2025年高考数学二轮复习重点专题训练·直线与圆、圆与圆

2025高考二轮复习重点专题训练·直线与圆、圆与圆 一、单项选择题 1．(2024·北京东城区期末)已知直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0，圆O：x2＋y2＝16，下列说法错误的是(　　) A．对任意实数a，直线l与圆O恒有两个不同的公共点 B．当且仅当a＝－时，直线l被圆O所截弦长为4 C．对任意实数a，圆O不关于直线l对称 D．存在实数a，使得直线l与圆O相切 答案　D 解析　直线l：a(x＋y)＋y＋2＝0，由解得即直线l恒过定点A(2，－2)，圆O的半径r＝4，连接OA，|OA|＝＝2<4，即点A(2，－2)在圆O内，所以对任意实数a，直线l与圆O恒有两个不同的公共点，A正确，D错误． 易知直线l不过圆O的圆心，因此对任意实数a，圆O不关于直线l对称，C正确． 直线OA的斜率k＝－1，当a＝－时，直线l的斜率为－＝1，因此直线l⊥OA.此时直线l被圆O所截弦是过点A的最短弦，最短弦长为2＝4，因此当且仅当a＝－时，直线l被圆O所截弦长为4，B正确．故选D. 2．(2024·山东沂水一中模拟)已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8，从圆心C射出的光线被直线x＋y＝0反射后，反射光线恰好与圆C相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．或－　　　　　　 B．2＋或2－ C．2＋或2－ D．1＋或1－ 答案　C 解析　圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心为C(2，2)，设圆心C(2，2)关于直线x＋y＝0的对称点为C′(m，n)，则解得即C′(－2，－2)，易知反射光线所在的直线经过点C′(－2，－2)且斜率存在，设反射光线所在的直线斜率为k，则反射光线所在的直线方程为kx－y＋2k－2＝0，因为反射光线恰好与圆C相切，所以＝2，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝2＋或k＝2－.故选C. 3．(2024·衡水中学调研)已知圆C1：x2＋y2＝4上有一动点P，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝1上有一动点Q，直线l：x－y＋3＝0上有一动点M，直线PM与圆C1相切，直线QM与圆C2相切，则|PM|＋|QM|的最小值为(　　) A．4 B．5 C．2 D． 答案　D 解析　由已知得C1(0，0)，C2(2，3)， 设直线l：x－y＋3＝0上动点M(x0，x0＋3)， 连接C1M，C2M，则|PM|＝＝， |QM|＝＝， 则|PM|＋|QM| ＝＋ ＝ ＝. 设A，B，N(x0，0)，连接AN，BN，AB， 则|PM|＋|QM|＝(|AN|＋|BN|)≥|AB|＝， 当A，B，N三点共线时取等号．故选D. 4．(2024·江苏大学考前指导卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－ay－1＝0与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B两点，则|＋|的最大值为(　　) A．2(1＋) B．2(1＋) C．2(2＋) D．2(3＋) 答案　A 解析　由题意可知，直线l：x－ay－1＝0过定点P(1，0)， 圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝9，可知圆心为C(1，－2)，半径r＝3， 取线段AB的中点D，连接CD，CP，则CD⊥AB，可知点D的轨迹为以CP的中点M(1，－1)为圆心，半径R＝|CP|＝1的圆， 连接OD，OM，可得|＋|＝|2|≤2(R＋|OM|)＝2(1＋)， 当D为OM的延长线与圆M的交点时，等号成立， 所以|＋|的最大值为2(1＋).故选A. 5．(2024·华大联盟3月测评)已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|＝0，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　易知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0上，曲线C关于原点中心对称，而d＝表示曲线C上的点(a，b)到直线l：x＋y－3＝0的距离，如图，易知(a，b)在(1，1)处时d取最小值，为，在(－1，－1)处时d取最大值，为，故|a＋b－3|的最小值与最大值之和为1＋5＝6.故选C. 6．(2024·山东烟台三模)若圆x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0与x轴没有交点，则实数a的取值范围为(　　) A．(2，6) B．(3，5) C．(2，3)∪(5，6) D．(2，3)∪(6，＋∞) 答案　C 解析　x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0即＋＝a2－2a＋，由a2－2a＋>0，解得a<3或a>5，且其圆心坐标为，若该圆与x轴没有交点，则>，解得a∈(2，3)∪(5，6).故选C. 7．(2024·全国高考冲刺)已知点A为圆E：x2＋(y－1)2＝1上一动点，过A作圆C：x2＋y2＋6x＋6y＋9＝0的两条切线，切点分别为B，D，则四边形ABCD的面积的最小值为(　　) A．6 B．3 C．3 D．2 答案　C 解析　由题意知圆E：x2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为E(0，1)，半径为1，圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝9，则圆心C为(－3，－3)，半径|BC|＝3，连接AC，EC，要使四边形ABCD的面积最小，则△ABC的面积最小，则只需|AB|最小．又|AB|＝，所以只需|AC|最小，因为点A为圆E上一动点，所以|AC|min＝|EC|－1＝－1＝4，则|AB|min＝＝，所以四边形ABCD的面积的最小值S＝2(S△ABC)min＝2×|AB|min·|BC|＝2×××3＝3.故选C. 8．(2024·沧州七校联考)过点P(1，2)作圆O：x2＋y2＝10相互垂直的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为(　　) A．6 B．2 C．9 D．15 答案　D 解析　易知P在圆O内，连接OP，设圆心O到AB和CD的距离分别为d1和d2，所以d12＋d22＝|OP|2＝5， ＝＝，＝＝. 四边形ACBD的面积S＝|AB|×|CD|＝2· ＝2 ＝2， 又5＝d12＋d22≥2d1·d2，所以d12·d22≤， 当且仅当d1＝d2＝时，等号成立， 所以S＝2≤2＝15.故选D. 9．(2024·江西鹰潭三模)已知m∈R，直线l1：mx＋y＋2m＝0与l2：x－my＋4m＝0的交点P在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，则r的最大值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．3 答案　D 解析　易知直线l1：mx＋y＋2m＝0恒过定点A(－2，0)，直线l2：x－my＋4m＝0恒过定点B(0，4)，且m×1＋1×(－m)＝0，易知直线l1与l2互相垂直，即可得∠APB＝90°，连接AB，所以P点轨迹是以AB为直径的圆，圆心为AB的中点(－1，2)，半径为，可得P点轨迹方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.又因为P点在圆C上，所以可得圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5与圆C有公共点，当两圆内切(圆C在外)时，r取得最大值，此时满足＝r－，解得r＝3.故选D. 10．(2024·皖南八校联考)已知AB是圆O：x2＋y2＝2的直径，M，N是圆O上两点，且∠MON＝120°，则(＋)·的最小值为(　　) A．0 B．－2 C．－4 D．－4 答案　C 解析　连接MN，设MN的中点为C，连接OC，如图， ∵∠MON＝120°，|OM|＝|ON|＝， ∴|OC|＝sin 30°＝， ∵C为MN的中点，∴＋＝2， 设向量与的夹角为θ(0≤θ≤π)， ∴(＋)·＝2·＝2||||cos θ＝4cos θ， 又cos θ∈[－1，1]，∴(＋)·的最小值为－4.故选C. 二、多项选择题 11．(2024·浙江温州二模)已知圆C1：x2＋y2＝6与圆C2：x2＋y2＋2x－a＝0相交于A，B两点．若S△C1AB＝2S△C2AB，则实数a的值可以是(　　) A．10 B．2 C． D． 答案　BD 解析　由题意可得弦AB所在的直线方程为2x＋6－a＝0，设圆心C1(0，0)与圆心C2(－1，0)到直线AB的距离分别为d1，d2，因为S△C1AB＝2S△C2AB，即|AB|d1＝2×|AB|·d2，所以d1＝2d2，又d1＝，d2＝，即＝2×，化简可得3a2－20a＋28＝0，即(3a－14)(a－2)＝0，解得a＝2或a＝.故选BD. 12．(2024·湖南长沙三模)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，则(　　) A．直线l恒过定点(－1，1) B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与圆C可能相切 D．若圆C与圆x2＋y2－2x＋8y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝8 答案　AD 解析　由直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)＋x＋2y－1＝0， 因为m∈R，则满足解得 所以直线恒过定点(－1，1)，故A正确． 因为直线l过定点(－1，1)，又(－1＋2)2＋12<4， 所以定点在圆内，则直线l与圆C一定相交，故C错误． 因为当m＝0时，直线l为x＋2y－1＝0， 则圆心C(－2，0)到直线l的距离为d＝＝， 则此时直线l与圆相交所得劣弧的顶点到直线l的距离d1＝2－∈(0，1)， 所以圆上只有2个点到直线l的距离为1，故B错误． 由圆的方程x2＋y2－2x＋8y＋a＝0可得，(x－1)2＋(y＋4)2＝17－a， 所以圆心为(1，－4)，半径为，a＜17， 因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切， 则＝5＝2＋，解得a＝8，故D正确．故选AD. 13．(2024·山东青岛适应性检测)已知动点M，N分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则(　　) A．圆C2的半径为3 B．圆C1和圆C2相离 C．|PM|＋|PN|的最小值为2 D．