微专题5-15 导数双变量问题9种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-15 导数双变量问题9种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 双变量技巧——分离双参数构造函数（极值点偏移） 题型2 双变量技巧——比值换元 题型3 双变量技巧——差值换元 题型4 双变量技巧——消元 题型5 双变量技巧——变更主元法 题型6 双变量应用——单调性问题 题型7 双变量应用——零点问题 题型8 双变量应用——恒（能）成立问题 题型9 双变量应用——证明不等式 知识点1 导数的双变量问题 导数中有一类问题涉及到两个变量，例如 m 和 n、a和b 、和。显然涉及两个变量的问题我们是不会处理的，如何把两个变量转化为一个变量就成了我们问题解决的关键。 方法一：换元法：也是最核心、最常见的方法。就是将式子齐次化，化成形如或的函数，进行了齐次化后可以令或者作为单元，这样就达到了减元的目的。 方法二：一般可以通过联立的等式，通过对两式进行相加（相减）等操作，对所求式 等进行化简。 方法三：消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出。 方法四：构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了 的单调性问题。 还有其他的一些方法技巧性较强，我们在后面的题目中进行详细剖析。 如：形如 的函数，可结合图像构造函数的切线方程，求斜率； 知识点2 参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立问题 利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 题型1 双变量技巧——分离双参数构造函数（极值点偏移） 【例1】【变式1】已知函数． (1)证明：； (2)若，且，证明：． 【变式2】已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. (2)证明见解析 【变式3】已知函数有两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【变式4】已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． (2)证明见解析 题型2 双变量技巧——比值换元 【例2】已知函数. (1)求出的极值点； (2)证明：对任意两个正实数，且，若，则. 【变式1】已知函数，在定义域内有两个不同的极值点 (1)求的取值范围； (2)求证： 【变式2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数在其定义域内有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，其中，求实数的取值范围. 【变式3】已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)令，若存在，且时，，证明：． (3)证明见解析 【变式4】已知函数的导函数为. (1)若，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. (2)证明见解析. 题型3 双变量技巧——差值换元 【例3】已知函数，其中为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，证明：. 【变式1】已知函数，．其中为自然对数的底数． （1）若，讨论的单调性； （2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：． 【变式2】已知为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同零点，求证：. 题型4 双变量技巧——消元 【例4】【变式1】已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 【变式2】已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，若函数在定义域上有两个极值点，，而且. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 【变式4】设向量. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若存在两个极值点，证明：. 题型5 双变量技巧——变更主元法 【例5】已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】设二次函数满足． （1）已知对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型6 双变量应用——单调性问题 【例6】已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 题型7 双变量应用——零点问题 【例7】已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知函数，． (1)若存在零点，求a的取值范围； (2)若，为的零点，且，证明：． 题型8 双变量应用——恒（能）成立问题 【例8】已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数m的取值范围． 【变式2】已知（且），． (1)求在上的最小值； (2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 题型9 双变量应用——证明不等式 【例9】已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 【变式1】设函数 (1)分析的单调性和极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围； (3)若，且满足时，证明：. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-15 导数双变量问题9种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 双变量技巧——分离双参数构造函数（极值点偏移） 题型2 双变量技巧——比值换元 题型3 双变量技巧——差值换元 题型4 双变量技巧——消元 题型5 双变量技巧——变更主元法 题型6 双变量应用——单调性问题 题型7 双变量应用——零点问题 题型8 双变量应用——恒（能）成立问题 题型9 双变量应用——证明不等式 知识点1 导数的双变量问题 导数中有一类问题涉及到两个变量，例如 m 和 n、a和b 、和。显然涉及两个变量的问题我们是不会处理的，如何把两个变量转化为一个变量就成了我们问题解决的关键。 方法一：换元法：也是最核心、最常见的方法。就是将式子齐次化，化成形如或的函数，进行了齐次化后可以令或者作为单元，这样就达到了减元的目的。 方法二：一般可以通过联立的等式，通过对两式进行相加（相减）等操作，对所求式 等进行化简。 方法三：消元法：（利用根与系数的关系消元）如果两个变量是一个一元二次方程的根，则可以通过根与系数的关系来消元.通过韦达定理可求或，可以考虑用表示出，或者用表示出。 方法四：构造函数法：对于等价双变量不等式问题，我们先令如 ，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为，问题也许就转化成了 的单调性问题。 还有其他的一些方法技巧性较强，我们在后面的题目中进行详细剖析。 如：形如 的函数，可结合图像构造函数的切线方程，求斜率； 知识点2 参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立问题 利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 题型1 双变量技巧——分离双参数构造函数（极值点偏移） 【例1】 【变式1】已知函数． (1)证明：； (2)若，且，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数变形整理，构造函数，对其进行二次求导，从而可求出的单调性，进而可求出函数的最大值，即可证明结论成立. （2）对函数进行二次求导，从而可判断函数单调性，要证，只需证，结合在上单调递减知只需证，即证，进而构造函数判断其单调性即可证明. 【详解】（1）由题意，，设 ，则 ，当时，，单调递增；当时，， 单调递减，从而，故恒成立， ，故． （2）由题意，，，， ，， 从而在上单调递增，在上单调递减，故， 在上单调递减，且， 若，则，不合题意， 若，则，不合题意，∴， 要证，只需证，结合在上单调递减知只需证， 又，，故只需证，即证①， 令，， 则， ，在上单调递增， 又，，从而在上单调递减，，， ，，即不等式①成立，故． 【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数证明不等式问题，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，考查了转化思想，属于难题. 【变式2】已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的极小值点为，代入函数求解； （2）首先求出的范围，再通过构造对称函数证明，根据的范围即可证明。 【详解】（1），当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值， 由，解得或（舍去）. 故的值为。 （2）由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 验证可知，， 由得，所以. 当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，则. 令， 则， 所以在上单调递增，则当时，， 所以 又，函数在上单调递减， 所以，则， 因为，故. 【点睛】方法点睛：本题属于极值点偏移问题：解决此类问题的方法主要有：利用对数平均不等式，构造对称函数，换元法构造函数等。 关键点点睛：本题采用的构造对称函数，解题的关键有两点： 1：参数的取值范围； 2：构造， 【变式3】已知函数有两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先分离参数将函数的零点个数转化为方程根的个数，构造函数，求其单调性、最值即可得的取值范围； （2）法一、根据第（1）问得到的取值范围，令，通过比值换元将问题化为证，构造函数求其导函数、单调性最值即可；法二、根据第（1）问得到的取值范围，先判定结论成立，再利用函数的单调性将所证不等式转化为函数不等式来判定时是否成立，通过构造，利用导数研究其单调性及最值即可. 【详解】（1）由得， 则由有两个零点知方程有两个不同的实数根． 令，则， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 而，当时，，当时，， 故，即，实数的取值范围为． （2）法一、 由（1）知，令，则． 由得， 要证，只需证， 只需证，即证， 即证． 令， 则， 令，，则， 所以单调递增，即， 故在上恒成立， 即在上单调递减，故，得证． 法二、 由（1）知， 当时，显然． 当时，则， 要证，只需证， 又且在上单调递增， 故只需证，即证， 即证，即证， 令， 则， 令， 则，在上单调递减， 所以，故，所以在上单调递减，则， 又，所以当时，，即． 【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的等式，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再利用导数判断函数的单调性，从而求其最值． 【变式4】已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则最小值小于，得到的范围； （2）由（1）的结论，构建函数，，由得到函数单调递增，得到，从而得到，又函数在上单调递增，则得到. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值． 