2025年高考数学二轮复习重点专题训练·排列组合与二项式定理

2025高考二轮复习重点专题训练 排列组合与二项式定理 一、单项选择题 1．(2024·长沙模拟)若C20x＝C203x－4，则实数x的值为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．2或6 答案　D 解析　由C20x＝C203x－4，得或解得x＝2或x＝6， 所以实数x的值为2或6. 2．(2024·沧衡名校联考)某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为(　　) A．18 B．27 C．36 D．45 答案　C 解析　先选2人进行双打，再给这2人安排2场单打即可，所以每支队伍不同的出场安排种数为C32A42＝36. 3．(2024·武汉二月调研)将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　A 解析　红球记为甲，黑球记为乙，三个袋子记为A，B，C，6个球放入A，B，C三个袋子中有甲甲，甲乙，乙乙；甲甲，乙乙，甲乙；甲乙，乙乙，甲甲；甲乙，甲甲，乙乙；乙乙，甲乙，甲甲；乙乙，甲甲，甲乙；甲乙，甲乙，甲乙，共7种情况．故选A. 4．(2024·苏锡常镇一模)设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．－2 B．－1 C．242 D．243 答案　C 解析　当x＝0时，15＝a0，∴a0＝1；当x＝1时，35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35－1＝242.故选C. 5．(2024·辽宁模拟预测)的展开式中含x2项的系数为(　　) A．－120 B．－115 C．5 D．125 答案　B 解析　方法一：是5个(x2－－1)之积，展开后得到x2有两种可能： 1个取x2，4个取－1，得到含有x2的项为C51x2C44(－1)4＝5x2. 2个取x2，2个取－，1个取－1，得到含有x2的项为C52(x2)2C32C11(－1)1＝－120x2. 因此含x2项的系数为－120＋5＝－115. 方法二：＝， 展开式的通项为C5k(－1)5－k(k＝0，1，2，3，4，5)． C5k(－1)5－k的展开式的通项为C5kCkr(－1)5－k(－2)rx2k－3r(0≤r≤k，r∈N)． 由2k－3r＝2，得3r＝2(k－1)，则或 因此含x2项的系数为C51C10(－1)4(－2)0＋C54C42(－1)1(－2)2＝－115.故选B. 6．(2024·湖北荆州三模)已知(3x－1)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则a1＋a2＋…＋a2 024被3除的余数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　D 解析　令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝22 024，两式相减，得a1＋a2＋…＋a2 024＝22 024－1＝41 012－1，因为41 012＝(3＋1)1 012＝C1 012031 012＋C1 012131 011＋…＋C1 0121 0113＋C1 0121 012，其中C1 012031 012＋C1 012131 011＋…＋C1 0121 0113能被3整除，所以41 012被3除的余数为1，故a1＋a2＋…＋a2 024能被3整除．故选D. 7．(2024·南通调研)将5辆车停放在6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则不同的停放方法有(　　) A．72种 B．144种 C．108种 D．96种 答案　A 解析　方法一(插空法)：有A33A42＝72种方法． 方法二(分类＋分步法)：记6个并排车位为1，2，3，4，5，6， ①若货车甲停在1，2或5，6，有2种方法，乙车有3种方法，剩余三辆车全排列有A33种方法，故共有2×3×A33＝36(种)． ②若货车甲停在2，3或3，4或4，5，有3种方法，乙车有2种方法，剩余三辆车全排列有A33种方法，故共有3×2×A33＝36(种)． 所以共有36＋36＝72种停放方法． 方法三(反面＋捆绑法)：有A55－A22A44＝72种方法． 8．(2024·河北省高三质量监测)中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为如图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则该双面绣作品不同的色彩设计方法有(　　) A．144种 B．264种 C．288种 D．432种 答案　B 解析　四种颜色设为1，2，3，4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有A43种不同方法，对于其中的每一种再考虑反面设计，如正面颜色为1，2，3，则反面颜色也可选1，2，3，但每片花瓣正反两面不能同色，故对应有2，3，1和3，1，2两种．反面颜色也能选1，2，4，与正面1，2，3对应分别有2，1，4；2，4，1；4，1，2三种．同理反面颜色选1，3，4也有三种，反面选2，3，4也有三种，则当正面颜色为1，2，3时，反面颜色对应有11种，所以双面绣不同色彩设计方法共有A43×11＝264(种)．故选B. 9．(2024·江苏盐城阶段练习)3 600的正因数的个数是(　　) A．55 B．50 C．45 D．40 答案　C 解析　由题意3 600＝24×32×52，故可以从4个2中选择0，1，2，3，4个，有5种选法，同理从2个3中可以选择0，1，2个，有3种选法，从2个5中可以选择0，1，2个，有3种选法，因此正因数的个数是5×3×3＝45.故选C. 10．(2024·广东佛山期中)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左到右的数字之和记为an，如a1＝1＋1＝2，a2＝1＋2＋1＝4，…，{an}的前n项和记为Sn，则下列说法错误的是(　　) A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B．S9＝2 046 C．在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为Cn＋13 D.的前n项和为－ 答案　B 解析　在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是C107＝C103＝＝120，A正确；从第一行开始，每一行的数依次对应(a＋b)n的二项式系数，所以an＝(1＋1)n＝2n，{an}为等比数列，Sn＝＝2n＋1－2，所以S9＝210－2＝1 022，故B错误；＝－，所以的前n项和为－＋－＋…＋－＝－，故D正确；在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为C22＋C32＋C42＋…＋Cn2＝C33＋C32＋C42＋…＋Cn2＝C43＋C42＋…＋Cn2＝…＝Cn3＋Cn2＝Cn＋13，故C正确． 二、多项选择题 11．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动．高三一共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共有20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　) A．若1班不再分配名额，则共有C204种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C195种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 答案　BD 解析　对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，将20个名额分成5组，则共有C194种分配方法，故错误； 对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，将20个名额分成6组，则共有C195种分配方法，故B正确； 对于C、D，若每个班至少3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分到6个班级，分5类：①4个名额分到一个班，有6种；②一个班3个名额，一个班1个名额，有A62＝30(种)；③两个班都是2个名额，有C62＝15(种)；④两个班各1个名额，一个班2个名额，有C61×C52＝60(种)；⑤四个班都是1个名额，有C64＝15(种)，则共有126种分配方法，故C错误、D正确．故选BD. 12．(2024·四川南充阶段练习)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列说法正确的是(　　) A．a0＝1 B.＋＋＋＋＋＝63 C．a0＋a2＋a4＋a6＝730 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6＝2 916 答案　ABD 解析　令x＝0，得a0＝1，A正确；令x＝，得26＝a0＋＋＋＋＋＋＝64，即得＋＋＋＋＋＝63，B正确；令x＝1，得36＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，两式相加得36＋1＝2(a0＋a2＋a4＋a6)，得a0＋a2＋a4＋a6＝365，C错误；(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，两边求导，得12(2x＋1)5＝a1＋2a2x＋…＋6a6x5，令x＝1，得a1＋2a2＋…＋6a6＝12(2＋1)5＝2 916，D正确．故选ABD. 13．(2024·山东菏泽期中)现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是(　　) A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有一个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有一个空盒的放法共有2 160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有384种 答案　BC 解析　若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可，所以不同的放法种数为C53＝10，A错误；若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有4种情况，然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为4C52＝40，B正确；若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有4种情况，然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1，2，3或4，1，1或2，2，2，然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中，所以不同的放法种数为4A33＝2 160，C正确；若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，先要指定空盒的编号，有C42＝6种情况，然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1，5或2，4或3，3，然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中，所以，不同的放法种数为6(C61＋C62＋)A22＝372，D错误．故选BC. 三、填空题 14．(2024·上海普陀区三模)用1～9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有________个． 答案　840 解析　1～9这九个数字中有5个奇数和4个偶数， 要使四位数是各个数位上数字和为偶数的奇数，则个位数字必须为奇数， 前三位数字由1个奇数和2个偶数或3个奇数组成， 所以共有C51(C41C42A33＋C43A33)＝5×6(24＋4)＝840(个)． 15．(2024·湖北名校联考)新高考数学中的多项选择题有4个不同选项，其中错误选项可能有1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求．若某道数学多项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有________种． 答案　36 解析　当错误选项恰有1个时，4个选项进行排列有A44＝24(种)； 当错误选项恰有2个时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中，有A22×A32＝12(种)．故共有24＋12＝36种不同的排列方式． 16．(2024·河南名校联考)数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为________． 答案　240 解析　有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，则5名同学分成2，1，1，1四组，共有＝10种分法，再将四组学生分配给四种曲线，一共有A44＝24种情况，则可能的安排方案的种数为10×24＝240. 17．(2024·江西九江期末)二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，(1＋x)α＝1＋·x＋·x2＋·xk＋…，当|x|比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得(1＋x)α≈1＋α·x，并且|x|的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：＝＝＝2≈2×＝2.25.用这样的方法，估计的近似值约为________．(精确到小数点后两位数) 答案　3.07 解析　＝3＝3≈3×＝3＋≈3.07. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练 排列组合与二项式定理 一、单项选择题 1．(2024·长沙模拟)若C20x＝C203x－4，则实数x的值为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．2或6 2．(2024·沧衡名校联考)某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为(　　) A．18 B．27 C．36 D．45 3．(2024·武汉二月调研)将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 4．(2024·苏锡常镇一模)设(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．－2 B．－1 C．242 D．243 5．(2024·辽宁模拟预测)的展开式中含x2项的系数为(　　) A．－120 B．－115 C．5 D．125 6．(2024·湖北荆州三模)已知(3x－1)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则a1＋a2＋…＋a2 024被3除的余数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 7．(2024·南通调研)将5辆车停放在6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则不同的停放方法有(　　) A．72种 B．144种 C．108种 D．96种 8．(2024·河北省高三质量监测)中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为如图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则该双面绣作品不同的色彩设计方法有(　　) A．144种 B．264种 C．288种 D．432种 9．(2024·江苏盐城阶段练习)3 600的正因数的个数是(　　) A．55 B．50 C．45 D．40 10．(2024·广东佛山期中)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左到右的数字之和记为an，如a1＝1＋1＝2，a2＝1＋2＋1＝4，…，{an}的前n项和记为Sn，则下列说法错误的是(　　) A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B．S9＝2 046 C．在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为Cn＋13 D.的前n项和为－ 二、多项选择题 11．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动．高三一共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共有20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　) A．若1班不再分配名额，则共有C204种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有C195种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 12．(2024·四川南充阶段练习)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列说法正确的是(　　) A．a0＝1 B.＋＋＋＋＋＝63 C．a0＋a2＋a4＋a6＝730 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6＝2 916 13．(2024·山东菏泽期中)现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是(　　) A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有一个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有一个空盒的放法共有2 160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有384种 三、填空题 14．(2024·上海普陀区三模)用1～9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数共有________个． 15．(2024·湖北名校联考)新高考数学中的多项选择题有4个不同选项，其中错误选项可能有1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求．若某道数学多项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有________种． 16．(2024·河南名校联考)数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为________． 17．(2024·江西九江期末)二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，(1＋x)α＝1＋·x＋·x2＋·xk＋…，当|x|比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得(1＋x)α≈1＋α·x，并且|x|的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：＝＝＝2≈2×＝2.25.用这样的方法，估计的近似值约为________．(精确到小数点后两位数) 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$