2025年高考数学二轮复习重点专题训练·椭圆、双曲线的焦点三角形

2025高考二轮复习重点专题训练 椭圆、双曲线的焦点三角形 一、单项选择题 1．(2024·南通调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的左支上，且∠PF1F2＝60°，△PF1F2的周长为6a，则C的离心率为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B． C． D．－1 2．(2024·通州区联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为O，过点F1作⊙O的切线与C在第一象限交于点P.若△PF1F2的面积为4a2，则C的离心率为(　　) A． B．－1 C． D． 3．(2024·浙江杭州开学考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若F1关于∠F1PF2的平分线对称的点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 4．(2024·沧州七校联考)已知点P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，若△PF1F2的内切圆半径的最大值为a－c，椭圆的长轴长为4，则△PF1F2的面积的最大值为(　　) A．2 B．2 C． D． 5．(2024·苏州大学指导卷)已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线与C的一个交点为P，△PF1F2的内心为M，若|MF2|＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D．2 6.(2024·河南二模)从椭圆C：＋＝1(a>b>0)外一点P(x0，y0)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为＋＝1.现有如图所示的两个椭圆C1，C2，离心率分别为e1，e2，C2内含于C1，椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l，若原点O到直线l的距离为1，则e12－e22的最大值为(　　) 　A． B． C． D． 7．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点O对称，若|F1F2|＝|MN|，|MF2|＝|NF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 8．(2024·上海静安期末)已知点P是双曲线－＝1右支上的一点，点A，B分别是圆(x＋6)2＋y2＝4和圆(x－6)2＋y2＝1上的点，则|PA|－|PB|的最小值为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 9．(2024·浙江杭州模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b>0)的左焦点为F，过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且||＝4||，∠AFB＝，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 10．(2024·山东师大附中模拟)已知点P是椭圆＋y2＝1上的动点(点P不在坐标轴上)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点．若M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围为(　　) A．(0，) B．(0，2) C．(1，2) D．(，2) 二、多项选择题 11．(2024·江苏南通二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下两个顶点分别为B1，B2，B1F1的延长线交C于A，且|AF1|＝|B1F1|，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．直线AB1的斜率为 C．△AB1F2为等腰三角形 D．|AB2|∶|AB1|＝∶3 12．(2024·河南开封市期末)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，直线l：y＝(x－1)过C的一个焦点和一个顶点，且与C交于M，N两点，则(　　) A．△F1MN的周长为8 B．△F1MN的面积为 C．该椭圆的离心率为 D．若点P为C上一点，设P到直线x＝4的距离为d，则＝ 13．(2024·湖南长沙长郡中学模拟)已知双曲线C经过点，且与椭圆Γ：＋y2＝1有公共的焦点F1，F2，点M为椭圆Γ的上顶点，点P为C上一动点，O为坐标原点，则(　　) A．双曲线C的离心率为 B．sin ∠MOP> C．当P为C与Γ的交点时，cos ∠F1PF2＝ D．|PM|的最小值为1 14．(2024·福建福州模拟)已知F1，F2分别为椭圆Γ：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为平面上一点，若·＝0，则(　　) A．当P为Γ上一点时，△PF1F2的面积为1 B．当P为Γ上一点时，＋的值可以为1 C．当满足条件的点P均在Γ内部时，Γ的离心率小于 D．当点P在Γ的外部时，在Γ上必存在点M，使得·＝0 三、填空题 15．(2024·菏泽一模)已知斜率为的直线过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且交双曲线右支于A，B两点，A在第一象限，若|OF|＝|AF|，则C的离心率为________． 16．(2024·湖北武汉模拟)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|＝________． 17．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上一点，线段PF1与C的左支交于点M.若∠F1PF2＝，且|PM|＝|PF2|，则C的离心率为________． 18．费马原理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线(F1，F2为焦点)上一点，点P处的切线平分∠F1PF2.已知双曲线C：－＝1，O为坐标原点，l是点P处的切线，过左焦点F1作l的垂线，垂足为M，则|OM|＝________． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练 椭圆、双曲线的焦点三角形 一、单项选择题 1．(2024·南通调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的左支上，且∠PF1F2＝60°，△PF1F2的周长为6a，则C的离心率为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B． C． D．－1 答案　C 解析　如图，依题意，|PF2|－|PF1|＝2a，|PF1|＋|PF2|＋2c＝6a， ∴在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 60°，∴(4a－c)2＝(2a－c)2＋4c2－2·(2a－c)·2c·，整理得e＝.故选C. 2．(2024·通州区联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为O，过点F1作⊙O的切线与C在第一象限交于点P.若△PF1F2的面积为4a2，则C的离心率为(　　) A． B．－1 C． D． 答案　D 解析　设切点为M，∠MF1O＝θ，连接OM，则sin θ＝＝，cos θ＝＝，过点P作PE⊥x轴于点E，则S△PF1F2＝|F1F2|·|PE|＝c|PE|＝4a2，∴|PE|＝，又sin θ＝＝，∴|PF1|＝4a，又易知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，由S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝4a2，得sin ∠F1PF2＝1，即∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴20a2＝4c2，∴e2＝5，e＝(负值舍去)，故选D. 3．(2024·浙江杭州开学考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若F1关于∠F1PF2的平分线对称的点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设F1关于∠F1PF2的平分线对称的点为点A，则A在椭圆上，P，F2，A三点共线，连接AF2，F1A，设F1A中点为M， 则PM既是△F1PA中F1A上的中线又是∠F1PA的平分线，∴|PF1|＝|PA|， 又∵∠F1PF2＝，∴△PF1A为正三角形，又△PF1A的周长为4a，∴|PF1|＝，|PF2|＝，在△PF1F2中，4c2＝a2＋a2－2·a·a·，整理得e＝(负值舍去). 4．(2024·沧州七校联考)已知点P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，若△PF1F2的内切圆半径的最大值为a－c，椭圆的长轴长为4，则△PF1F2的面积的最大值为(　　) A．2 B．2 C． D． 答案　A 解析　由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c， 设△PF1F2的内切圆半径为r， 所以S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝(2c＋2a)r＝(c＋a)r， 因为△PF1F2的内切圆半径的最大值为a－c， 所以S△PF1F2＝(c＋a)r≤(c＋a)(c－a)＝c2－a2＝b2，因为S△PF1F2＝|F1F2|·|yP|≤·2c·b＝bc，所以b2＝bc，可得b＝c， 又椭圆的长轴长为4，即a＝2， 由a2＝b2＋c2，求得b＝c＝，所以△PF1F2的面积的最大值为2.故选A. 5．(2024·苏州大学指导卷)已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线与C的一个交点为P，△PF1F2的内心为M，若|MF2|＝，则C的离心率为(　　) A． B． C． D．2 答案　D 解析　如图，不妨设点P在第一象限，⊙M与△PF1F2三边分别切于E，F，G，∴|PF1|－|PF2|＝(|PE|＋|EF1|)－(|PG|＋|GF2|)＝|EF1|－|GF2|＝|F1F|－|FF2|＝2a，又F1F＋FF2＝2c，∴|F1F|＝a＋c＝1＋c，∴|OF|＝1，F2(c，0)，连接MF，∴M(1，c－1)，由|MF2|＝(c－1)＝，c＝2，∴e＝2，故选D. 6.(2024·河南二模)从椭圆C：＋＝1(a>b>0)外一点P(x0，y0)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为＋＝1.现有如图所示的两个椭圆C1，C2，离心率分别为e1，e2，C2内含于C1，椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l，若原点O到直线l的距离为1，则e12－e22的最大值为(　　) 　A． B． C． D． 答案　D 解析　设M(x0，y0)，椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)，椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)，则有＋＝1①， 由极线的定义得直线l的方程为＋＝1， 原点O到直线l的距离d＝＝1，化简得＋＝1②， 对比①②式得出a12＝a24，b12＝b24，则有e12＝1－＝1－＝＝e22(2－e22)， 所以e12－e22＝e22(1－e22)≤＝＝， 当且仅当e22＝1－e22，即e2＝，e1＝时取等号，故选D. 7．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点O对称，若|F1F2|＝|MN|，|MF2|＝|NF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　如图，连接MF1，NF1，∵四边形NF1MF2是平行四边形，又|MN|＝|F1F2|，∴四边形NF1MF2是矩形，∴∠NF2M＝90°，设|MF2|＝m，|NF2|＝2|MF2|＝2m，∴m2＋8m2＝4c2，∴m＝c，∴2a＝|MF2|＋|NF2|＝c＋c＝c，∴＝＝.故选B. 8．(2024·上海静安期末)已知点P是双曲线－＝1右支上的一点，点A，B分别是圆(x＋6)2＋y2＝4和圆(x－6)2＋y2＝1上的点，则|PA|－|PB|的最小值为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 答案　B 解析　由双曲线方程－＝1可知a＝4，b＝2，c＝＝6， 圆(x＋6)2＋y2＝4的圆心为F1(－6，0)，半径r1＝2， 圆(x－6)2＋y2＝1的圆心为F2(6，0)，半径r2＝1， 连接PF1，PF2，由圆的性质可知，|PA|≥|PF1|－2，|PB|≤|PF2|＋1， 所以|PA|－|PB|≥(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝|PF1|－|PF2|－3， 因为F1(－6，0)，F2(6，0)为双曲线的两个焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a＝8， 所以|PA|－|PB|≥|PF1|－|PF2|－3＝5(当A在线段PF1上，B在线段PF2的延长线上时取等号)，所以|PA|－|PB|的最小值为5.故选B. 9．(2024·浙江杭州模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b>0)的左焦点为F，过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且||＝4||，∠AFB＝，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　设双曲线的右焦点为F2，连接AF2，BF2，由A，B关于原点对称，易知四边形FAF2B是平行四边形， 则|FA|＝|F2B|，∠FBF2＝，由||＝4||，得||＝4||， 又由双曲线的定义得||－||＝2a，解得||＝，||＝， 在△FBF2中，由余弦定理得|FF2|2＝|FB|2＋|F2B|2－2|FB|·|F2B|cos ∠FBF2， 即4c2＝a2＋a2－2×a·a·cos ＝a2， 得e＝，再由＝＝＝＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C. 10．