因为当时，，当时，， 且函数恰有两个零点， 所以,所以的取值范围为． （2）由（1）知，为的极小值点， 所以可设，则， 构建函数，， 所以当时， ， 函数单调递增，所以当时，， 所以， 因为，所以， 所以， 又函数在上单调递增，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：由的极小值点，得到零点的位置，通过构建函数，由函数单调性可得结果. 题型2 双变量技巧——比值换元 【例2】已知函数. (1)求出的极值点； (2)证明：对任意两个正实数，且，若，则. 【答案】(1)是的极小值点，无极大值点 (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，判断导函数的正负号，得函数的单调性，得函数的极值点； （2）换元令，根据用分别表示，，将证明转化为证明，构造，求导数，证明其大于零即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，无极大值点. （2）证明：由（1），在上单调递减，在上单调递增， 因为，不妨设， 令，则，， 由，得，即，即， 即，解得，，所以， 故要证，即证，即证，即证， 因为，所以，所以即证， 令，， 因为，所以在上是增函数， 所以，所以在上是增函数， 所以，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：根据得等式，设，用分别表示，，用分析法将证明转化为证明. 【变式1】已知函数，在定义域内有两个不同的极值点 (1)求的取值范围； (2)求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由在定义域上有两个不同的根，对求导判断单调性和极值即可求得的范围. （2）构造函数，只需证明即可得证. （1） ，设， 由题可知：在定义域上有两个不同的根 , 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令，， 在上，，在上，， 所以在单调递增，在单调递减. 所以使即可， 解得：. （2） 由题意及(1)可知，即证 依题意得：,， 即证 即证：, 即证：， 设， 则 所以在上单调递增， 即 令，则有成立. 故有 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设函数在其定义域内有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，其中，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数，分类讨论单调性； （2）由极值定义得是的两个根，从而有，利用这个结论把不等式变形：首先代入消去对数式，然后消去参数，最后再令，，然后引入函数，求出导函数，分类讨论确定的单调性，得在上是否恒成立，从而得出的范围． 【详解】（1）函数，定义域为， 则， 当时，，则在上单调递增， 当时，令，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 综上所述，当时，则在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）根据题意，，定义域为， 得到， 由题意可知分别是方程的两个根，， 即的两个根，即，， 原式可化为， 等价于， 因为，，所以原式等价于， 又由于，， 作差得，，即， 所以原式等价于， 因为，所以原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立， 令， 又因为，， 令，则， 当，即时，在上成立， 所以函数在上单调递增，在在上恒成立，满足题意； 当，即时，若，；若，； 所以当时，函数单调递减，此时，不符合题意； 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：在证明不等式时，解题关键首先是消元，利用极值点的性质，化简不等式，求出的关系，再分类参数，然后换元，这样问题中变量的范围确定，其次引入新函数，用导数研究新函数的性质，由不等式恒成立得参数范围． 【变式3】已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)令，若存在，且时，，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）参变分离可得在上恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解； （3）根据题意可得，通过构造函数，求函数单调性及参变分离可得，令，通过导数得的单调性，即可证明，从而可证明. 【详解】（1）定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减， 综上可得当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，不等式恒成立在上恒成立， 设，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，； （3），， ， 令，则， 在上单调递增，不妨设， ， ， 要证，即，只需证， 令，只需证，只需证， 设，则， ∴在上单调递增，∴， 所以，即成立， ∴，即. 【点睛】思路点睛:利用导数求含参函数的单调性时，一般先求函数的定义域，求出导数后，令导数为零，解方程，讨论方程的根的个数以及根与定义域的位置关系，确定导数的符号，从而求出函数的单调性. 【变式4】已知函数的导函数为. (1)若，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由函数导函数与单调性的关系等价转化为恒成立问题，从而建立关于参数a的不等式，再利用导数求出最值即可得出结果； （2）的两个极值点，即为的零点，由此建立与参数a的关系，再将所证不等式等价转化为证明，然后构造新函数并利用导数求出最值即可得证. 【详解】（1）易知的定义域为， ， 由，得在上恒成立. 