微专题5-1 导数的概念及其意义11种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-1 导数的概念及其意义11种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平均变化率 题型2 瞬时变化率 题型3 导数定义中极限的简单计算 题型4 导函数概念的理解 题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型6 求切点坐标 题型7 求过一点的切线方程 题型8 已知切线（斜率）求参数 题型9 切线的垂直和平行问题 题型10 两曲线的公切线问题 题型11 导数几何意义的应用 知识点1 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 知识点2 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 知识点3 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点5 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 解题策略1 如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 注：（1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 解题策略2 求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 题型1 平均变化率 【例1】函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 【答案】5 【详解】 因为函数在区间上的平均变化率是2， 所以， 即，从而,解得或（舍去）． 故答案为：5. 【变式1】函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】函数从到的平均变化率为． 故选：B 【变式2】若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】C 【详解】∵函数在区间上的平均变化率为5， ∴，解得． 故选：C 【变式3】某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A 【变式4】汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案. 【详解】设直线，AB，BC的斜率分别为，，， 则，，， 由题中图象知，即． 故选：B. 题型2 瞬时变化率 【例2】有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用瞬时速度定义即可求得该机器人在时刻时的瞬时速度. 【详解】 该机器人在时刻时的瞬时速度为 故选：A 【变式1】【多选】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（ ） A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m/s C．瞬时速度为9m/s的时刻是在时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s 【解析】对于A：， 即物体在时的瞬时速度为3m/s，A错误． 对于B：， 即物体在时的瞬时速度为1m/s，B正确． 对于C：设物体在时刻的瞬时速度为9m/s， 又， 所以，物体在时的瞬时速度为9m/s，C正确． 对于D：，D错误． 故选：BC 【变式2】质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【答案】D 【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合. 【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s. 故选：D. 【变式3】球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的物理定义，对函数求导代入即可求解； 【详解】由，得：，所以时体积关于半径的瞬时变化率为; 故选：D. 【变式4】大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 题型3 导数定义中极限的简单计算 【例3】已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________. 【解析】　f′(1)＝ ＝ ＝ ＝. 【变式1】已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在处可导，则 . 故选：D. 【变式2】设函数的导函数为，若，则等于（ ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 【解析】根据题意， ， 又由，则. 故选：D. 【变式3】设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】， 故选：B 【变式4】【多选】设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A，，A满足； 对于B，，B不满足； 对于C，，C满足； 对于D，，D不满足. 故选：AC 【变式5】已知函数，其中a，b，c为常数，则函数在处的导数为 . 【答案】 【分析】利用导数的定义求出导函数，从而可求的答案. 【详解】， ， 当时，瞬时变化率为，即函数在处的导数为. 故答案为：. 题型4 导函数概念的理解 【例4】函数y＝(x－1)2的导数是(　　) A．－2 B.(x－1)2 C．2(x－1) D．2(1－x) 【解析】y′＝ ＝ ＝ ＝2x－2＝2. 选C. 【变式1】若 ＝x2，则f的导函数f′等于(　　) A．2x B.x3 C．x2 D．3x2 【解析】由导数的定义可知，f′＝ ＝x2.故选C 【变式2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________． 【解析】由导数的定义，得f′(0)＝ ＝ ＝ [a·(Δx)＋b]＝b>0. 又∴ac≥，∴c>0. ∴＝≥≥＝2. 当且仅当a＝c＝时等号成立． 题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【例5】若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】运用导数几何意义得答案. 【详解】曲线在处的切线方程为， 则运用导数几何意义，知道. 故选：D. 【变式1】曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案. 【详解】 ， 所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为. 故选：C 【变式2】已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【详解】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 【变式3】曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【解析】由题意得在处的切线斜率为， 故切线方程是，即， 故答案为： 【变式4】已知函数，则在处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由，则， ，故， 则，即. 又切线过，所以在处的切线为，即. 故答案为：. 【变式5】求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，求出函数在点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率k，再由直线方程的点斜式求出切线方程． 【详解】解：∵ ，∴， ∴曲线在点P处的切线方程为，即． 题型6 求切点坐标 【例6】已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 【答案】或 【解析】设，则， 易得曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 又因为该直线与曲线相切， 所以该直线与曲线只有一个公共点． 由得， 则， 解得，则， 所以点的坐标为或． 故答案为：或 【变式1】已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【答案】 【解析】设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故答案为：； 【变式2】已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 【答案】 【解析】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为. 故答案为：. 题型7 求过一点的切线方程 【例7】已知曲线方程为,求: （1）点处的切线方程 （2）过点且与曲线相切的直线方程. 【解析】(1) . 又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率, 故所求切线的方程为,即. (2)∵点不在曲线上,∴设切点坐标为, 由(1)知,∴切线的斜率,切线方程为. 又∵点在切线上,∴解得或. ∴切点坐标为,. 故所求切线方程为或, 即或. 【变式1】已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________． 【解析】设切点为Q(x0，x)，得切线的斜率为 k＝f′(x0)＝ ＝3x， 切线方程为y－x＝3x(x－x0)， 即y＝3xx－2x. 因为切线过点P， 所以2x－2x＝0， 解得x0＝0或x0＝1， 从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0. 【变式2】已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【解析】设所求切线与曲线相切于点，显然， 由题意，得切线斜率 又，于是， 解得或，所以或16. 从而所求切线方程为或， 即或. 【变式3】 【变式4】 题型8 已知切线（斜率）求参数 【例8】若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________. 【解析】k＝ . 故答案为：1. 【变式1】曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ） A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 【解析】 上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为 ＝ ＝ ＝<1，即k<1. 故选：C. 【变式2】已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________． 【解析】　设点P(x0,2x＋a)．由导数的几何意义可得， f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＝8.∴x0＝2，∴P(2,8＋a)． 将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，得a＝－7. 【变式3】已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为(　　) A．－2 B．1 C. D．2 【解析】由题意知，y1′＝ ＝， y2′＝ ＝3x2－2x＋2， 所以两曲线在x＝x0处的切线的斜率分别为，3x－2x0＋2. 由题意可知，＝3，所以x0＝1.