微专题5-14 导数的同构问题11种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-14 导数的同构问题11种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 结构一致同构 题型2 指对同构训练 题型3 指对同构——和差型 题型4 指对同构——乘积型 题型5 指对同构——商型 题型6 同构应用——比较大小 题型7 同构应用——求值 题型8 同构应用——解决不等式恒成立问题 题型9 同构应用——求最值 题型10 同构应用——证明不等式 题型11 同构应用——解决函数零点问题 导数是整个高中数学教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考考试的热点.研究近年高考试题可以发现，在导数问题中，关于同构类型的题目出现频率有着显著提高。结合平时教学发现大部分学生对导数问题缺乏自信.本文主要是研究导数恒成立中的同构问题，什么是同构，同构的常见类型等。通过寻求函数模型来解决导数问题的方式我们称之为同构.由恒成立，然后再利用函数的基本性质，如递增（递减），这种方式称为同构法.在恒成立问题中，有一部分是通过构造函数或者分离参数来解决的.如果我们能够构造出相同结构的函数或模型，再通过函数基本性质如单调性来解决该问题，这无疑降低了该问题的难度，更提升了学生解决导数问题的信心. 关于同构问题常见类型如下： 1、 地位等同同构，主要针对双变量 （1） 构造为增函数 在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.则该方程即为直线的方程. （2） 构造为减函数 （3），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握。 2.指、对数同构 （1）学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式，大家想必是不陌生的： ① 且 时，有 ② 当 且 时，有 （2）五个常见变形： 拓展： （3）指对跨阶想同构，同左同右取对数 三种基本模式： ①积型： 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。 ②商型： ③和差型： 无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量. 先凑再变形： 若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有： ①； ②； ③ ④ ⑤ 3、利用切线放缩 同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】 利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】 掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形） 题型1 结构一致同构 【例1】若，则（ ） 【变式1】已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数对且都有，则称函数在区间上阶递增.已知函数在上2阶递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若对任意的，，，恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围． 题型2 指对同构训练 【例2】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 题型3 指对同构——和差型 【例3】已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C．0 D．1 【变式1】已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________. 【变式2】已知函数． (1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式3】已知，当时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，若，则的取值范围是 . 【变式5】已知函数 (1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围. 题型4 指对同构——乘积型 【例4】已知函数，，证明：当时，. 【变式1】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【变式2】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式3】已知是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是 ． 【变式4】对，恒有，则实数a的最小值为________. 题型5 指对同构——商型 【例5】已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 题型6 同构应用——比较大小 【例6】已知，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型7 同构应用——求值 【例7】已知实数满足，，则 ． 【变式1】已知实数a，b满足，则ab＝ ． 【变式2】已知，则__________． 【变式3】已知是方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型8 同构应用——解决不等式恒成立问题 【例8】若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，.若，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式4】已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 题型9 同构应用——求最值 【例9】已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（   ） A．7 B．8 C．5 D．11 【变式2】已知函数，，若，，则的最大值为______． 题型10 同构应用——证明不等式 【例10】已知函数. (1)判断极值点的个数； (2)当时，证明：. 【变式1】已知函数． (1)若有两个零点，求a的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：． 