过点P作圆C1的切线，则切线长最短为 答案　BD 解析　圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝. 对于A，圆C2的半径为，A错误； 对于B，连接C1C2，|C1C2|＝2>1＋，则圆C1和圆C2相离，B正确； 对于C，圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1，PC1，PC2，PC0， 由圆的性质得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－＝|PC0|＋|PC2|－1－≥|C0C2|－1－＝2－1－，当点P与P1重合，且M，N分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，C错误； 对于D，设点P(t，0)，切点为A，连接AC1，过点P的圆C1的切线长|PA|＝＝≥， 当t＝1，即P(1，0)时取等号，D正确．故选BD. 14．(2024·安徽阶段测试)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A．当x≠0时，的最小值是－ B．的最大值是 C．y－x的最小值是2－ D．x2＋y2的最小值是1 答案　BCD 解析　由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆．设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率，由y＝kx(x≠0)，则≤1，解得k≥或k≤－，所以－≤＝≤，故A错误，B正确； 设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时直线在y轴上的截距， 则≤1，解得2－≤b≤2＋，即y－x的最小值是2－，故C正确； x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，易知当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故D正确．故选BCD. 三、填空题 15．(2024·福建莆田三模)已知A(－1，0)，B(0，1)，M是平面内一动点，且＝，则点M的轨迹方程为________．若点P在圆D：(x－2)2＋y2＝36上，则2|PA|＋|PB|的最小值是________． 答案　x2＋y2－2x－4y＋1＝0　 解析　设M(x，y)，则＝， 整理得点M的轨迹方程为x2＋y2－2x－4y＋1＝0. 设P(x1，y1)，则(x1－2)2＋y12＝36， 故2|PA|＝2 ＝ ＝ ＝. 令C(－10，0)，连接PC，BC(图略)，则2|PA|＋|PB|＝|PC|＋|PB|≥|BC|＝，当P在线段BC上时取等号． 16．(2024·辽宁沈阳模拟预测)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点________． 答案　 解析　根据题意，P为直线l：x＋y＋2＝0上的动点，设P的坐标为(t，－2－t)， 连接AC，BC，PC(图略)，则PA⊥AC，PB⊥BC， 则点A，B在以PC为直径的圆上， 又由C(0，0)，P(t，－2－t)，则以PC为直径的圆的方程为x(x－t)＋y(y＋2＋t)＝0， 变形可得x2＋y2－tx＋(t＋2)y＝0， 由可得1－tx＋(t＋2)y＝0， 变形可得1＋2y－t(x－y)＝0，即直线AB的方程为1＋2y－t(x－y)＝0， 由可得 故直线AB过定点. 17．(2024·安庆示范性高中4月联考)由函数f(x)＝ln x图象上一点P向圆C：x2＋(y－2)2＝4引两条切线，切点分别为点A，B，连接AB，当直线AB在x轴的截距最大时，直线AB的方程为________，此时cos ∠APB＝________． 答案　ex－y－2＝0　 解析　设点P(t，ln t)，连接PC，则以线段PC为直径的圆的方程为x(x－t)＋(y－2)(y－ln t)＝0，整理得x2＋y2－tx－(2＋ln t)y＋2ln t＝0，将此方程与圆C的方程相减，得直线AB：tx＋(ln t－2)y－2ln t＝0，令y＝0，则x＝，构造函数g(t)＝，对其求导得g′(t)＝，令g′(t)＝0，则t＝e，于是函数g(t)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，其最大值为g(e)＝，此时直线AB的方程为ex－y－2＝0，P(e，1)，|PC|＝，sin ∠APC＝＝，于是cos ∠APB＝cos 2∠APC＝1－2sin2∠APC＝. 18．(2024·衡水中学调研)将函数y＝－(x∈[0，2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的范围是________． 答案　 解析　函数y＝－(x∈[0，2])的图象是圆(x－1)2＋(y＋)2＝4在x轴及其上方的部分，易知(0，0)在圆(x－1)2＋(y＋)2＝4上，设圆在点(0，0)处的切线为y＝kx，则＝2，故k＝，从而该切线的倾斜角为.要使所得曲线为函数的图象，则θ的最大值为切线y＝x逆时针旋转到与y轴重合时所转过的角度，即－＝.所以θ的范围是. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考二轮复习重点专题训练·直线与圆、圆与圆 一、单项选择题 1．(2024·北京东城区期末)已知直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0，圆O：x2＋y2＝16，下列说法错误的是(　　) A．对任意实数a，直线l与圆O恒有两个不同的公共点 B．当且仅当a＝－时，直线l被圆O所截弦长为4 C．对任意实数a，圆O不关于直线l对称 D．存在实数a，使得直线l与圆O相切 2．(2024·山东沂水一中模拟)已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8，从圆心C射出的光线被直线x＋y＝0反射后，反射光线恰好与圆C相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．或－　　　　　　 B．2＋或2－ C．2＋或2－ D．1＋或1－ 3．(2024·衡水中学调研)已知圆C1：x2＋y2＝4上有一动点P，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝1上有一动点Q，直线l：x－y＋3＝0上有一动点M，直线PM与圆C1相切，直线QM与圆C2相切，则|PM|＋|QM|的最小值为(　　) A．4 B．5 C．2 D． 4．(2024·江苏大学考前指导卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－ay－1＝0与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B两点，则|＋|的最大值为(　　) A．2(1＋) B．2(1＋) C．2(2＋) D．2(3＋) 5．(2024·华大联盟3月测评)已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|＝0，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 6．(2024·山东烟台三模)若圆x2＋y2＋ax＋y＋2a－3＝0与x轴没有交点，则实数a的取值范围为(　　) A．(2，6) B．(3，5) C．(2，3)∪(5，6) D．(2，3)∪(6，＋∞) 7．(2024·全国高考冲刺)已知点A为圆E：x2＋(y－1)2＝1上一动点，过A作圆C：x2＋y2＋6x＋6y＋9＝0的两条切线，切点分别为B，D，则四边形ABCD的面积的最小值为(　　) A．6 B．3 C．3 D．2 8．(2024·沧州七校联考)过点P(1，2)作圆O：x2＋y2＝10相互垂直的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为(　　) A．6 B．2 C．9 D．15 9．(2024·江西鹰潭三模)已知m∈R，直线l1：mx＋y＋2m＝0与l2：x－my＋4m＝0的交点P在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)上，则r的最大值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．3 10．(2024·皖南八校联考)已知AB是圆O：x2＋y2＝2的直径，M，N是圆O上两点，且∠MON＝120°，则(＋)·的最小值为(　　) A．0 B．－2 C．－4 D．－4 二、多项选择题 11．(2024·浙江温州二模)已知圆C1：x2＋y2＝6与圆C2：x2＋y2＋2x－a＝0相交于A，B两点．若S△C1AB＝2S△C2AB，则实数a的值可以是(　　) A．10 B．2 C． D． 12．(2024·湖南长沙三模)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m＝0(m∈R)，则(　　) A．直线l恒过定点(－1，1) B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l与圆C可能相切 D．若圆C与圆x2＋y2－2x＋8y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝8 13．(2024·山东青岛适应性检测)已知动点M，N分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则(　　) A．圆C2的半径为3 B．圆C1和圆C2相离 C．|PM|＋|PN|的最小值为2 D．过点P作圆C1的切线，则切线长最短为 14．(2024·安徽阶段测试)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A．当x≠0时，的最小值是－ B．的最大值是 C．y－x的最小值是2－ D．x2＋y2的最小值是1 三、填空题 15．(2024·福建莆田三模)已知A(－1，0)，B(0，1)，M是平面内一动点，且＝，则点M的轨迹方程为________．若点P在圆D：(x－2)2＋y2＝36上，则2|PA|＋|PB|的最小值是________． 16．(2024·辽宁沈阳模拟预测)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点________． 17．(2024·安庆示范性高中4月联考)由函数f(x)＝ln x图象上一点P向圆C：x2＋(y－2)2＝4引两条切线，切点分别为点A，B，连接AB，当直线AB在x轴的截距最大时，直线AB的方程为________，此时cos ∠APB＝________． 18．(2024·衡水中学调研)将函数y＝－(x∈[0，2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的范围是________． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$