精品解析：河北省张家口市万全区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学（人教版Z） 2025.1 注意事项：1．本试卷共6页，满分120分（另加附加题10分），考试时长130分钟． 2．试卷第25题为附加题，分值为10分，本题分值不计入总分，单独计分． 3．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 4．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 故选：D． 2. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，理解并能准确区分三角形的高是解题的关键； 根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高， ∴中的边上的高是线段， 故选：B． 3. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小 C. 缩小 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．将x，y用，代入化简，与原式比较即可． 【详解】解：将x，y用，代入得， 故分式的值不变． 故选：D． 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边，小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 5. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据左边化为，根据，利用同底数幂的乘法法则得到，得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 6. 如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点P关于直线L的对称点，连接，交直线l于点M，根据轴对称的性质可证明点M即为水泵站的位置，据此可得答案． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 7. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 8. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 9. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把原式分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被8整除， 故选：D． 10. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（ ） A. 108° B. 36° C. 72° D. 144° 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作l1的平行线BF，利用平行线的性质推出∠CBF+∠1=180°，∠CBF+∠2=108°，两个式子相减即可． 【详解】解：过点B作l1的平行线BF，则l1∥l2∥BF， ∵l1∥l2∥BF， ∴∠ABF=∠2，∠CBF+∠1=180°①， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∴∠ABF+∠CBF=∠CBF+∠2=108°②， ∴①-②得∠1-∠2=72°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及正多边形的内角问题，解题的关键是通过作辅助线，搭建角之间的关系桥梁． 11. 对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 线段中垂线上的点到线段两段距离相等 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵CD=CE，OE=OD， ∴AO是线段DE的垂直平分线， ∴∠AOB=90°； 则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等； 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断． 12. 已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数 A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都对 C. 甲对，丙错 D. 甲错，丙对 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的乘除运算，分式的求值，首先将分式化简即可判定甲，然后将代入求解即可判断乙，然后根据x的范围即可判定A的正负，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算法则． 【详解】 ，故甲对； 当时，，故分式无意义，故乙错； 当时， ， ∴，故丙错． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是______．（只填一个即可） 【答案】10（答案不唯一，大于2且小于12之间的数均可） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 则， 故答案为：10（答案不唯一，大于2且小于12之间的数均可）． 14. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 15. 如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：__________，使． 【答案】(合理即可） 【解析】 【分析】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定，由已知条件：，，再添加一组角相等或即可证明全等． 【详解】添加条件：； 证明：∵，， ∴， 故答案为：(合理即可）． 16. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解；∵平分，平分， ∴，， ∵由三角形外角的性质可得，， ∴， 以此类推， ， …… ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用和因式分解； （1）利用平方差公式计算即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18. 某校为迎接市中学生田径运动会需准备240面彩旗．计划由八年级一班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：； 庆庆：． 根据以上信息，解答下列问题 （1）冰冰同学所列方程中的表示______．庆庆同学所列方程中的表示______； （2）请你选择其中一个方程解决提出的问题． 【答案】（1）每个小组学生的人数，原计划每名学生做的彩旗数 （2）每个小组有名学生，原计划每名学生做面彩旗 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）根据所列方程中的未知数表示的实际意义即可得到答案； （2）解方程即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：冰冰同学所列方程中的表示每个小组学生的人数；庆庆同学所列方程中的表示原计划每名学生做的彩旗数； 故答案为：每个小组学生的人数，原计划每名学生做的彩旗数； 【小问2详解】 解：解方程， 解得：， 经检验是所列方程的解，且符合题意， （面）， 每个小组有名学生，原计划每名学生做面彩旗． 19. 下面是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ………………第一步 …………第二步 …………………第三步 …………………………第四步 （1）小明的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______； （2）已知，求的值． 【答案】（1）二；漏掉了分母 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确运算是关键； （1）仔细观察解答过程，即可发现计算错误所在； （2）由已知得，把分式化简，把直接代入即可． 【小问1详解】 解：由解答过程知，小明从第二步开始出现错误，原因是漏掉了分母； 故答案为：二；漏掉了分母； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∴ ． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示，的三个顶点都在格点上．将点A，B，C的横坐标和纵坐标都乘，分别得到点，，． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）若与关于y轴对称，在平面直角坐标系中画出； （3）点P是第三象限内一点，若以点A，C，P为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1） 如图，为所求； （2） 解：如图，为所求； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查作图——对称变换，解题的关键是掌握轴对称、中心对称变换的定义和性质及全等三角形的判定． （1）横、纵坐标乘以变为原来的相反数，再根据网格结构找出对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）先作出关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （3）根据全等三角形对应边相等，分和两种情况讨论求解． 【小问1详解】 解： 三点坐标分别为，，， 将点的横坐标和纵坐标都乘以，分别得到点， 则、、； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点P是第三象限内一点，若以点A，C，P为顶点的三角形与全等， ①当时，； ②当时，． 21. 如图，已知，． （1）用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若边的垂直平分线交于、交于； ①连接，求的周长； ②若，求的度数． 【答案】 （1）如图，DE即为所求； （2）①11；②26° 【解析】 【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分BC； （2）①运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解； ②根据等边对等角得到∠DBC=∠C，再利用三角形外角的性质得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）①∵DE是BC边的垂直平分线， ∴BD=DC， ∵AB=4，AC=7， ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+7=11； ②∵BD=CD， ∴∠DBC=∠C， ∴∠ADB=∠DBC+∠C=52°， ∴∠DBC=26°． 