设， 则， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递 减，所以， 所以， 故的取值范围为. （2）证明：由题意可知有两个零点， 即， 不妨设，则， 要证，即证， 即证， 即证， 即证， 令，则，只需证. 设，则， 所以在上单调递增， 则，则， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）分离参数得，构造函数，利用导数求最值；（2）导数的零点转化为，将所证不等式转化为，令，则，进一步转化为，构造函数，在利用导数求最值即可. 题型3 双变量技巧——差值换元 【例3】已知函数，其中为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，证明：. 【答案】(1)当时，函数为上的单调递增函数；当时，在上是单调减函数，在上是单调增函数； (2)答案见解析. 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间； （2）由（1）可知，不妨设，代入，作差，要证，即证，即证，令，则式化为 ，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得．则得证． 【详解】（1）解：函数，求导，． ①当时，，则函数为上的单调递增函数． ②当时，令，则． 若，则，在上是单调减函数； 若，则，在上是单调增函数． （2）证明：由（1）可知，，不妨设， 由两式相减得． 要证，即证， 也就是证， 即，即证， 又，只要证． 令，则式化为， 设，， 所以在上单调递增，所以． ． 【变式1】已知函数，．其中为自然对数的底数． （1）若，讨论的单调性； （2）已知，函数恰有两个不同的极值点，，证明：． 【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先化简计算，并求导，再讨论和时导数的正负，即得的单调性； （2）不妨设，依题意得，先分析需证，再构造函数，利用导数研究其单调性和函数取值情况，证得，即证结论. 【详解】解：（1）， ， （i）当时，，函数在上递减； （ii）当时，令，解得；令，解得， 函数在递减，在递增； 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增； （2）证明：，依题意，不妨设，则， 两式相减得，， 因为，要证，即证，即证， 两边同除以，即证. 令，即证， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上递减， ，在上递减， ，即， 故． 【点睛】思路点睛： 证明不等恒成立（或能成立）时常对不等式变形，构造函数，由导数的方法求出函数的单调性和最值，即证得结果. 【变式2】已知为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同零点，求证：. 【答案】(1)详见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得函数的导数，然后分，讨论即得； （2）由题可得，可得只需证，然后通过换元可得，再构造函数，利用导数研究函数的性质即得. 【详解】（1）由题可得， 当时，，当时，； 所以当时，在上是增函数，在上是减函数； 当时，在上是减函数，在上是增函数； （2）因为有两个不同零点，，则，， 因此，即， 要证，只要证明，即证， 不妨设，记，则，， 因此只要证明，即， 记，则， 令，则， 所以函数在上递增， 则，即， ∴在上单调递增， ∴， 即成立， ∴. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 题型4 双变量技巧——消元 【例4】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围判断函数的单调性即可. （2）根据函数的极值的个数求出的范围，求出的解析式，根据函数的单调性证明即可. 【详解】（1） 由，得． 令，则， ①当，即时，恒成立，则， ∴在上是减函数． ②当，即时，，则， ∴在上是减函数． ③当，即或． （i）当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为， 则恒成立，从而，∴在上是减函数． （ii）当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为， 则函数有两个零点：（显然）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，f（x）单调递减． 综上，当时，的减区间是； 当时， 的增区间是，减区间是． （2） 由（1）知，当时，有两个极值点， 则是方程的两个根， 从而．由韦达定理，得． 又，∴． ． 令， 则． 当时，;当时，， 则在上是增函数，在上是减函数， 从而，于是． 【点睛】利用导数求解函数（含参）的单调区间，关键要对参数进行分类讨论，本题中分子为二次函数，所以构造二次函数，利用判别式可分为来讨论的根和正负情况，从而确定的正负. 【变式1】已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）①首先求函数的导数，转化为关于一元二次方程有2个不同的正实根，即可求解； ②首先求，再利用韦达定理，转化为关于的函数，再通过不等式构造函数，利用导数判断导函数单调性，再结合零点存在性定理，求函数的最大值，证明函数的最大值小于0，即可证明不等式. 【详解】（1）当时 ，（） ， 令， 如图表示的关系如下， 1 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 在上单调递减，在上单调递增. （2）① ， 因为有两个极值点 即：在有两个不相等的实根， 所以， 所以， ②由①得 要证 即证：， 只需证 令 令 则恒成立， 所以在上单调递减 又因为 由零点存在性定理得：，使得，即， 所以，单调递增. 时，，单调递减. 则 因为在上单调递增 所以 所以，即得证. 【点睛】思路点睛：本题第二问，转化为“隐零点”问题，求函数的最大值. 