公式分别求出甲乙答错题数的期望值，进而比较甲乙最终用时的期望大小，即得结论. 【解答过程】（1）前四轮答题中甲、乙两人被罚的时间相同，而第5轮结束，甲读安全知识的时间比乙少1分钟， 所以，要使乙胜甲，则第5轮过程中乙被罚时间小于甲被罚时间加1分钟， 则基本事件有：{甲对2题，乙全对} 、{甲对1题，乙最少对4题}、{甲对0题，乙最少对3题}， 所以，， ， ， 所以乙胜甲的概率为. （2）由题意，甲答错题，则，乙答错题，则， 所以，，故甲、乙被罚期望时间分别为分钟、分钟， 显然，故乙最终用时的期望值小于甲，则乙水平更高. 19．（2025·新疆·模拟预测）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm） 序号（i） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长度（） 11.6 13.0 12.8 11.8 12.0 12.8 11.5 12.7 13.4 12.4 序号（i） 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 长度（） 12.9 12.8 13.2 13.5 11.2 12.6 11.8 12.8 13.2 12.0 (1)估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差； (2)若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级.该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X的数学期望与方差. 参考数据：. 【解题思路】（1）利用平均数，方差计算公式结合所给数据可得答案； （2）因收获的果实数量巨大，则可认为X近似服从二项分布，后利用二项分布计算期望，方差公式可得答案. 【解答过程】（1）由题意知， ， 所以， . 所以估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43. （2）由表中数据得，样本中果实长度不小于12cm的频率为. 由于收获的果实数量巨大，所以X近似服从二项分布，即， 所以，. 所以据此可以估计，X的数学期望与方差分别为3，. 20．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95  88  75  82  90    94  98  65  92  100    85  90  95  77  87    70  89  93  90  84    82   83  97  73  91 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. （i）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X，求X的分布列，数学期望及方差. 【解题思路】（1）由题目所给数据估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率即可； （2）以（1）中的频率作为概率，由独立事件的概率公式计算即可，分析X的可能取值，由二项分布的概率公式计算求出分布列，并计算数学期望和方差即可. 【解答过程】（1）由给出的25个数据可得，非常满意的个数为5， 不满意的个数为3，比较满意的个数为17， ∵                 ∴可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为0.68和0.2. （2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件A， 则.           （ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3， ，，        ，，                则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 由题可知， ∴. 题型五 超几何分布的均值与方差 21．（23-24高二下·广东东莞·期中）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 【解题思路】（1）由古典概型的概率公式计算可得； （2）由题意可知的取值为，，，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望与方差． 【解答过程】（1）依题意，抽取的人恰有个女生的概率； （2）由题意可知的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故， ． 22．（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 【解题思路】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率. （2）根据超几何分布概率的计算方法求对应值的概率，进而求的期望与方差. 【解答过程】（1）①记事件：该盒有次品，事件：抽出的两支均是正品， 则，，， ． ②． （2）由题意知，两盒电子笔中共有10支正品，2支次品， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， ，． 23．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 【解题思路】（1）根据频率分布直方图应用面积和得出概率即可； （2）应用超几何分布先写出概率，再列出分布列，最后求出数学期望结合性质求出方差即可. 【解答过程】（1）根据频率分布直方图可知，在区间的频率为， 所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间内的概率为． （2）因为社区居民年龄在内的人数为，在内的人数为6． 所以的可能取值为． 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以， 所以，所以． 24．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 【解题思路】（1）先根据已知列方程算出，进一步可得； （2）根据古典概型概率计算公式即可求解； （3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式. 【解答过程】（1）由题意得  解得. 由，得解得. （2）所求的概率为 . （3）由已知，这10名同学中是女生或者专业为数学的人数为7，Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 均值为， 方差为. 25．（2025高三·全国·专题练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 【解题思路】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大. 【解答过程】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则． （2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲闯关成功的概率为．因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大． 题型六 离散型随机变量与其他知识综合 26．（24-25高二下·全国·课后作业）某外卖公司为提高外卖骑手的服务意识和服务水平，对骑手的服务水平进行了考核，并从中随机抽取了100名骑手，根据这100名骑手的服务水平评分制成如下的频率分布直方图，已知所有骑手的服务水平评分均在区间内． (1)求及服务水平评分的平均数和中位数（同一组中的数据用该组数据的中间值为代表，结果保留1位小数）； (2)从服务水平评分在区间内的骑手中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记为4人中评分落在内的人数，求的分布列和期望． 【解题思路】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可求出，再利用平均数和中位数的定义求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求解． 【解答过程】（1）由频率分布直方图得，解得， 服务水平评分的平均数为 ， 由频率分布直方图，前三组的频率和为， 前两组的频率和为， 所以设中位数为，则，解得． （2）因为三组频率之比为， 所以从三组中分别抽取7人，4人，1人， 的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 ． 27．（23-24高二上·安徽宿州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【解题思路】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和回答对3道题的概率，即可求出结果. (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断. 【解答过程】（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题； 所求概率 （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为． ． 则的分布列为： 1 2 3 ， ； 设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为． ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 ． ． 由可得，甲公司竞标成功的可能性更大． 28．（24-25高三上·河北邯郸·期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分，在B处射进一球得2分，否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A处踢一球，以后都在B处踢；方案2：都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为，在B处射门的命中率为. (1)若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望； (2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由. 【解题思路】（1）求出X的所有可能值，再利用独立事件、互斥事件的概率求出各个取值的概率，列出分布列求出期望作答. （2）求出甲分别选方案1和方案2通过测试的概率，再比较大小作答. 【解答过程】（1）设甲队员在A处命中的事件为A，在B处命中的事件为，有， X的所有可能值为0，2，3，4， ， ， ，， 所以X的分布列为： X 0 2 3 4 P 数学期望. （2）设甲队员选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为， 由（1）知，， ，显然， 所以甲队员选择方案2通过测试的可能性更大. 29．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 【解题思路】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【解答过程】（1）根据题意可设恰有2个黑球的概率为， 所以可得恰有0个黑球的概率为， 根据古典概型可得 所以 （2）由题意得， 进一步整理可以得到下式： 又 故可以确定是以首项为，公比为的等比数列， 所以 （3）由题意可得 ①， ②， ①-②，得， 因为，所以.所以，的概率分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为定值1. 30．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【解题思路】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.6 离散型随机变量大题专项训练【六大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 求离散型随机变量的分布列 1．