(2024·山东师大附中模拟)已知点P是椭圆＋y2＝1上的动点(点P不在坐标轴上)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点．若M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围为(　　) A．(0，) B．(0，2) C．(1，2) D．(，2) 答案　A 解析　当点P在y轴右侧时，不妨令点P在第一象限，如图，延长PF2与F1M相交于点N，因为F1M⊥MP，PM为∠F1PF2平分线，所以|PN|＝|PF1|，点M为F1N的中点，因为O为F1F2的中点，所以|OM|＝|F2N|＝(|PN|－|PF2|)＝(|PF1|－|PF2|)，设点P(x0，y0)，由已知可得a＝2，b＝1，c＝＝，则0<x0<2，且有y02＝1－x02，|PF1|＝＝＝＝＝x0＋2，故|PF2|＝4－|PF1|＝2－x0，所以|OM|＝(|PF1|－|PF2|)＝x0∈(0，).易知当P在y轴左侧时，|OM|＝(|PF2|－|PF1|)∈(0，)，故选A. 二、多项选择题 11．(2024·江苏南通二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下两个顶点分别为B1，B2，B1F1的延长线交C于A，且|AF1|＝|B1F1|，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．直线AB1的斜率为 C．△AB1F2为等腰三角形 D．|AB2|∶|AB1|＝∶3 答案　ACD 解析　对于A，∵F1(－c，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，∴|B1F1|＝a＝|B1F2|， ∵|AF1|＝|B1F1|， ∴|AF1|＝a，|AB1|＝a， ∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，在△B1AF2中，由余弦定理得cos ∠AB1F2＝＝， 故有＝2cos2∠F1B1O－1(O为坐标原点)，解得cos∠F1B1O＝(负值舍去)，则sin ∠F1B1O＝，而在△B1OF2中，sin ∠F2B1O＝＝，∴e＝＝，故A正确． 对于B，直线AB1的倾斜角为∠B1F1O，而sin ∠F1B1O＝，所以sin ∠B1F1O＝，cos ∠B1F1O＝，则直线AB1的斜率k＝tan ∠B1F1O＝＝，故B错误． 对于C，由于|AB1|＝|AF2|＝a，所以△AB1F2是等腰三角形，故C正确． 对于D，因为＝，则a＝c，故b＝＝c，易知直线AB1的方程为y＝x＋b＝x＋c，设A(x，y)，联立方程解得或故A，又B2(0，－b)，即B2(0，－c)，由两点间距离公式得|AB2|＝＝c，而|AB1|＝a＝c，∴＝＝，故D正确．故选ACD. 12．(2024·河南开封市期末)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，直线l：y＝(x－1)过C的一个焦点和一个顶点，且与C交于M，N两点，则(　　) A．△F1MN的周长为8 B．△F1MN的面积为 C．该椭圆的离心率为 D．若点P为C上一点，设P到直线x＝4的距离为d，则＝ 答案　ACD 解析　由题意知，椭圆焦点在x轴上，因为直线l过椭圆的一个焦点和一个顶点， 故直线l：y＝(x－1)与x轴的交点(1，0)即为右焦点F2， 与y轴的交点(0，－)为C的下顶点，设为M， 所以b＝，c＝1，则a＝＝2， 所以椭圆的方程为＋＝1. 对于A，由椭圆的定义|F1M|＋|F2M|＝|F1N|＋|F2N|＝2a， 所以△F1MN的周长为4a＝8，故A正确． 对于B，联立消去y得，5x2－8x＝0，解得x＝0或x＝， 由M(0，－)，则xN＝，代入直线y＝(x－1)，得yN＝ ， 故N点坐标为，所以△F1MN的面积S＝|F1F2|·|yM－yN|＝×2c×＝，故B错误． 对于C，因为a＝2，c＝1，所以C的离心率e＝＝，故C正确． 对于D，设P(x0，y0)，则d＝4－x0. 因为＋＝1，所以y02＝3×， 则＝ ＝＝ ＝＝，故D正确． 故选ACD. 13．(2024·湖南长沙长郡中学模拟)已知双曲线C经过点，且与椭圆Γ：＋y2＝1有公共的焦点F1，F2，点M为椭圆Γ的上顶点，点P为C上一动点，O为坐标原点，则(　　) A．双曲线C的离心率为 B．sin ∠MOP> C．当P为C与Γ的交点时，cos ∠F1PF2＝ D．|PM|的最小值为1 答案　ACD 解析　由题意，不妨令F1(－1，0)，F2(1，0)，设双曲线的标准方程为－＝1，0<a2<1，将点代入得a2＝或a2＝3(舍去)，所以双曲线方程为－＝1，得其离心率e＝＝＝，故A正确； 由A的分析知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设N为双曲线渐近线与椭圆的交点，如图，∠MON＝，所以<∠MOP<，得<sin ∠MOP≤1，故B错误； 由椭圆和双曲线的对称性，不妨令P为双曲线和椭圆在第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝，解得|PF1|＝，|PF2|＝，又|F1F2|＝2，在△F1PF2中，由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝，故C正确； 设P(x0，y0)，则x02－y02＝，M(0，1)，所以|PM|＝＝＝，当y0＝时，|PM|min＝1，故D正确．