精品解析：河北省平泉市2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024～2025学年第一学期期末学业水平质量监测八年级数学 考生注意： 1.本试卷共8页，三道大题，24道小题；总分120分，考试时间为120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置上． 3.将答案用黑色或蓝黑色字迹的水性笔（签字笔）直接写在试卷的答题卡上． 4.答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题，答案写在试卷或者草稿纸上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果为（ ） A. B. 6 C. D. 8 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ） A. 中线 B. 边的垂直平分线 C. 高线 D. 角平分线 5. 空气的密度是，将0.001293用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被4整除 B. 被5整除 C. 被6整除 D. 被7整除 8. 分式方程的解为，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成 10. 如图，图1是我国古代建筑中一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图所示，直线，，，则的度数为______°． 14. 如图，中，D上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 15. 如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是_____． 16. 已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）分解因式：； （2）化简求值：，其中，． 18. 一节数学巩固提升课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 化简分式 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （1）这道题的解答过程是从第______步开始出现错误的； （2）请写出正确的解答过程． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）请画出关于y轴对称的； （2）直接写出：的面积为______；______． 20. 如图，在中，点D在边上． （1）若，求度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 21. 如图，在中，，是平分线，于点M，N在边上且． （1）求证：． （2）试判断与之间存在的数量关系，并说明理由． 22. 如图，为等边三角形，分别延长，，到点A，B，C，使，连接、、、． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，直接写出的值． 23. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例分解因式：； 又例如：求代数式的最小值． ， 又当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）多项式有最小值为1，求出k值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值． 24. （1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． （2）【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （4）【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期期末学业水平质量监测八年级数学 考生注意： 1.本试卷共8页，三道大题，24道小题；总分120分，考试时间为120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置上． 3.将答案用黑色或蓝黑色字迹的水性笔（签字笔）直接写在试卷的答题卡上． 4.答题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题，答案写在试卷或者草稿纸上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果为（ ） A B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据负整数指数幂运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，故是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．中等号右边不是积的形式，故A不符合题意； B．是乘法运算，故B不符合题意； C．是乘法运算，故C不符合题意； D．符合因式分解的定义，故D符合题意； 故选D． 4. 如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ） A. 中线 B. 边的垂直平分线 C. 高线 D. 角平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意可得，即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，， 则是的角平分线， 故选：D． 5. 空气的密度是，将0.001293用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将0.001293用科学记数法表示为． 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 根据平方差公式，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确． 故选：C. 7. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被4整除 B. 被5整除 C. 被6整除 D. 被7整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 8. 分式方程的解为，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知分式方程的解，求字母值的问题，解题的关键是理解方程解得概念．将代入分式方程求解即可． 【详解】依题意，将代入分式方程得： ， 解得： 故选：C 9. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修， ∵方程， 其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成． 故选：B． 10. 如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解． 【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得． 故选：B． 11. 从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，根据图形求相应的面积，进而得解． 【详解】解：由题意可知：图1阴影部分的面积为， 结合图1可知，等腰梯形的底角为，高为，可得图2平行四边形的高为，面积为， 所以． 故选：D． 12. 如图，学习尺规作角平分线后，学生作业中出现四种正确作法，没有用到判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作角平分线，全等三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识． 根据尺规作图的方法结合三角形全等的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C选项可用证明三角形全等，进而得到角平分线， D选项是利用平行线的性质结合等腰三角形的性质推出角平分线． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图所示，直线，，，则的度数为______°． 【答案】40 【解析】 【分析】考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图，∵直线， ∴， 由三角形的外角性质得，． 故答案为． 14. 如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件______，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 15. 如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有、、、、共5个， 故答案为：5． 16. 已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）分解因式：； （2）化简求值：，其中，． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用乘法公式化简求值，熟练掌握计算公式，灵活准确计算是解题关键． （1）利用平方差公式因式分解即可； （2）首先计算平方差公式和完全平方公式，然后代数求解即可． 【详解】（1） ； （2） 把，分别代入得， 原式． 18. 一节数学巩固提升课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 化简分式 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （1）这道题的解答过程是从第______步开始出现错误的； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）第一步 （2），正确解答过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算，分式的性质，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的性质判断即可； （2）根据异分母分式的加法运算法则求解即可． 【小问1详解】 这道题的解答过程是从第一步开始出现错误的， 故答案为：第一步； 【小问2详解】 原式 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）请画出关于y轴对称的； （2）直接写出：的面积为______；______． 【答案】（1）见解析 （2）；90 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、利用网格求三角形面积、勾股定理及其逆定理等知识，熟记几何图形性质是解题的关键． （1）根据图形的对称性，分别作A、B、C三点关于y轴对称的点、、，连接三点即得所求图形； （2）用所在长方形面积减去周围小三角形面积即可；根据勾股定理的逆定理即可求出． 【小问1详解】 解：如图所示，即所求； 【小问2详解】 解：的面积为； ∵，，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，点D在边上． （1）若，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 21. 如图，在中，，是的平分线，于点M，N在边上且． （1）求证：． （2）试判断与之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质： （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质求解． 【小问1详解】 证明：， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ． 由（1）得， ． 22. 如图，为等边三角形，分别延长，，到点A，B，C，使，连接、、、． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先由等边三角形得到，，然后证明出，进而得到，即可证明出； （2）根据等边三角形的性质得到，，然后由得到，然后根据等边对等角和三角形外角的性质求解即可； （3）根据三角形中线的性质求解即可． 小问1详解】 ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵为等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴ ∵， ∴ 同理可得， ∴ 同（1）可证 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例分解因式：； 又例如：求代数式的最小值． ， 又当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）多项式有最小值为1，求出k值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值． 【答案】（1） （2） （3）边长最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，求出，，然后根据三角形三边关系得到，进而求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴， ∴， ∵的三边长a、b、c都是正整数， ∴ ∴ ∴ ∵c正整数， ∴边长C的最小值为5． 【点睛】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，三角形三边关系，通过例题和材料，明确配方法的步骤是解题的关键． 24. （1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． （2）【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （4）【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 （4）的面积是 【解析】 【分析】（1）证（），得，即可； （2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论； （4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2，延长交于点F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图3，延长、交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由问题情境可知，， ∴； 【小问4详解】 解：如图4，延长交于E， 由问题情境可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的面积是． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$