（24-25高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 2．（23-24高二下·北京顺义·期中）从一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台．如果从中随机挑选台， (1)求台电脑中恰好有一台品牌的概率； (2)求这台电脑中品牌台数的分布列． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 4．（23-24高二下·广东湛江·期中）A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 5．（2025高三·全国·专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 题型二 求离散型随机变量的均值 6．（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． (1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 7．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 8．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 9．（24-25高二下·全国·课前预习）在某项目的选拔比赛中，，两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分（不存在平局），设队，队最后所得总分分别为，，且． 对阵队员 队队员胜 队队员负 (1)求队得分为1分的概率； (2)求的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 10．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分. 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为，参加“机器人操作”比赛合格的概率为. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记为博文同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由. 题型三 求离散型随机变量的方差、标准差 11．（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 12．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 13．（24-25高二下·全国·课前预习）两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： 机床 次品数 0 1 2 3 0.7 0.2 0.06 0.04 机床 次品数 0 1 2 3 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较两台机床的加工质量？ 14．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表: 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立. (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望; (2)在(1)中表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小. 15．（2024高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 题型四 二项分布的均值与方差 16．（24-25高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 17．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）某学校食堂中午和晚上都会提供A，B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为：在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择B类套餐的前提下，晚上选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为． (1)求同学甲晚上选择B类套餐的概率； (2)记某宿舍的4名同学在晚上选择B类套餐的人数为X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X的分布列及数学期望． 18．（23-24高二下·江西景德镇·期中）2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日.某校为增强学生的国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛.比赛规则如下：①比赛分为五轮，每轮比赛设有五道题；②每轮答题前需要读一段安全知识；③如果答题时有n道题回答错误，那么需要被罚分钟的时间；④最终用时为答题时间、读安全知识的时间和被罚时间之和，最终用时最少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲每轮读安全知识的时间比乙少12秒，甲、乙两人每道题答对的概率分别为和，假设甲、乙两人的答题用时相同，且每道题是否答对互不影响. (1)若在前四轮答题中，甲、乙两人被罚的时间相同，求乙胜甲的概率 (2)若仅从最终用时考虑，试问甲、乙两人哪位的水平更高？并说明理由. 19．（2025·新疆·模拟预测）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm） 序号（i） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 长度（） 11.6 13.0 12.8 11.8 12.0 12.8 11.5 12.7 13.4 12.4 序号（i） 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 长度（） 12.9 12.8 13.2 13.5 11.2 12.6 11.8 12.8 13.2 12.0 (1)估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差； (2)若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级.该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X的数学期望与方差. 参考数据：. 20．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）2021年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从2021年下半年的会员中随机调查了25个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下： 95  88  75  82  90    94  98  65  92  100    85  90  95  77  87    70  89  93  90  84    82   83  97  73  91 根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于75分 75分到94分 不低于95分 满意度等级 不满意 比较满意 非常满意 (1)根据这25个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率； (2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立. （i）若从下半年的所有会员中随机选取2个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率； （ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取3个会员，记评分非常满意的会员的个数为X，求X的分布列，数学期望及方差. 题型五 超几何分布的均值与方差 21．（23-24高二下·广东东莞·期中）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用X表示抽取的志愿者中女生的人数， (1)求抽取的2人恰有1个女生的概率； (2)请写出随机变量的分布列、数学期望与方差. 22．（24-25高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒，每盒中最多有一支次品，每盒电子笔有次品的概率为． (1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测． ①求抽出的两支均是正品的概率； ②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率； (2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选3支电子笔进行检测，记为选出的3支电子笔中的次品数，求的期望和方差． 23．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 24．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有10名同学，成员构成如下表所示.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 性别 中文 数学 英语 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）. (1)求、的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量的分布列、均值及方差. 25．（2025高三·全国·专题练习）北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 题型六 离散型随机变量与其他知识综合 26．（24-25高二下·全国·课后作业）某外卖公司为提高外卖骑手的服务意识和服务水平，对骑手的服务水平进行了考核，并从中随机抽取了100名骑手，根据这100名骑手的服务水平评分制成如下的频率分布直方图，已知所有骑手的服务水平评分均在区间内． (1)求及服务水平评分的平均数和中位数（同一组中的数据用该组数据的中间值为代表，结果保留1位小数）； (2)从服务水平评分在区间内的骑手中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取4人，记为4人中评分落在内的人数，求的分布列和期望． 27．（23-24高二上·安徽宿州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 28．（24-25高三上·河北邯郸·期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分，在B处射进一球得2分，否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A处踢一球，以后都在B处踢；方案2：都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为，在B处射门的命中率为. (1)若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望； (2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由. 29．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为. (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 30．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$