【变式2】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 题型11 同构应用——解决函数零点问题 【例11】已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 【变式1】已知函数与（，且） (1)求在处的切线方程； (2)若，恰有两个零点，求的取值范围 【变式2】已知函数 (1)若是的极小值点，且，求的取值范围； (2)若有且仅有两个零点，求的取值范围 【变式3】已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数恰有2个零点，求的取值范围． 【变式4】已知函数的单调递增区间为． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-14 导数的同构问题11种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 结构一致同构 题型2 指对同构训练 题型3 指对同构——和差型 题型4 指对同构——乘积型 题型5 指对同构——商型 题型6 同构应用——比较大小 题型7 同构应用——求值 题型8 同构应用——解决不等式恒成立问题 题型9 同构应用——求最值 题型10 同构应用——证明不等式 题型11 同构应用——解决函数零点问题 导数是整个高中数学教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考考试的热点.研究近年高考试题可以发现，在导数问题中，关于同构类型的题目出现频率有着显著提高。结合平时教学发现大部分学生对导数问题缺乏自信.本文主要是研究导数恒成立中的同构问题，什么是同构，同构的常见类型等。通过寻求函数模型来解决导数问题的方式我们称之为同构.由恒成立，然后再利用函数的基本性质，如递增（递减），这种方式称为同构法.在恒成立问题中，有一部分是通过构造函数或者分离参数来解决的.如果我们能够构造出相同结构的函数或模型，再通过函数基本性质如单调性来解决该问题，这无疑降低了该问题的难度，更提升了学生解决导数问题的信心. 关于同构问题常见类型如下： 1、 地位等同同构，主要针对双变量 （1） 构造为增函数 在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.则该方程即为直线的方程. （2） 构造为减函数 （3），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握。 2.指、对数同构 （1）学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式，大家想必是不陌生的： ① 且 时，有 ② 当 且 时，有 （2）五个常见变形： 拓展： （3）指对跨阶想同构，同左同右取对数 三种基本模式： ①积型： 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。 ②商型： ③和差型： 无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量. 先凑再变形： 若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有： ①； ②； ③ ④ ⑤ 3、利用切线放缩 同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】 利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】 掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形） 题型1 结构一致同构 【例1】若，则（ ） A． B． C． D． 解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，则A正确，B错误；故CD无法确定.故选：A. 【变式1】已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据，可知，令由，知为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，在时有最大值为，故，即实数的取值范围为.故选：C. 【变式2】若函数对且都有，则称函数在区间上阶递增.已知函数在上2阶递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，对且都有成立，不妨设，则，设，则，所以函数在上单调递增，即对于，恒成立，即对于，恒成立，而，令，则函数在上单调递增，则，即，所以，所以，即，所以实数的取值范围为.故选：C. 【变式3】若对任意的，，，恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，则可化为，整理得，因为，所以，令，则函数在上递减，则在上恒成立，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，则在上递减，所以，故只需满足：.故选：A. 【变式4】已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合给定切线求解即得. （2）对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再利用导数求解即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由曲线在处的切线方程为，得，解得，， 所以，. （2）当时，函数，求导得， 当时，，即函数在上单调递减， 不妨设，则，， 不等式恒成立，即恒成立， 则恒成立，设， 于是，恒成立 则在上单调递增，于是在上恒成立， 即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此， 所以m的取值范围为 题型2 指对同构训练 【例2】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【解析】（1）显然，则，. （2）显然，则，. （3）显然，则，. （4）显然，则 ，. （5），. （6），，. （7），. （8），. 题型3 指对同构——和差型 【例3】已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】 设，显然是增函数， 不等式变形为，即，所以．所以，令，则， 当时，，单调递增，时，，递减， 所以， 不等式恒成立，则．即的最小值是． 【变式1】已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】不等式可变形为. 因为且，所以. 令，则. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于，所以. 