精品解析：河南省周口市郸城县丁村乡等校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024−2025学年度第一学期期末测试 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 0或3 3. 已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 不能确定 4. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 5. 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，作一个与相似的，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图在菱形中，，则的值（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（﹣3，﹣1）、（﹣3，﹣3）、（6，2），且△AOB∽△COD，点P（﹣3，m）是线段AB上一点，直线PO交线段CD于点Q，则点Q的纵坐标为（　　） A. m B. 2m C. ﹣m D. ﹣2m 10. 如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，点D、E分别是边AB、BC上点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为（　　） A. 2 B. C. 或2 D. 或2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则___________． 12. 若二次根式有意义，则x取值范围是__________． 13. 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角为，览车速度为米分，分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度约为 ________米．(精确到1米)(参考数据：，，) 14. 如图，中，是延长线上一点，与交于点，．若的面积为1，则的面积为______． 15. 如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1； （2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1． 17. 如图，中，，是锐角，且，，，求的面积． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 19. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者．在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米．为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数．参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4） 20. 某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）八年级（3）班学生总人数是　 　，并将条形统计图补充完整； （2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率． 21. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 22. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时，的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 23. （1）尝试探究：如图①，在中，，，点分别是边上的点，且． ①的值为 ； ②直线与直线的位置关系为 ； （2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点C顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请求的值并判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （3）拓展运用：若，在图②旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年度第一学期期末测试 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式的方法和二次根式的乘除法运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了合并同类二次根式和二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式的方法和二次根式的乘除法运算法则． 2. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 0 D. 0或3 【答案】B 【解析】 【分析】将代入一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解方程得， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．． 3. 已知α是锐角，sinα＝cos60°，则α等于(　　) A. 30° B. 45° C. 60° D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵sinα=cos60°=， ∴α=30°． 故选A． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 4. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 【答案】B 【解析】 【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴， ∵AC=4，CE=6，BD=3， ∴， 解得：DF=， ∴． 故选：B． 【点睛】考点：平行线分线段成比例． 5. 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】小军密码的末位数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种可能，由此能求出小军能一次打开该旅行箱的概率． 【详解】解：∵小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字， ∴小军密码的末位数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种可能， ∴小军能一次打开该旅行箱的概率为 故选A． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 6. 如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，作一个与相似的，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要让的相似三角形最大，就要让为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答． 【详解】 解：从图中可以看出的三边分别是2, ,， 要让的相似三角形最大,就要让为网格最大的对角线,即是， 所以这两相似三角形的相似比是， 的面积为， 所以的最大面积是5.故选A. 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是先求出最大的相似三角形，再利用面积比等于相似比的平方. 7. 如图在菱形中，，则的值（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，以及三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，菱形四边相等．首先设菱形边长为，则，根据三角函数定义可得，再解即可得到的值，然后利用勾股定理计算出的长，然后在根据正切定义可得的值． 【详解】解：设菱形边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 8或10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程x2﹣6x+8=0得：x=2和x=4， ∵2+2=4， ∴2、2、4不能构成三角形， ∴三角形的三边长为2、4、4， 则周长为：2+4+4=10. 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（﹣3，﹣1）、（﹣3，﹣3）、（6，2），且△AOB∽△COD，点P（﹣3，m）是线段AB上一点，直线PO交线段CD于点Q，则点Q的纵坐标为（　　） A. m B. 2m C. ﹣m D. ﹣2m 【答案】D 【解析】 【分析】由图与△AOB∽△COD，可得△AOB与△COD位似，且A与C是对应点，又由A、B、C三点的坐标分别为（-3，-1）、（-3，-3）、（6，2），可得位似比为1：2，然后由点P（-3，m）是线段AB上一点，直线PO交线段CD于点Q，根据位似的性质，即可求得点Q的纵坐标． 【详解】解：∵△AOB∽△COD， ∴△AOB与△COD位似，且A与C是对应点， ∵A、B、C三点的坐标分别为（-3，-1）、（-3，-3）、（6，2）， ∴位似比为1：2， ∵点P（-3，m）是线段AB上一点，直线PO交线段CD于点Q， ∴点Q的纵坐标为：-2m． 故选D． 【点睛】此题考查了位似的性质．注意由题意得到△AOB与△COD位似，且A与C是对应点． 10. 如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，点D、E分别是边AB、BC上点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为（　　） A. 2 B. C. 