【变式2】已知函数在定义域上有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等价转化的思想，可得在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，可得，最后利用导数判断单调性，可得结果. 【详解】 令， 依题意得方程有两个不等正根，，     则， ， 令， 在上单调递减， ， 故的取值范围是， 故选：B 【点睛】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题. 【变式3】已知函数，若函数在定义域上有两个极值点，，而且. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 【答案】(1) (2)见证明 【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）因为函数在定义域上有两个极值点，，且， 所以在上有两个根，，且， 即在上有两个不相等的根，. 所以， 解得，即的取值范围为. （2）证明：由题可知，是方程的两个不等的实根， 所以，其中. 故 ， 令，其中.故， 所以在上单调递减，则，即. 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 【变式4】设向量. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若存在两个极值点，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量数量积得到，定义域为，求导后，根据导函数特征，分，，，四种情况，得到函数的单调性； （2）定义域为，求导，根据导函数特征得到与不合题意，当时，满足要求，且由知，整理得到等价于，构造，求导后得到恒成立，得到函数的单调性，求出当时，，证毕. 【详解】（1）根据已知得，定义域为， 则， 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，由，得或，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则恒成立，所以在上单调递增； 若，由，得或；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上：时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由已知得，定义域为， 从而. 当，即时，恒成立，函数不可能有两个极值点； 当时，有两个根，因为，与都是正数相矛盾，不合题意； 当时，有两个根，因为，且， 所以两根均为正数，故有两个极值点， 因为，由知， 因为， 所以等价于， 即， 令， 所以在上单调递减，又，所以当时，， 故成立. 【点睛】极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 题型5 双变量技巧——变更主元法 【例5】已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的值域，把问题化为时不等式恒成立，转化为关于的一次函数在上恒小于0，从而求出的取值范围． 【详解】函数，， 则的值域为； 又对所有实数，不等式恒成立， 等价于：在内恒成立， 当时，不等式为恒成立； 当时，令，其中； 问题转化为在上恒小于0， 则，化简为， 解得：， 所以的取值范围是,故选A． 【点睛】本题考查函数的值域以及不等式恒成立问题，也考查了等价转化思想与构造函数方法，是中档题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将二次不等式问题转化为一次不等式问题是解题的关键. 【变式1】设二次函数满足． （1）已知对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】先由，得到；推出 （1）对于任意的实数，不等式恒成立，可转化为恒成立，用判别式小于等于，即可得出结果； （2）令，则可看作关于的一次函数，根据题意，结合一次函数单调性，列出不等式组，即可求出结果. 【详解】由题意，所以， （1）因为对于任意的实数，不等式恒成立， 所以恒成立， 因此只需，解得； ∴实数的取值范围是； （2）令，则可看作关于的一次函数， 又对于任意的，不等式恒成立， 所以对于任意的恒成立， ∴，解得：． ∴实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间的关系即可，属于常考题型. 题型6 双变量应用——单调性问题 【例6】已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】构造，由已知条件得到在R上单调递增，根据时，，解得，由分段处左端点值小于等于右端点值得到或，从而，再验证出此时，在上单调递增，从而得到答案. 【解析】对任意，都有， 令，则在R上单调递增， 其中， 当时，，解得， 且，解得或， 故， 当时，， 因为，所以， 故在上单调递增，满足要求， 综上，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式1】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【分析】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【解析】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 题型7 双变量应用——零点问题 【例7】已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据零点可将问题转化为，构造，求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数，结合函数的单调性即可求解B，根据可得，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D. 【解析】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误； 由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误； 由，两式相加整理可得， 所以，，可得，故C错误； 由图可知，则，又因为，所以，，故D正确. 故选：D. 【变式1】已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】 函数有两个不同零点，转化为有两个交点，构造函数，判断单调性，利用数形结合，判断①，再根据①判断②，再根据零点,构造函数，判断选项③,根据零点判断④. 【解析】由函数有两个不同零点， 转化为有两个交点， 构造函数， ，则，故，所以在单调递增，而，可得图象如图所示 故在单调递减，在单调递增， 所以， 对于①，， 所以， 所以，故①正确； 对于②，由①可知，故， 因此 ，故②正确； 对于③，因为，所以，故， 所以， 则， 构造函数， 则，而， 所以， 所以， 因为，所以， 令，构造，显然单调递增，且， 所以 所以，故③正确； 对于④，由①可知，， 所以， 令，，显然单调递增，且， 所以，故④正确. 故选：D. 【变式2】已知函数，． (1)若存在零点，求a的取值范围； (2)若，为的零点，且，证明：． 【分析】（1）利用导数求出函数的最小值，解不等式即可求解； （2）由零点的定义可得，只需证，令，利用导数证明不等式即可. 【解析】（1）的定义域为， 令，即，等价于， 设，则（）， 令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则的最小值为，， 要使得存在零点，则， 即，得． （2）由为的零点，得， 即，即 两式相减得，即. 要证当时，， 只需证，只需证，， ，． 令，，只需证， ，则在上单调递增， ∴，即可得证. 题型8 双变量应用——恒（能）成立问题 【例8】已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围. 【解析】对于，， 所以在区间上单调递增，， 所以当时，的值域为. 对于，， 若，则，不符合题意. 若，则，所以在上单调递增， 所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确. 当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，而当时 所以当时，的值域为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式1】已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的单调区间； (2)若，且时，，求实数m的取值范围． 【分析】（1）利用导数的几何意义求出，直接利用导数求单调区间； （2）根据式子结构构造，由在为增函数，得到在恒成立，令，利用导数求出的最小值，即可求解. 【解析】（1）的导数为， 可得的图象在处的切线斜率为， 由切线与直线平行，可得，即， ，， 由，可得，由，可得，则在递增，在递减． （2）因为，若，由， 即有恒成立，设， 所以在为增函数，即有对恒成立， 可得在恒成立，由的导数为， 当，可得，在递减，在递增， 即有在处取得极小值，且为最小值可得，解得 则实数m的取值范围是． 【变式2】已知（且），． (1)求在上的最小值； (2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）对求导，因为为偶函数，求出在的单调性，即可求出上的最小值； （2）由（1）知，在上的最小值为 ，所以，使得成立，即成立，即，设，，即只需即可． 【解析】（1）， 显然为偶函数，当时， 时，，，∴在单调递增； 时，，，∴在单调递减； ，，，∴在上的最小值为． 由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为． （2）先证，设，则， 令，令， ∴在上单调递增，在上单调递减． 故①恒成立． 由题意可得，使得成立， 即成立． 由①可知， 参变分离得， 设，， 即只需即可． 由①知得， ∴ 令，令， ∴在上单调递减，在上单调递增． ∴， ∴， 又已知 故a的取值范围为． 题型9 双变量应用——证明不等式 【例9】已知函数为其导函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若存在两个不同的正数，使得，证明：． 【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为最大值小于等于1，即可求解； （2）不等式转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可证明. 【解析】（1），当时，单调递增； 当时，单调递减．所以， 解得，即的取值范围为． （2）证明：不妨设，则，要证， 即证，则证，则证， 所以只需证，即． 令，则，． 当时，，则， 所以在上单调递减，则．所以． 由（1）知在上单调递增，所以，从而成立． 【变式1】设函数 (1)分析的单调性和极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围； (3)若，且满足时，证明：. 【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值； （2）构造函数，求导后注意到，进而得到，，再验证充分性； （3）构造函数利用导函数研究其单调性，从而证明不等式. 【解析】（1）函数，则， 令，解得：，且当时，，时，， 因此：在单调递减，在单调递增， 故的极小值为，无极大值. （2）对任意的，都有成立， 即对任意的，恒成立， 令，则， 注意到：，若要，必须要求，即，亦即， 另一方面：当时，因为单调递增， 则当时，恒成立， 所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：； （3）记，则， 记，，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 所以函数在单调递减， 则为，注意到，不妨， 要证，只需证，即证：， 即证：，即证：， 记， 则，记， 则，所以在单调递增，所以， 即，所以在单调递减，所以， 所以，所以，得证. $$