因为，所以. 设，则. 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以，所以. 故正实数的取值范围是. 【变式2】已知函数． (1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）的定义域为，， 当时，，在上为增函数； 当时，由，得，由，得， 所以在上为增函数，在上为减函数. 综上所述：当时，在上为增函数； 当时，在上为增函数，在上为减函数. （2） ， 设，则原不等式恒成立等价于在上恒成立， ，在上为增函数， 则在上恒成立，等价于在上恒成立， 等价于在上恒成立 令，， 令，得，令，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，故. 【变式3】已知，当时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用同构得到，结合的单调性得到，构造，求导得到其单调性和最值，得到最大值为，故，求出答案. 【详解】由题意得，当时，， 即，， 令，则， 因为恒成立，故在R上单调递增， 故， 即， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 故，解得. 【变式4】已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由移项得： 即，两边同时加（x－1）得 即 设，则，所以单增 所以，即 设，则，所以在单减，在单增， 所以，所以. 【变式5】已知函数 (1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【解析】（1），即， 函数在的切线的方程为， 代入得切线的方程为. ， 由切线的斜率为1，则令，解得：， 由，则函数在处的切线方程为， 代入得：，这与重合，所以得. （2）由恒成立，等价于恒成立， 即：恒成立， 利用， 则令，则. 又，在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即. 令，所以， 因为当时，，所以在上的单调递增， 又因为当时，，所以在上的单调递减， 所以，即， 所以的取值范围是：. 题型4 指对同构——乘积型 【例4】已知函数，，证明：当时，. 原不等式为，即， 即证在上恒成立， 设，则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 令， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 且在上有，所以可得到，即， 所以在时，有成立. 【变式1】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【答案】 【解析】，∴， 构造函数，显然在上单调递增， 故等价于，即任意的实数恒成立，． 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，，得． 【变式2】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】因为，不等式成立，即，进而转化为恒成立， 构造函数，可得， 当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即实数m的取值范围是．故选：B． 【变式3】已知是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是 ． 【答案】 解析：由．令，则在上单调递增， 且，所以，即对恒成立． 令，则，所以当时，；当时，， 故在上的最大值是，所以，即实数m的最小值是．故答案为：． 【变式4】对，恒有，则实数a的最小值为________. 【答案】 同乘x： 构造函数：令，则有 研究单调性：，故 (参考图像) 题型5 指对同构——商型 【例5】已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域是， . 所以在点处的切线方程为， 切线经过点，则. ，设， 是的极小值点，且， 因此在恒成立， 所以函数的单调增区间为，无单调减区间. （2）在区间上恒成立，即， 令，则，即. 由（1），只需要，也就是在区间上恒成立. 设，. ， 故是的最大值， 所求的取值范围是. 题型6 同构应用——比较大小 【例6】已知，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以. 故选：A. 【变式1】已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而a，b，，所以， 故选：C 题型7 同构应用——求值 【例7】已知实数满足，，则 ． 【答案】 【解析】根据题意，显然是正数. 由，两边取对数得，，即，又，即，利用，于是，记，，故在上递减， 由，于是，. 故答案为： 【变式1】已知实数a，b满足，则ab＝ ． 【答案】 【解析】构造函数，定义域为R. 因为，所以在R上单调递减. 因为实数a，b满足， 所以，所以. 而，所以， 所以，所以. 故答案为：. 【变式2】已知，则__________． 【答案】3 【分析】根据已知条件进行同构，研究同构函数单调性得到再转化求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，则， 因为当时，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以． 故答案为：3 【变式3】已知是方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意变形得，进而构造函数，由函数的单调性得，即，进而. 【详解】解： 设，恒成立，故单调递增， 由得，所以， 所以 故选：B. 【点睛】本题考查导数同构求解函数值，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据同构式整理得，进而构造函数，同构研究函数单调性得，即，进而求解. 题型8 同构应用——解决不等式恒成立问题 【例8】若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，可化为， 令，则，所以在上单调递减． 令，则，所以在上单调递增， 所以，因此当时，． 所以，即．则不等式可化为， 所以在上恒成立，因此，即实数的取值范围为． 故选：A． 【变式1】已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得对任意的恒成立， 即，对任意的恒成立； 因为，所以，化为， 令，则有，因为， 在上恒大于，所以单调递增，所以有， 因为，所以，即在上恒成立； 令， ，所以在上恒成立； 因为，令，解得， 所以当时， 单调递增，当时， 单调递减， 由此可知在时，取得最大值，所以，所以. 故选：D 【变式2】已知函数，.若，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 由得， 即， 即， 构造函数， 可化为， 因为，令， 则，令，解得， 所以时，，在上单调递减， 所以时，，在上单调递增， 所以时，取得最小值，即， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为， 所以，，， 令，则， 令，即，解得， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 所以时，取得最大值，即， 所以，所以. 故选：C 【变式3】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知不等式，可化为，两边同时除以得． 令，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取最小值，最小值为，当时，，当时，，所以的范围是，即．所以不等式可化为，其中，所以在上恒成立，构造函数，，则，令，可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以时，取最大值，最大值为，所以，所以的取值范围为.故答案为：. 【变式4】已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，无递增区间； (2). 【分析】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间. （2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 求导得，当且仅当时取等号， 即在上单调递减， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）当时，恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，则当时，， 令，依题意，，恒成立， 令，求导得，则函数在上单调递增， 当时，，因此， 所以实数m的取值范围. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 题型9 同构应用——求最值 【例9】已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以， 则． 于是．所以． 构造函数， 易知当时，单调递增．所以，． 于是， 令，则．在上单调递减， 在单调递增．所以，即． 故选：A 【变式1】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（   ） A．7 B．8 C．5 D．11 【答案】C 【解析】，， 令，，则， 令，解得：， 当时，，当时，， 故在上递增，在，上递减， 则的最大值是， 令，，则， 当时，此题无解，故， 则时，，当，，当，解得：， 故在递减，在，递增， 则的最小值是， 若成立，只需， 即，即， 两边取对数可得：，， 故的最大正整数为5， 故选：C． 【变式2】已知函数，，若，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】对已知等式进行同构可得，令，利用导数可求得单调递增，由此可得，从而将所求式子化为；令，利用导数可求得，即为所求最大值. 【详解】由得：； 由得：，； ， 令，， ，在上单调递增， ； 令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解多变量的式子最值的问题；解题关键是能够对于已知等式进行同构变形，将问题转化为某一单调函数的两个函数值相等的问题，从而确定两个变量之间的关系，将所求式子化为单变量的式子来进行求解. 题型10 同构应用——证明不等式 【例10】已知函数. (1)判断极值点的个数； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先对求导，再构造函数，利用导数研究的图像，从而分类讨论与，得到的正负情况，由此得解； （2）利用同构法得到，再构造函数，从而将问题转化为证明，再构造函数，由此得证. 【详解】（1）因为，所以， 令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，若，则，若，则， 所以只有一个极值点； 当时，存在，，使， 当时，；当时，； 所以若，则；若，则；若，则；若，则； 所以有三个极值点； 综上，当时，只有一个极值点；当时，有三个极值点. （2）， 令，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 令，则等价于， 因为，所以等价于， 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 因为，所以，故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式1】已知函数． (1)若有两个零点，求a的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分与讨论函数的单调性，结合函数有两个零点，得到不等关系，利用零点存在性定理得到a的取值范围； （2）利用同构，换元后得到有两个根，只需证：，结合相加后得到，即证，由可得：，从而只需证，利用对数平均不等式证明出答案. 【详解】（1）． 当时，，在R上单调递增，不可能有两个零点； 当时，令且在上单调递减，在上单调递增， 要使有两个零点，首先必有， 当时，注意到，，， ∴在和上各有一个零点符合条件． 综上：实数a的取值范围为． （2）由有两个实根，不妨设， ∴令， ∴有两个实根，，故， 要证：， 只需证：， 由，结合①知 ①②得：， 要证：，即证：， 而由可得：， 下证：，， 即证，， 令，则， 令，， 在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，解得：，证毕. 【点睛】方法点睛：含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元基础上，又多了一个参数，故思路很自然的想到，想尽一切办法消去参数，从而转化为不含参数的问题来解决，或者以参数为媒介，构造一个变元的新函数解决问题. 【变式2】已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 【解析】（1）解：函数的定义域为，， 令，即，△，解得或， 若，此时△，在恒成立， 所以在单调递增． 若，此时△，方程的两根为： ，且，， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增． 若，此时△，方程的两根为： ，且，， 所以在上单调递增． 综上所述：若，在单调递增； 若，在，上单调递增， 在上单调递减． （2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增， 所以（1），所以在上恒成立． （3）证明：由（2）可知在恒成立， 所以在恒成立， 下面证，即证2 ， 设，， 设，， 易知在恒成立， 所以在单调递增， 所以， 所以在单调递增， 所以， 所以，即当时，． 法二：，即， 令，则原不等式等价于， ，令，则，递减， 故，，递减， 又，故，原结论成立． 题型11 同构应用——解决函数零点问题 【例11】已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围. 【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根． 故答案为：. 【变式1】已知函数与（，且） (1)求在处的切线方程； (2)若，恰有两个零点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）先利用同构法将问题转化为有两正根，再构造函数，利用导数与零点存在定理推得，从而求得的取值范围. 【详解】（1）由题可得，，故， 于是在处的切线方程为. （2）恰有两个零点，即方程恰有两正根， 因为，，则，故，于是， 同理：，， 由，得，则，故， 令，故， 于是函数在上单调递增， 所以由可得，即方程有两正根，等价于方程有两正根， 令，则由得， 令，则在上有两个零点，， 当时，，则，故， 所以在上单调递减，所以至多只有一个零点，不满足题意； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减，故的极大值为， 因为在上有两个零点，所以必有，即，解得， 下面证明当时，在上有两个零点： 当时，易知，，故， 又因为在上单调递增，故在上有唯一零点； 当时， 令，则， 再令，则，故在上单调递增， 所以，即，故在上单调递增， 所以，因为， 所以，即，即，即，故， 又因为，故，即， 又因为在上单调递减，故在上有唯一零点； 综上：当时，在上有两个零点，即有两个解，故有两个解，即有两个零点， 所以，故，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式2】已知函数 (1)若是的极小值点，且，求的取值范围； (2)若有且仅有两个零点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得到，确定导函数单调递增，解不等式得到，得到，解得答案. （2）令，求导得到导函数，设，确定函数单调递增，得到在内存在唯一的零点，且，确定的单调区间，计算最值得到范围. 【详解】（1）的定义域为，由，可得， ，， 则在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增，满足是的极小值点，因为，所以， 可得，则，即的取值范围是 （2）令，有且仅有两个零点，故有且仅有两个零点 ，设， 则，则为增函数 当趋近时，趋近，又， 所以在内存在唯一的零点，且， 则，即，则 函数为增函数，所以，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近 ，只需满足，得， 故的取值范围为 【点睛】关键点睛：本题考查了极值问题和零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用函数的单调性和同构的思想构造得到是解题的关键. 【变式3】已知函数． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，判断函数单调性，即得答案； （2）将函数恰有2个零点，转化为方程恰有2个正实数解．继而利用函数单调性转化为方程恰有2个正实数解．继而设，则恰有2个零点，利用导数结合零点存在定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得的定义域为， ， 若，则当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减； 若，则，当或时，， 当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减． （2）由题知，， 恰有2个零点，方程恰有2个正实数解， 即方程恰有2个正实数解， 即方程恰有2个正实数解． 设，即方程恰有2个正实数解， 显然在上单调递增， ，即方程恰有2个正实数解． 设，则恰有2个零点， ， 若，则， 在区间上单调递减，至多有1个零点，不符合题意； 若，当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 要使函数恰有2个零点， 则， ，即． 当时， ， 存在，使得， ， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，故， 即，当且仅当时取等号； 由于，故， 设， 则当时，， 在区间上单调递增， ， 存在，使得， 当时，恰有2个零点， 实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题综合考查了导数的综合应用问题，难度较大，解答的关键在于第二问根据函数零点个数求解参数范围，解答时要利用指对数的运算将原问题转化为方程恰有2个正实数解，继而结合函数单调性转化为方程恰有2个正实数解． 【变式4】已知函数的单调递增区间为． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的单调递增区间为，得出函数在处取到极值，即可求解； （2）由（1），令得，令得，若有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，此时,令的单调性即可求解． 【详解】（1）由题，的定义域为，， 由于函数的单调递增区间为， 因此函数在处取得极值， 故，解得． 因此，令，解得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减，符合题意， 故， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 则， 令，得． 令， 则，整理得． 因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，， 所以函数的最大值为，即． 若有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，此时, 令，则， 所以函数在上单调递增，且当时，， 易知若有两个零点，则直线与函数的图象有一个交点， 因此，所以实数的取值范围是． $$