或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到BE=EF，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE， ∴BE=EF， ∵BC=4， ∴CE=4-BE， ∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似， 或 , 即 或 , 解得：BE=或2， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简等知识点，设，则，然后整体代入即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵， 设，则， ∴ ， 故答案为：． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】概念二次根式被开方数大于或等于0，分母不为0求解即可． 【详解】解：二次根式有意义， 则且， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式和分式有意义 的条件，列出不等式． 13. 如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角为，览车速度为米分，分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度约为 ________米．(精确到1米)(参考数据：，，) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 在中，， ， 米， 答：山的高度约为米． 故答案为：． 14. 如图，中，是的延长线上一点，与交于点，．若的面积为1，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】首先利用，以及平行四边形对边相等，分别得到DE与CE、DE与AB的比值；再根据平行四边形的性质得出，，进而推出，再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出和的面积，进而得出四边形的面积，即可推出的面积. 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵面积为1， ∴，， ∴， ∴. 故答案为12. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方. 15. 如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为______． 【答案】6 【解析】 【详解】试题解析：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x， 根据题意得：x[x﹣（8﹣x）]=24， 解得：x=6或x=﹣2（舍去）， 故答案为6． 考点：一元二次方程的应用． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，-3）、B（3，-2）、C（2，-4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1； （2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案； （2）直接利用位似图形的性质以C为位似中心，将边长扩大为原来的2倍即可． 【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 17. 如图，中，，是锐角，且，，，求的面积． 【答案】132 【解析】 【分析】根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式求解． 【详解】过点C作 如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解此题的关键是进行合理的推断得出三角形为直角三角形． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围； （2）由根与系数的关系可得：，代入得到关于m的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ ， 解得：， 即的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵由根与系数的关系可得：， ∴    ， ∵， ∴，即， ∴， 解得或， ∵， ∴． 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键． 19. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者．在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米．为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数．参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，≈1.4） 【答案】云梯需要继续上升的高度约为9米． 【解析】 【分析】过点作于点，于点，在中，求得AD的长；在中，求得CD的长，根据即可求得BC的长． 【详解】过点作于点，于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ∴米． ∴（米）， 由题意可知，，， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）． 在中，， ∴（米）． ∴（米）． 答：云梯需要继续上升的高度约为9米． 【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题关键． 20. 某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）八年级（3）班学生总人数是　 　，并将条形统计图补充完整； （2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率． 【答案】(1)40人，补图见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出C项目的人数后补全条形统计图； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）调查的总人数为12÷30%=40（人）， 所以C项目的人数为40-12-14-4=10（人） 条形统计图补充为： 故答案为40人； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数为8， 所以恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图． 21. 李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) 李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确． 【详解】解：（1）设其中一段的长度为xcm，两个正方形面积之和为scm²， 则， 即(其中0<x<40）， 当s=58时， ， 解得，， ∴应将之剪成12cm和28cm的两段； （2）两正方形面积之和为48时， ， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm²，李明的说法正确． 【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出相应方程及函数关系式是解题关键． 22. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时，的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】（1） （2）当A，C，E三点共线时 （3）13 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，，设．得到，利用勾股定理解得即可． （2）连接，根据当，当三点共线时，的值最小． （3）根据，构造．如图所示，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，，，，，设．得到， 利用勾股定理，得， ． ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，连接，根据当，当三点共线时，的值最小． 故条件为三点共线． 【小问3详解】 解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是长方形， 故． 故． 23. （1）尝试探究：如图①，在中，，，点分别是边上的点，且． ①的值为 ； ②直线与直线位置关系为 ； （2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点C顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请求的值并判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （3）拓展运用：若，在图②旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长． 【答案】（1）①；②；（2），，理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质得，再利用特殊角的三角函数值可得答案； （2）连接，延长交于，交于点，利用两边成比例且夹角相等证明，得，即可证明结论； （3）分点在和的延长线上两种情形，根据题意分别画出图形，进而解决问题． 【详解】解：（1）①∵， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案：； （2），理由如下： 如图1，连接，延长交于，交于点H， ∵绕点顺时针旋转， 且 （3）分两种情况： ①如图2，过点作交的延长线于点G， 且在同一直线上， 且 ②如图3，过点作于点， 且 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，特殊角的三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握旋转相似必成双是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$