微专题5-13 导数中常见的放缩问题3种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-13 导数中常见的放缩问题3种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 与有关的放缩 题型2 与有关的放缩 题型3 导数中的数列不等式放缩问题 函数放缩常用结论： ⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷. 常用变式： 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数），， （放缩成双撇函数），， ，， （放缩成二次函数），， （放缩成类反比例函数），，， ，， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数），，， （放缩成类反比例函数），， （放缩成二次函数），， 第三组：指对放缩 第四组：三角函数放缩 ，，. 第五组：以直线为切线的函数 ，，，，. 注：放缩程度综合 ， 题型1 与有关的放缩 【例1】当时，证明：恒成立. 【变式1】若存在，满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． （3）证明：当时，． 【变式3】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． （3）证明：． 【变式4】已知实数，，满足为自然对数的底数），则的最小值是 ． 题型2 与有关的放缩 【例2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型3 导数中的数列不等式放缩问题 【例3】已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 【变式1】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【变式2】已知函数（）． (1)当时，试确定函数在其定义域内的单调性； (2)求函数在上的最小值； (3)试证明：（；）． 【变式3】已知函数． (1)证明：； (2)证明：，． 【变式4】设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：当且时，． $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-13 导数中常见的放缩问题3种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 与有关的放缩 题型2 与有关的放缩 题型3 导数中的数列不等式放缩问题 函数放缩常用结论： ⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷. 常用变式： 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数），， （放缩成双撇函数），， ，， （放缩成二次函数），， （放缩成类反比例函数），，， ，， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数），，， （放缩成类反比例函数），， （放缩成二次函数），， 第三组：指对放缩 第四组：三角函数放缩 ，，. 第五组：以直线为切线的函数 ，，，，. 注：放缩程度综合 ， 题型1 与有关的放缩 【例1】当时，证明：恒成立. 【答案】证明见解析 【解析】由题意可知，函数的定义域为， 先证明，令， 则， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即， 所以，， 设，其中，则且不恒为零， 所以，在上为增函数，故当时，， 所以，， 因为，故，故原不等式得证. 【变式1】若存在，满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】解：设，，则是单调增函数，且的值域为，； 设，则恒过定点， 又， ，且（1）， 存在，不等式时， 即，不等式不成立， 由此得，解得， 所以的取值范围是． 故选：． 【变式2】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． （3）证明：当时，． 【解析】解：（1）的定义域为，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，令，得， 令，得，则在上单调递减，在上单调递增； 当，时，，则在上单调递减； 当，时，令，得， 令，得，则在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：设函数，则． ，，，， 则，从而在，上单调递减， ，即． （3）证明：方法一：当时，． 由（1）知，（1），，即． 当时，，，则， 即，又， ， 即． 方法二：当时，要证， 只需证 即证， 令，易证， 故， 所以当时，． 【变式3】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． （3）证明：． 【解析】解：（1）函数的定义域，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，由可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减， 当，时，，函数在单调递减， 当，时，由可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减， （2）当时，， 由（1）知，（1）， 所以， （3）因为，所以， 由（2）可得， 即， 又． ， 即． 【变式4】已知实数，，满足为自然对数的底数），则的最小值是 ． 【解析】解：由题意设新函数， 设，则， 可知，即； 由不等式性质可知，当且仅当时取等号； 为自然对数的底数）， 即有：， 即：； ；； 当且仅当时，取等号， 则的最小值是： 故答案为： 题型2 与有关的放缩 【例2】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以， 故选：A 【变式1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义判断大小，构造函数，由导数确定单调性后比较与的大小，同理构造函数比较与的大小后可得结论． 【详解】因为，所以，所以，，可得. 构造函数，则，所以在R上单调递减，当时，， 所以，可知，即， 又，，又，所以， 设函数，则， 当时，，在上单调递减， 则，可知，所以. 综上，. 故选：D． 【点睛】方法点睛：比较幂、对数、三角函数值等大小的方法： （1）直接利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性比较； （2）借助中间值如0，1等等，利用函数的单调性比较； （3）构造函数，利用导数确定函数的单调性比较大小． 【变式2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 令，则， 所以函数在上递增， 所以，即，即， 所以，即， 综上，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键. 题型3 导数中的数列不等式放缩问题 【例3】已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：由函数的图象恒不在轴上方，且，即恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以， 即实数的取值范围为． （2）解：由（1）知，当时，，即，当且仅当时取等号，令，可得，所以，即当时，． 【变式1】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【答案】(1)1；(2)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件； 当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值， 于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1. （2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，， 因此当且时，， 而当时，，所以， 则，所以，. 【变式2】已知函数（）． (1)当时，试确定函数在其定义域内的单调性； (2)求函数在上的最小值； (3)试证明：（；）． 【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间；(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【详解】（1）当时，定义域为，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2），，求导得，当时，恒成立，即函数在上单调递减，因此；当时，由，得，当，即时，，函数在上单调递减，因此；当，即时，由，得，由，得，即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，所以当时，，当时，. （3）由（1）知，当时，在处取得最小值，即，于是， ，令，则有，因此，即，所以． 【变式3】已知函数． (1)证明：； (2)证明：，． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）证明：，令恒成立，解得，当时，解得，当，解得，此时在上单调递减，在上单调递增；所以在取得最小值，，恒成立，即成立． （2）证明：由（1）可知，在上单调递增，且，所以在恒成立，即，，当时，令，则，， 所以，所以，，……，，所以， 即，.得证． 【变式4】设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：当且时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）因为定义域为，又，故，故切线方程为，即. （2）令，，则 当时，，单调递增，故，即当时，，即当时，恒成立； （3）由（2）可知当时，恒成立，且当且仅当时，所以当时，恒成立，令，且，得，即，由此可得，，，…… ，将以上个式子相加得，且. $$