故选ACD. 14．(2024·福建福州模拟)已知F1，F2分别为椭圆Γ：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点，P为平面上一点，若·＝0，则(　　) A．当P为Γ上一点时，△PF1F2的面积为1 B．当P为Γ上一点时，＋的值可以为1 C．当满足条件的点P均在Γ内部时，Γ的离心率小于 D．当点P在Γ的外部时，在Γ上必存在点M，使得·＝0 答案　ACD 解析　对于A，因为P点在椭圆上，不妨设P点在第一象限，所以|PF1|＋|PF2|＝2a， 又因为·＝0⊥，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝4(a2－1). 所以2|PF1|·|PF2|＝4，|PF1|·|PF2|＝2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝1，故A正确； 对于B，因为|PF1|·|PF2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以＋＝＝＝a，而a>1， 所以＋不可能为1，故B错误； 对于C，如图， 当P在椭圆内部时，由题意可知P点在以F1F2为直径的圆上，则c<1c2<a2－c20<<，故C正确； 对于D，如图， 当P在椭圆Γ的外部时，因为a>c，所以以F1F2为直径的圆与椭圆Γ必有交点，不妨设为M，则·＝0，故D正确． 故选ACD. 三、填空题 15．(2024·菏泽一模)已知斜率为的直线过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且交双曲线右支于A，B两点，A在第一象限，若|OF|＝|AF|，则C的离心率为________． 答案　 解析　过A作AD⊥x轴，垂足为D. 因为直线AB的斜率为，则∠AFD＝60°，|AF|＝|OF|＝c，∴|AD|＝c，|DF|＝c，所以A. 因为A在双曲线－＝1上，则－＝1，解得e＝. 16．(2024·湖北武汉模拟)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|＝________． 答案　 解析　设线段AF2的中垂线与AF2相交于点M，由椭圆＋＝1的方程可知，a＝3，b＝，c＝2.连接AF1，BF1，由已知得|AF1|＝|F1F2|＝2c＝4，因为点A在椭圆上，根据椭圆定义有|AF1|＋|AF2|＝2a＝6，所以|AF2|＝2，|AM|＝|MF2|＝1，在Rt△F1F2M中，cos ∠F1F2M＝＝，因为∠F1F2M＋∠F1F2B＝π，所以cos ∠F1F2B＝－，又点B在椭圆上，根据椭圆定义有|BF1|＋|BF2|＝2a＝6，设|BF2|＝m，则|BF1|＝6－m，又|F1F2|＝4，所以在△F1F2B中，由余弦定理得cos ∠F1F2B＝＝＝－，解得m＝，即|BF2|＝. 17．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上一点，线段PF1与C的左支交于点M.若∠F1PF2＝，且|PM|＝|PF2|，则C的离心率为________． 答案　 解析　连接MF2.因为点P是C右支上一点，线段PF1与C的左支交于点M，且|PM|＝|PF2|，∠F1PF2＝，所以△PMF2为等边三角形，所以|PM|＝|PF2|＝|MF2|，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝|PM|＋|MF1|－|PF2|＝|MF1|＝2a，又由|MF2|－|MF1|＝|MF2|－2a＝2a，解得|MF2|＝4a，则|PM|＝|PF2|＝|MF2|＝4a且|PF1|＝|PM|＋|MF1|＝4a＋2a＝6a，在△F1PF2中，由余弦定理得cos ＝＝，整理得c2＝7a2，所以双曲线的离心率为e＝＝. 18．费马原理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线(F1，F2为焦点)上一点，点P处的切线平分∠F1PF2.已知双曲线C：－＝1，O为坐标原点，l是点P处的切线，过左焦点F1作l的垂线，垂足为M，则|OM|＝________． 答案　2 解析　设右焦点为F2，如图，连接PF2并延长交F1M延长线于点N，由题意知点M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，所以点M为F1N的中点，所以|PN|＝|PF1|.又点O为F1F2的中点，且|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以|OM|＝|F2N|＝(|PN|－|PF2|)＝(|PN|－|PF1|＋4)＝2. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$