精品解析：甘肃省张掖市某校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

九年级数学练习 温馨提示：沉着冷静，周密思考，认真严谨，仔细练习．满分150分，练习时间120分钟． 一、细心选一选（本小题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定 4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 5. 如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（　　） A. 22° B. 32° C. 136° D. 68° 6. 圆内接四边形中，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A. ，直线 B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线 9. 点和在反比例函数的图象上，若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、用心填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 关于x的一元二次方程的解为________． 12. 已知，则的值为_________． 13. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是______． 14. 如果，则的形状是________． 15. 将二次函数化成的形式为__________． 16. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______（只填序号）． 三、认真解一解．（17题6分，18题10分，19题7分，20、21、22题每题8分，23、24、25题每题9分，26题10分，27题12分，共96分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择： A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片． （1）求小亮从中随机抽到卡片的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率． 20. 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， （1）求函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； （3）求的面积． 24. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m） 25. 如图所示，是的高，是的直径，且三个顶点都在上，求证：． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 27. 已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； （3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 温馨提示：沉着冷静，周密思考，认真严谨，仔细练习．满分150分，练习时间120分钟． 一、细心选一选（本小题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解答． 【详解】解：A、是一元二次方程，本选项不符合题意； B、整理后，不含二次项，不是一元二次方程，本选项符合题意； C、是一元二次方程，本选项不符合题意； D、是一元二次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 3. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆外 B. 点P在圆上 C. 点P在圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．根据时，点在圆内可得答案． 【详解】解：∵的半径为，， ∴， ∴点在圆内， 故选：C． 4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】A 【解析】 【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】特殊四边形的性质 5. 如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（　　） A. 22° B. 32° C. 136° D. 68° 【答案】C 【解析】 【详解】∵O是△ABC的外接圆,∠A=68°， ∴∠BOC=2∠A=136°. 故选C. 6. 圆内接四边形中，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质，是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵圆内接四边形中， ∴． 故选：D． 7. 一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的周长比等于位似比，掌握位似图形的周长比等于位似比是解答本题的关键． 根据位似图形的周长比等于位似比解答即可． 【详解】解：位似图形的周长比等于位似比，且位似比为，图形的周长是， 图形的周长是， 故选：C． 8. 二次函数的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A. ，直线 B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，顶点坐标为，对称轴为直线．由二次函数的性质，可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选：A． 9. 点和在反比例函数的图象上，若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是看k，并能正确把握反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，当时，图象在第一三象限，在图象的每一支上y随x的增大而减小，可以判断出， 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴在图象的每一支上y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：D． 10. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象确定出a的符号，进而判断二次函数的图象开口方向，再结合两个图象的交点即可判断求解，掌握二次函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：A、由于一次函数和二次函数的图象都经过点，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向上，且图象都经过点，故此选项符合题意； D、由一次函数图象可得，则二次函数的图象开口向下，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、用心填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 关于x的一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 12. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 设，然后代入求解即可． 【详解】， 设 ， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键． 根据题意将根代入方程，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是1， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如果，则的形状是________． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定． 15. 将二次函数化成的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 所以． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：为常数)； (2)顶点式：； (3)交点式(与轴)：． 16. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是______（只填序号）． 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线的开口方向得到，由抛物线与轴的交点得到，然后根据对称轴得到，当时，，当时，，据此求解进行判断． 【详解】解：由图可知： 抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交点在负半轴上，则， 对称轴为直线，则，即， ∴，，故①②错误， 由图象可知当时，，即，故③正确， 由图象可知当时，，即，故④正确， ∴正确的有③④， 故答案为：③④． 三、认真解一解．（17题6分，18题10分，19题7分，20、21、22题每题8分，23、24、25题每题9分，26题10分，27题12分，共96分） 17. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．分别根据绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值以及二次根式进行逐一计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）整理后，利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：因式分解可得，， 即或， 解得：，； 【小问2详解】 解：整理得， ，，， ， ∴， ∴，． 19. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择： A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母，，，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片． （1）求小亮从中随机抽到卡片的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查了等可能时间的概率，带入公式即可求解； （2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再带入公式计算即可． 【小问1详解】 （小亮抽到卡片）． 【小问2详解】 列表如下： 小刚 小亮 或画树状图如下： 共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片的结果有1种， 所以，（两人都抽到卡片）． 【点睛】本题考查列举法求概率，正确用树状图或者列表法列举出所有情况，并找到符合条件的事件数量，正确带入公式计算是解题的关键． 20. 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE． 【答案】 证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠DAE，CD=BC， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°． 在Rt△CDF与Rt△CBE中， ∵CD=CB，CF=CE， ∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴DF=BE． 【解析】 【详解】试题分析：连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE． 试题解析：略 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元个，则，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， ， ， 解得：，（舍， 该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：该品牌头盔的实际售价应定为元个， 则， ， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元个． 22. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 【答案】运动时间t为秒时， 【解析】 【分析】本题考查动点相似三角形，根据题意先表示出，由，则，代入数据计算即可解答． 【详解】解：根据题意：，，，， 则， ∵点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动， ∴（秒）即， ∵， ∴，即， ∴， 解得：（符合题意）， ∴运动时间t为秒时，． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， （1）求函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或者 （3） 【解析】 【分析】（1）先把代入得到，据反比例函数的图象过点利用待定系数法求出k即可； （2）根据（1）中求得出B点坐标，结合以及函数图像进而求得结论； （3）根据待定系数法求出一次函数解析式，得到直线与y轴的交点坐标，将分割为，求出即可． 【小问1详解】 解：A、B点是一次函数与反比例函数的交点， ∴A，B点在一次函数上， ∴当时，；当时， ∴，， 将A点坐标代入反比例函数，∴，即， 即反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：一次函数值大于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∵、， ∴一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：或者． 【小问3详解】 解：设一次函数与x轴的交点为， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出是解题关键． 24. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m） 【答案】该建筑物的高度约为138m． 【解析】 【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长． 【详解】解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m． 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝ ∴，3x＝(x＋100) 解得x＝50＋50＝136.6 ∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为138m． 25. 如图所示，是的高，是的直径，且三个顶点都在上，求证：． 【答案】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．由圆周角定理求得，，再证明，根据相似三角形的性质即可证明结论成立． 【详解】略 26. 【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2），（3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数、三角形面积，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形； （1）由，，得，可证， （2）过点C作于点N． ∵，，，根据（1）的方法同理可得，得，由得，再有勾股定理求出，即可解答； （3）过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F． 根据（1）的方法同理可得，得，求出，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）略． （2）解：如图①，过点C作于点N． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． （3）解：如图②，过点A作于点E，过点D作， 交的延长线于点F． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故栽种竹子的面积（即的面积）为． 27. 已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； （3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的表达式为； （2）点的坐标为； （3）存在，以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式； （）根据轴对称最短路径问题得到点的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案； （）根据平行四边形的性质和平面直角坐标系中点坐标特点分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时分析即可解答； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想，掌握待定系数法求二次函数是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设函数表达式为， ∵图象过点点， ∴，解得，， ∴二次函数的表达式为，即； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）得：二次函数的表达式为， 当时，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵关于对称轴直线对称，点在对称轴上， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由： ∵点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴； 综上可知：以四点为顶点的四边形为平行四边形时点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $