2025年高考数学二轮复习重点专题训练·选择题与填空题的解法

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后，关闭 Word 文档返回原板块。 专题训练•作业(四十一) 一、单项选择题 1．(2024·河南信阳模拟)动点P在函数y＝－(x＋1)(x>0)的图象上，以P为切点的切线的倾斜角的取值范围是(　　) A.　　　　　　　 B.∪ C. D. 答案　C 解析　(直接法)设以P点为切点的切线的倾斜角为θ，因为函数y＝－x－x(x>0)，所以y′＝－x－x＝－≤－×2＝－，当且仅当3＝，即x＝时取等号，又因为θ∈[0，π)，所以tan θ≤－，所以θ∈，故选C. 2．(2024·北京通州二模)下列函数中，是奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝－x3 C．f(x)＝tan x D．f(x)＝log|x| 答案　B 解析　(直接法)对于A，因为f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)不是奇函数，故A错误；对于B，因为f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又f′(x)＝－3x2<0在(0，＋∞)恒成立，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，故B正确；对于C，由正切函数的定义域可得函数f(x)＝tan x在(0，＋∞)上不连续，所以f(x)在区间(0，＋∞)上不单调，故C错误；对于D，因为f(－x)＝log|－x|＝log|x|≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故D错误，故选B. 3．(2024·广东梅州二模)三个函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<c<a 答案　B 解析　(直接法)因为函数y＝x3，y＝ex，y＝ln x，y＝x－3都是增函数，所以函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3均为增函数，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以函数f(x)的零点在(1，2)上，即a∈(1，2)，因为g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3>0，所以函数g(x)的零点在(2，3)上，即b∈(2，3)，因为h(0)＝－2<0，h(1)＝e－2>0，所以函数h(x)的零点在(0，1)上，即c∈(0，1)，所以c<a<b，故选B. 4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有(　　) A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a1＋a101＝0 D．a51＝51 答案　C 解析　(特例法)令an＝0，则a1＋a101＝0.选C. 5．(2024·河南阶段练习)函数f(x)＝的图象大致是(　　) 答案　A 解析　(排除法)因为f(x)＝，x∈，可知f(x)的定义域关于原点对称，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除D，当0<x<时，4cos x－2>0，则f(x)>0，排除B、C，故选A. 6．已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案　D 解析　(排除法)由题图，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除A.若f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)＝是奇函数，排除B.若f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)＝是奇函数，排除C.故选D. 7．(2024·湖北武汉第十一中学月考)元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜．小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，记事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，记事件B为“取到的2个为事物谜”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　(直接法)由题意可得，n(A)＝C42＋C22，n(AB)＝C42，所以P(B|A)＝＝＝，故选B. 8．已知F为抛物线y2＝x的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点C，若B为AC的中点，则|AB|＝(　　) A. B．1 C. D. 答案　A 解析　(二级结论法)如图，过A，B分别向准线l1作垂线，垂足依次为A1，B1，过B向AA1作垂线，垂足为B2，设直线l倾斜角为θ，∵B为AC中点，∴|AA1|＝2|BB1|＝2|AB2|.又|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， ∴|AB|＝3|AB2|.∴|BB2|＝2|AB2|，∴sin θ＝＝.∴|AB|＝＝＝.选A. 9．(2024·湖北黄冈模拟预测)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝，若＋＋＋…＋<1 000，则满足条件的最大整数n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　B 解析　(构造法)由题意可知＝－1，令bn＝，则bn＋1－1＝2(bn－1)，又b1－1＝－1＝1，所以{bn－1}是以1为首项，2为公比的等比数列，得bn－1＝2n－1，所以bn＝2n－1＋1，∴b1＋b2＋…＋bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＋n＝2n＋n－1，由2n＋n－1<1 000，解得n≤9.故选B. 10．已知函数f(x)＝－1，且f(4x－1)>f(3)，则实数x的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 答案　D 解析　(排除法)令x＝0，得f(0)＝0>f(3)＝－，成立，故排除A、C，又令x＝1，得f(3)>f(3)，显然不成立，故排除B.故选D. 11．(2023·上海)设a>0，函数y＝sin x在区间[a，2a]上的最小值为s，在区间[2a，3a]上的最小值为t，当a变化时，下列不可能成立的是(　　) A．s>0且t>0 B．s<0且t<0 C．s>0且t<0 D．s<0且t>0 答案　D 解析　令a＝，A成立；令a＝，C成立；令a＝2π，B成立．故选D. 12．(2024·北京西城区联考)设1<x<2，则，，的大小关系是(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 答案　A 解析　方法一(特值法)：∵1<e<4，∴1<<2，取x＝，验证易知选A. 方法二(构造法)：令f(x)＝x－ln x(1<x<2)，则f′(x)＝1－＝>0，∴函数f(x)＝x－ln x(1<x<2)为增函数，∴f(x)>f(1)＝1>0，即x>ln x>0，∴0<<1，∴<.又－＝>0(1<x<2)，∴>，<<. 二、多项选择题 13．(2024·广州模拟)下列选项正确的有(　　) A．若x>1，则x＋有最小值3 B．若x∈R，则有最大值1 C．若x>y>0，则x3>y3 D．若x<y<0，则> 答案　BCD 解析　x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝4－1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立，由于x>1，故不能取等，故A错误；当x＝0时，＝0，当x>0时，＝≤＝1，当且仅当x＝1时，等号成立，当x<0时，<0，故有最大值1，故B正确；若x>y>0，则x2>y2>0，故x3>y3，故C正确；若x<y<0，则xy>0，故<，即<，故D正确．故选BCD. 14．化学中经常遇到正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如六氟化硫(化学式SF6)、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体(如图1)，已知正八面体E－ABCD－F的(如图2)棱长为2，则(　　) A．正八面体E－ABCD－F的内切球表面积为 B．正八面体E－ABCD－F的外接球体积为 C．若点P为棱EB上的动点，则AP＋CP的最小值为2 D．若点Q为棱AF上的动点，则三棱锥E－QBC的体积为定值 答案　ACD 解析　如图，连接AC，BD交于O，连接OE，设该正八面体内切球的半径为r，由内切球的性质可知正八面体的体积V＝8×××2×2×sin 60°·r＝2××2×2×，解得r＝，故该正八面体的内切球表面积为4π×＝，故A正确；设该正八面体外接球的半径为R，由题图知，正方体内切球即为该正八面体的外接球，则点O为正八面体外接球的球心，则R＝OE＝＝，所以正八面体外接球的体积为，故B错误；由△ABE与△BCE均是边长为2的正三角形，可将△BCE翻折到△BC′E，使其与△ABE共面，从而得到一个菱形ABC′E，连接AC′与BE相交于点P，此时AP＋CP取得最小值，为AC′＝2，故C正确；易知AF∥EC，因为AF⊄平面EBC，EC⊂平面EBC，所以AF∥平面EBC，连接EQ，CQ，BQ，所以V三棱锥E－QBC＝V三棱锥Q－EBC＝V三棱锥A－EBC＝V三棱锥E－ABC＝××2×2×＝，故D正确．故选ACD. 15．(2024·四川内江模拟预测)定义：f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(ab≠0)图象的对称中心为(－1，－1)，则下列选项正确的有(　　) A．a＝，b＝－1 B．f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(－2)的值是－21 C．函数f(x)有一个零点 D．过可以作三条直线与y＝f(x)的图象相切 答案　BD 解析　由f(x)＝ax3－bx2＋，所以f′(x)＝3ax2－2bx，f″(x)＝6ax－2b，令f″(x)＝0，得x＝，因为函数f(x)＝ax3－bx2＋图象的对称中心为(－1，－1)，所以＝－1且f(－1)＝－a－b＋＝－1，解得a＝－，b＝2，故A错误；因为f(x)＝ax3－bx2＋图象的对称中心为(－1，－1)，即f(x)＋f(－2－x)＝－2，令S＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(－2)，则S＝f(－2)＋f ＋…＋f ＋f(0)，所以2S＝[f(0)＋f(－2)]＋＋…＋[f(－2)＋f(0)]＝－2×21＝－42，所以S＝－21，故B正确；因为f(x)＝－x3－2x2＋，则f′(x)＝－2x2－4x＝－2x(x＋2)，所以当－2<x<0时，f′(x)>0，当x<－2或x>0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，因此函数f(x)的极大值为f(0)＝，极小值为f(－2)＝－，又f(1)＝－，f(－3)＝，即f(－2)f(0)<0，f(0)f(1)<0，f(－3)f(－2)<0，所以f(x)在(－3，－2)，(－2，0)和(0，1)上均存在零点，所以函数f(x)有三个零点，故C错误；设切点为T(x0，y0)，则切线方程为y－(－x03－2x02＋)＝－2(x02＋2x0)(x－x0)，又切线过，则－＝－2(x02＋2x0)(－3－x0)，化简得8x03＋48x02＋72x0＋1＝0，令g(x)＝8x3＋48x2＋72x＋1，则g′(x)＝24x2＋96x＋72＝24(x＋1)(x＋3)，当x<－3或x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当－3<x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，而g(－3)＝1>0，g(－1)＝－31<0，当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，所以g(x)有3个零点，即方程8x03＋48x02＋72x0＋1＝0有3个不等实根，所以过可以作三条直线与y＝f(x)的图象相切，故D正确．故选BD. 16．(2024·广东东莞模拟预测)已知函数f(x)＝，则下列选项正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)是非奇非偶函数 C．函数f(x＋2 024)的零点为0 D．当x>0时，f(x)的最大值为 答案　AD 解析　由x2＋9≠0可得函数f(x)＝的定义域为R，故A正确；由f(－x)＝＝－＝－f(x)，结合定义域为R，可知f(x)是奇函数，故B错误；令f(x＋2 024)＝＝0，解得x＝－2 024，所以f(x＋2 024)零点为－2 024，故C错误；当x>0时，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝3时取等号，故D正确．故选AD. 三、填空题 17．已知圆O：x2＋y2＝1与直线l：x＝－1，写出一个半径为1，且与圆O及直线都相切的圆的方程________． 答案　x2＋(y－2)2＝1(答案不唯一) 解析　(构造法)设圆心为C(x0，y0)，由已知圆C半径为1，与直线l：x＝－1相切，与圆O：x2＋y2＝1相切，可得解得或或所以所求圆的方程可以为x2＋(y－2)2＝1或x2＋(y＋2)2＝1或(x＋2)2＋y2＝1. 18．(2024·湖北襄阳五校联考)已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是大于1的正有理数．若a1＝b1＝d，且是正整数，则q＝________． 答案　2 解析　(特值法)令a1＝b1＝d＝1，则＝为正整数． ∴1＋q＋q2＝7或1，即q2＋q－6＝0或q2＋q＝0， ∵q是大于1的正有理数， ∴q＝2. 19．(2024·沧州七校联考)已知函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－1] 解析　(直接法)由题意知当x≥a时，f(x)＝2x，则f(x)在[a，＋∞)上单调递增，最小值为2a，当x<a时，f(x)＝－x，f(x)单调递减，在(－∞，a)上无最小值．则由已知条件可知－a≥2a，即2a＋a≤0，设h(a)＝2a＋a，易知该函数为R上的增函数，且h(－1)＝2－1－＝0，从而a≤－1. 20．(2024·陕西西安三模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足an＝(n∈N*)，则使不等式Sn>11成立的n的最小值为________． 答案　12 解析　(构造法)∵an＝(n∈N*)，∴an＋1＝＝，∴3Tn＋1＝Tn＋1，则Tn＋1－＝，∵当n＝1时，a1＝＝，∴a1＝，则T1－＝a1－＝≠0，故＝，因此是以为首项，为公比的等比数列．所以Tn－＝·，即Tn＝·＋.根据题中条件an＝＝＝＝1－，则an<1，又an＝1－>1－，因此a1＋a2＋a3＋…＋an>n－2(＋＋＋…＋)＝n－2·＝n－1＋.当n＝11时，a1＋a2＋a3＋…＋a11<11；当n＝12时，a1＋a2＋a3＋…＋a12>12－1＋＝11＋>11.综上，使不等式Sn>11成立的n的最小值为12. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后，关闭 Word 文档返回原板块。 专题训练•作业(四十一) 一、单项选择题 1．(2024·河南信阳模拟)动点P在函数y＝－(x＋1)(x>0)的图象上，以P为切点的切线的倾斜角的取值范围是(　　) A.　　　　　　　 B.∪ C. D. 2．(2024·北京通州二模)下列函数中，是奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝－x3 C．f(x)＝tan x D．f(x)＝log|x| 3．(2024·广东梅州二模)三个函数f(x)＝x3＋x－3，g(x)＝ln x＋x－3，h(x)＝ex＋x－3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<c<a 4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有(　　) A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a1＋a101＝0 D．a51＝51 5．(2024·河南阶段练习)函数f(x)＝的图象大致是(　　) 6．已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 7．(2024·湖北武汉第十一中学月考)元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜．小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，记事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，记事件B为“取到的2个为事物谜”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 8．已知F为抛物线y2＝x的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点C，若B为AC的中点，则|AB|＝(　　) A. B．1 C. D. 9．(2024·湖北黄冈模拟预测)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an＋1＝，若＋＋＋…＋<1 000，则满足条件的最大整数n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 10．已知函数f(x)＝－1，且f(4x－1)>f(3)，则实数x的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 11．(2023·上海)设a>0，函数y＝sin x在区间[a，2a]上的最小值为s，在区间[2a，3a]上的最小值为t，当a变化时，下列不可能成立的是(　　) A．s>0且t>0 B．s<0且t<0 C．s>0且t<0 D．s<0且t>0 12．(2024·北京西城区联考)设1<x<2，则，，的大小关系是(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< . 二、多项选择题 13．(2024·广州模拟)下列选项正确的有(　　) A．若x>1，则x＋有最小值3 B．若x∈R，则有最大值1 C．若x>y>0，则x3>y3 D．若x<y<0，则> 14．化学中经常遇到正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如六氟化硫(化学式SF6)、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体(如图1)，已知正八面体E－ABCD－F的(如图2)棱长为2，则(　　) A．正八面体E－ABCD－F的内切球表面积为 B．正八面体E－ABCD－F的外接球体积为 C．若点P为棱EB上的动点，则AP＋CP的最小值为2 D．若点Q为棱AF上的动点，则三棱锥E－QBC的体积为定值 答案　ACD 15．(2024·四川内江模拟预测)定义：f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(ab≠0)图象的对称中心为(－1，－1)，则下列选项正确的有(　　) A．a＝，b＝－1 B．f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(－2)的值是－21 C．函数f(x)有一个零点 D．过可以作三条直线与y＝f(x)的图象相切 16．(2024·广东东莞模拟预测)已知函数f(x)＝，则下列选项正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)是非奇非偶函数 C．函数f(x＋2 024)的零点为0 D．当x>0时，f(x)的最大值为 三、填空题 17．已知圆O：x2＋y2＝1与直线l：x＝－1，写出一个半径为1，且与圆O及直线都相切的圆的方程________． 18．(2024·湖北襄阳五校联考)已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是大于1的正有理数．若a1＝b1＝d，且是正整数，则q＝________． 19．(2024·沧州七校联考)已知函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则实数a的取值范围是________． 20．(2024·陕西西安三模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足an＝(n∈N*)，则使不等式Sn>11成立的n的最小值为________． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$