【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图及垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法． 22. 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm) (1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 ； (2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和. 【答案】(1)(m＋2n)(2m＋n)（2）42cm 【解析】 【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可； （2）求出m+n的值，然后根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论； 【详解】（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）； 故答案为（m+2n）（2m+n）； （2）依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29． ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49， ∴m+n＝7， ∴图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题的关键． 23. 【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）结论成立，证明见解析； （3）20． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的盘点过以及性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得，，，由此即可求解； （2）证明，可知，，由此即可求证； （3）和都是等边三角形，，再证明为等边三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）解：结论成立． 证明如下： ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （3）解：20．提示： 与（2）同理，可得， ∴，． ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． ∵的周长为60， ∴D． 由（2）可知，． 24. 如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； （2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？ （3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数． 【答案】（1）在、运动的过程中，不变，； （2）当为或 时，为直角三角形； （3）在、运动的过程中，的大小不变，． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明，则可求得，再利用三角形外角的性质可证得； （2）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值； （3）同（1）可证得，再利用三角形外角的性质可求得． 【小问1详解】 为等边三角形， ，， 点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为， ， 在和中 ， ， ， 在、运动的过程中，不变，； 【小问2详解】 运动时间为，则， ， 当时， ， ， ，解得， 当时， ， ， ，解得， 当为或 时，为直角三角形； 【小问3详解】 在等边三角形中，，， ，且， 在和中 ， ， 又， ， 在、运动的过程中，的大小不变，． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．在（1）、（3）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中用直角三角形的性质得到关于的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 四、附加题（共10分） 25. 如图，已知，点D是BC上一点，． 图1 图2 （1）如图1，若，，求证： ① ② （2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立． 【答案】（1） 证明：①∵， ∴ ∴． ②在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 由①知：， ∵， ∴， ∴． （2）当时，总有成立 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的证明是解题的关键． （1）①根据，得到，证明即可． ②在上截取，连接，证明即可得到 ． （2）在上截取，连接，证明即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，总有成立．理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴，即：， ∵，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学（人教版Z） 2025.1 注意事项：1．本试卷共6页，满分120分（另加附加题10分），考试时长130分钟． 2．试卷第25题为附加题，分值为10分，本题分值不计入总分，单独计分． 3．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 4．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小 C. 缩小 D. 不变 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 7. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 8. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 10. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（ ） A. 108° B. 36° C. 72° D. 144° 11. 对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 线段中垂线上的点到线段两段距离相等 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 12. 已知，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：的计算结果为； 乙：当时，； 丙：当时，的值为正数 A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都对 C. 甲对，丙错 D. 甲错，丙对 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是______．（只填一个即可） 14. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 15. 如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）：__________，使． 16. 如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）分解因式：． 18. 某校为迎接市中学生田径运动会需准备240面彩旗．计划由八年级一班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务，那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：； 庆庆：． 根据以上信息，解答下列问题 （1）冰冰同学所列方程中的表示______．庆庆同学所列方程中的表示______； （2）请你选择其中一个方程解决提出的问题． 19. 下面是小明同学在作业中计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业 ………………第一步 …………第二步 …………………第三步 …………………………第四步 （1）小明的作业是从第______步开始出现错误的，错误的原因是______； （2）已知，求的值． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示，的三个顶点都在格点上．将点A，B，C的横坐标和纵坐标都乘，分别得到点，，． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）若与关于y轴对称，在平面直角坐标系中画出； （3）点P是第三象限内一点，若以点A，C，P为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 21. 如图，已知，． （1）用尺规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若边的垂直平分线交于、交于； ①连接，求的周长； ②若，求的度数． 22. 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm) (1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 ； (2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和. 23. 【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 24. 如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数； （2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？ （3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数． 四、附加题（共10分） 25. 如图，已知，点D是BC上一点，． 图1 图2 （1）如图1，若，，求证： ① ② （2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $