2025年高考数学二轮复习重点专题训练·椭圆、双曲线的方程与性质

2025高考二轮复习重点专题训练 椭圆、双曲线的方程与性质 一、单项选择题 1．(2024·南通模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±3x，则双曲线的离心率是(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．3 答案　A 解析　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝3，所以e＝＝＝.故选A. 2．(2024·广东汕头期末)已知椭圆＋＝1，F是其左焦点，点A(1，1)是椭圆内一点，点P是椭圆上任意一点，若|PA|＋|PF|的最大值为Dmax，最小值为Dmin，那么Dmax＋Dmin＝(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 答案　C 解析　由题意可知F(－1，0)，设椭圆的右焦点为F′(1，0)，连接PF′，如图，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋(4－|PF′|)＝4＋|PA|－|PF′|， 连接AF′并向两边延长，交椭圆于M，N，当点P与点M重合时，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|， 当点P与点N重合时，|PA|－|PF′|取到最小值－|AF′|， 所以|PA|－|PF′|的取值范围是[－|AF′|，|AF′|]，即[－1，1]， 所以Dmax＝5，Dmin＝3， 所以Dmax＋Dmin＝8.故选C. 3．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，且＝2，则△AF1B的外接圆面积为(　　) A． B．4π C．9π D． 答案　D 解析　a＝3，b＝2，c＝， 令|BF2|＝t，则|AF2|＝2t， ∵＋＝，∴＋＝t＝1， ∴|BF2|＝1，|AF2|＝2， 由椭圆定义知|BF1|＝5，|AF1|＝4， ∴△AF1B中，|AB|＝3，|AF1|＝4，|BF1|＝5， ∴AF1⊥AB， ∴△AF1B外接圆半径R＝＝，其面积为. 4．(2024·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 答案　D 解析　由e＝，得＝，即a＝2c①，设△F1PF2的内切圆的半径为r， 因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)， 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知S△F1PF2＝b2tan ＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c)②，又a2＝b2＋c2③， 联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. 5．(2024·天一大联考)从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆O：x2＋y2＝a2的切线交双曲线右支于P点，若M为线段PF的中点，则以PF为直径的圆与圆O的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 答案　C 解析　设F′是双曲线的右焦点，连接PF′，MO. ∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点， 由三角形中位线定理得|OM|＝|PF′|＝(|PF|－2a)＝|PF|－a＝|MF|－a， 即圆心距等于两圆的半径之差， ∴以线段PF为直径的圆与圆O：x2＋y2＝a2的位置关系是内切．故选C. 6．(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 答案　D 解析　由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，且四边形AF1BF2为平行四边形，令|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m，由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，所以·＝||·||cos ∠AF2B＝4a×2a cos ∠AF2B＝4a2，则cos ∠AF2B＝，易知∠AF2B＝， 故∠F2BF1＝， 则有cos ∠F2BF1＝ ＝＝－，即＝－，即－＝－，则e2＝7，又e>1，故e＝.故选D. 7．(2024·广东东莞模拟预测)若双曲线C：－＝1(a>0)的右支上存在A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)到点P(5a，0)的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) 答案　A 解析　由题意可得－＝1，－＝1，两式相减得＝. 连接AB，易知直线AB的斜率存在且不为0，设AB的斜率为k，线段AB的中点为M(x0，y0)，易知x0＞a，则k＝·＝. 连接PM，由题意可得PM⊥AB，则＝－，则x0＝，又x0＞a，∴＞a， 解得a＞1，所以e＝＜＝，又因为双曲线中e＞1，所以e∈(1，).故选A. 8．(2024·河北名校联盟第一次联考)点F(2，0)为等轴双曲线C的一个焦点，O为坐标原点，过F作x轴的垂线与C的两渐近线分别交于A，B两点，则△AOB的面积为(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 答案　B 解析　由题意可知，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，c＝2，所以由得或不妨令A(2，2)，B(2，－2)，所以△AOB的面积为×|AB|·|OF|＝×4×2＝4.故选B. 9.(2024·贵州省凯里一中模拟)某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为(　　) A．米 B．米 C．米 D．米 答案　B 解析　根据椭圆的定义知△PQF1的周长为|PQ|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝3×2c， 即2a＝3c①， 由该椭球横截面的最大直径为2米，可知2b＝2，得b＝1， 又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝c2＋1②， 联立①②可得c＝，a＝， 所以该椭球的高为2a＝米．故选B. 10．(2024·四川雅安三模)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，其中a>b>0且双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则下列关系中正确的是(　　) A．e12＋e22＝3 B．1<e2<2 C．<e1<1 D．<e1e2<1 答案　D 解析　由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则0<<， 所以e1＝＝>，又e1∈(0，1)，所以e1∈，所以C不正确； e2＝<＝，又e2＞1，所以e2∈，所以B不正确； e12＋e22＝1－＋1＋＝2，所以A不正确； e1e2＝＝>＝，且e1e2<1，则<e1e2<1，所以D正确．故选D. 二、多项选择题 11．(2024·湖北八市联考)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y＝的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则(　　) A．y＝－x是其图象的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点(2，2)是它的一个焦点 D．||PM|－|PN||＝2 答案　ABD 解析　如图，y＝的图象关于直线y＝－x对称，A正确． 易知两渐近线的夹角为，则＝tan ＝1，∴＝＝，B正确． y＝的图象的另一条对称轴为直线y＝x，∴M，N在直线y＝x上，由得或即两顶点为(1，1)，(－1，－1)，则2a＝2，a＝，又＝，∴c＝2，|OM|＝|ON|＝2，又M，N在直线y＝x上，∴(，)是它的一个焦点，C错误． ||PM|－|PN||＝2a＝2，D正确． 12．(2024·江苏七市调研)已知双曲线C：－＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　) A．C的虚轴长为2 B．C的离心率为 C．|PF|的最小值为2 D．若直线PF的斜率存在，则直线PF的斜率不等于－ 答案　AD 解析　由题意，a＝2，－＝－，∴b＝，则虚轴长为2，A正确；c＝＝，离心率＝，B错误；|PF|min＝＝，C错误；直线l的斜率为－，故若直线PF的斜率存在，则PF的斜率不可能为－，D正确． 13．(2024·安徽合肥一模)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则(　　) A．存在点M，使∠AMB＝120° B．·＝2· C．·的最小值为－ D．△FMN周长的最大值为8 答案　BCD 解析　对于A，设椭圆的上顶点为E，连接AE，BE，在直角三角形BOE中(O为原点)，tan ∠OEB＝＝＝<，所以∠OEB＜，则∠AEB<，所以∠AMB＜120°，故A错误； 对于B，设M(m，n)(－2＜m＜2)，则T(m，0)，N(m，－n)，且＋＝1，即4－m2＝2n2，又A(－2，0)，B(2，0)， 则·＝(－2－m，0)·(2－m，0)＝－(2＋m)(2－m)＝－(4－m2)＝－2n2， 又2·＝－2n2，故·＝2·，故B正确； 对于C，F(－，0)，则·＝(m＋，n)·(m＋，－n)＝(m＋)2－n2＝(m＋)2－＝＋2m，又－2<m<2， 则当m＝－时，·取得最小值，为－，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′，△FMN的周长为|MF|＋|NF|＋|MN|＝4－|MF′|＋4－|NF′|＋|MN|＝8－(|MF′|＋|NF′|－|MN|)≤8，当M，N，F′三点共线时，等号成立，故D正确．故选BCD. 14．(2024·佛山质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且tan ∠BF1F2＝，点P在C上，线段PF1与BF2交于Q，＝2，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得KF1⊥KF2 C．直线PF1的斜率为 D．PF1平分∠BF1F2 答案　ACD 解析　由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，所以tan ∠BF1F2＝＝＝(O为坐标原点)，所以b＝c，所以a＝＝4c，所以椭圆C的方程为＋＝1，因为＝2，所以Q为线段BF2上靠近点F2的三等分点，所以Q.对于A，椭圆C的离心率e＝＝，故正确；对于B，设K(x0，y0)，则＋＝1，所以y02＝15c2－，因为·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x02＋y02－c2＝＋14c2>0，故不正确；对于C，kPF1＝kQF1＝＝，故正确；对于D，直线BF1的方程为y＝(x＋c)，即x－y＋c＝0，点Q到直线BF1的距离d1＝＝，又点Q到直线F1F2的距离d2＝yQ＝c，所以d1＝d2，所以PF1平分∠BF1F2，故正确．故选ACD. 三、填空题 15．(2024·全国高考冲刺压轴卷(一))已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，点A，B是C上不同的两点，若＝－3，|BF2|＝|AF2|，则椭圆C的离心率为________． 答案　 解析　设C的半焦距为c，由＝－3可知，A，F1，B三点共线，且|AF1|＝3|BF1|，设|BF1|＝m，则|AF1|＝3m.由椭圆的定义，得|AF2|＝2a－3m，|BF2|＝2a－m，由|BF2|＝|AF2|，得2a－m＝(2a－3m)，则m＝，所以|BF1|＝，|AF1|＝，|AF2|＝，|BF2|＝，又|F1F2|＝2c，由cos ∠AF1F2＋cos ∠BF1F2＝0，得＋＝0，整理得，c2－a2＝0，所以＝，故椭圆C的离心率为e＝＝. 16．(2024·福建省质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为________． 答案　4 解析　由于双曲线的两条渐近线关于x轴对称，故不妨设PF2与渐近线y＝x交于M，O为原点，则F2M⊥OM，tan ∠MOF2＝，sin ∠MOF2＝，所以|F2M|＝|OF2|·sin ∠MOF2＝b，|OM|＝＝a，由O，M分别是F1F2与PF2的中点，知OM∥PF1且|OM|＝|PF1|＝1，即a＝1，由e＝得c＝，则b＝2，所以S△PF1F2＝4S△OMF2＝4××2×1＝4. 17．(2024·河北衡水三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M(1，1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB的中点，则△AF1B的周长为________． 答案　12 解析　由题意知F1(－3，0)，F2(3，0)， 设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， ∴＋＝1，＋＝1， 两式相减得＋＝0， 由题意M(1，1)为AB中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 代入整理得＝－. 由题意知kAB＝kMF2＝＝－， 因此－＝－，所以a2＝2b2，c2＝b2，又c＝3，∴a＝3. 由椭圆的定义知△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝12. 18．(2024·河南郑州三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的点(不与坐标原点O重合)，点P在双曲线C上且＋＝2，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为________． 答案　2 解析　如图，由e＝＝＝可得a＝b，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 不妨设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，因为＋＝2，则点P为线段AB的中点，则P， 将其代入x2－y2＝a2中，整理得x1x2＝a2， 又|OA|＝|x1|，|OB|＝|x2|，且OA⊥OB，则△AOB的面积为×|x1|×|x2|＝|x1x2|＝6， 即a2＝6，解得a＝，故双曲线的实轴长为2. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练 椭圆、双曲线的方程与性质 一、单项选择题 1．(2024·南通模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±3x，则双曲线的离心率是(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．3 2．(2024·广东汕头期末)已知椭圆＋＝1，F是其左焦点，点A(1，1)是椭圆内一点，点P是椭圆上任意一点，若|PA|＋|PF|的最大值为Dmax，最小值为Dmin，那么Dmax＋Dmin＝(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 3．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，且＝2，则△AF1B的外接圆面积为(　　) A． B．4π C．9π D． 4．(2024·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 5．(2024·天一大联考)从双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆O：x2＋y2＝a2的切线交双曲线右支于P点，若M为线段PF的中点，则以PF为直径的圆与圆O的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 6．(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 7．(2024·广东东莞模拟预测)若双曲线C：－＝1(a>0)的右支上存在A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)到点P(5a，0)的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) 8．(2024·河北名校联盟第一次联考)点F(2，0)为等轴双曲线C的一个焦点，O为坐标原点，过F作x轴的垂线与C的两渐近线分别交于A，B两点，则△AOB的面积为(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 9.(2024·贵州省凯里一中模拟)某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3|F1F2|.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为(　　) A．米 B．米 C．米 D．米 10．(2024·四川雅安三模)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，其中a>b>0且双曲线的渐近线的斜率的绝对值小于，则下列关系中正确的是(　　) A．e12＋e22＝3 B．1<e2<2 C．<e1<1 D．<e1e2<1 二、多项选择题 11．(2024·湖北八市联考)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y＝的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则(　　) A．y＝－x是其图象的一条对称轴 B．它的离心率为 C．点(2，2)是它的一个焦点 D．||PM|－|PN||＝2 12．(2024·江苏七市调研)已知双曲线C：－＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　) A．C的虚轴长为2 B．C的离心率为 C．|PF|的最小值为2 D．若直线PF的斜率存在，则直线PF的斜率不等于－ 13．(2024·安徽合肥一模)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则(　　) A．存在点M，使∠AMB＝120° B．·＝2· C．·的最小值为－ D．△FMN周长的最大值为8 14．(2024·佛山质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且tan ∠BF1F2＝，点P在C上，线段PF1与BF2交于Q，＝2，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得KF1⊥KF2 C．直线PF1的斜率为 D．PF1平分∠BF1F2 三、填空题 15．(2024·全国高考冲刺压轴卷(一))已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，点A，B是C上不同的两点，若＝－3，|BF2|＝|AF2|，则椭圆C的离心率为________． 16．(2024·福建省质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为________． 17．(2024·河北衡水三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为6，点M(1，1)，直线MF2与C交于A，B两点，且M为AB的中点，则△AF1B的周长为________． 18．(2024·河南郑州三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的点(不与坐标原点O重合)，点P在双曲线C上且＋＝2，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$