故选B 【变式4】已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ． 【答案】2 【详解】由已知得，， . 故答案为：. 【变式5】已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意得， 所以， 解得， 又，则， 所以． 故选：B 题型9 切线的垂直和平行问题 【例9】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】设切点，由题意可知切线斜率为，求函数在处的导数，列出方程即可得解. 【详解】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设， 因为， 当时，， 所以，则点P的坐标为或． 故答案为：或. 【变式1】已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值． 【解析】　对于曲线f(x)＝x2－1， k1＝ ＝2x0. 对于曲线g(x)＝1－x3，k2＝ ＝ ＝－3x. 由题意得2x0＝－3x，解得x0＝0或－. 【变式2】若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【详解】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 题型10 两曲线的公切线问题 【例10】点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． 【解析】设P(x0，y0)， 则y0＝x＋1， f′(x0)＝ ＝2x0， 所以在点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－x， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得2x2＋2x0x＋2－x＝0， 则Δ＝4x－8(2－x)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或. 题型11 导数几何意义的应用 【例11】已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别作曲线在，，三处的切线，，， 设切线的斜率分别为，，，易知， 又，，， 所以． 故选：A    【变式1】已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率， 表示曲线在处的切线斜率， 表示，两点连线的斜率， 由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大， 所以，对比选项可知，D正确. 故选：D. 【变式2】已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】表示曲线在点处切线的斜率，表示曲线在点处切线的斜率， 表示割线的斜率， 由图可知. 故选：B 【变式3】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【详解】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B 【变式4】已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2) C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2) 【解析】由图象可知，函数在区间(0，＋∞)上的增长越来越快，∴f′(1)<f′(2)，∵＝a，∴通过作切线与割线可得f′(1)<a<f′(2)，故选B. 【变式5】某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由导数的几何意义结合题意可判断. 【详解】由运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高，即为逐渐变大， 结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大， 结合图象可知，故B正确， 故选：B. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-1 导数的概念及其意义11种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平均变化率 题型2 瞬时变化率 题型3 导数定义中极限的简单计算 题型4 导函数概念的理解 题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型6 求切点坐标 题型7 求过一点的切线方程 题型8 已知切线（斜率）求参数 题型9 切线的垂直和平行问题 题型10 两曲线的公切线问题 题型11 导数几何意义的应用 知识点1 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 知识点2 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 知识点3 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点5 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 解题策略1 如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 注：（1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 解题策略2 求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 题型1 平均变化率 【例1】函数在区间上的平均变化率是2，则 ． 【变式1】函数从到的平均变化率为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【变式3】某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【变式4】汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型2 瞬时变化率 【例2】有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（ ） A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m/s C．瞬时速度为9m/s的时刻是在时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s 【变式2】质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【变式3】球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式4】大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 题型3 导数定义中极限的简单计算 【例3】已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________. 【变式1】已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设函数的导函数为，若，则等于（ ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 【变式3】设函数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4】【多选】设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知函数，其中a，b，c为常数，则函数在处的导数为 . 题型4 导函数概念的理解 【例4】函数y＝(x－1)2的导数是(　　) A．－2 B.(x－1)2 C．2(x－1) D．2(1－x) 【变式1】若 ＝x2，则f的导函数f′等于(　　) A．2x B.x3 C．x2 D．3x2 【变式2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________． 题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【例5】若曲线在处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1】曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】曲线在点处的切线方程是 . 【变式4】已知函数，则在处的切线方程为 . 【变式5】求曲线在点处的切线方程． 题型6 求切点坐标 【例6】已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 【变式1】已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【变式2】已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 题型7 求过一点的切线方程 【例7】已知曲线方程为,求: （1）点处的切线方程 （2）过点且与曲线相切的直线方程. 【变式1】已知函数f(x)＝x3，过点P作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________． 【变式2】已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【变式3】 【变式4】 题型8 已知切线（斜率）求参数 【例8】若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________. 【变式1】曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（ ） A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 【变式2】已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________． 【变式3】已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为(　　) A．－2 B．1 C. D．2 【变式4】已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ． 【变式5】已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 题型9 切线的垂直和平行问题 【例9】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______． 【变式1】已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值． 【变式2】若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 题型10 两曲线的公切线问题 【例10】点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． 题型11 导数几何意义的应用 【例11】已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4】已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2) C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2) 【变式5】某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（    ） A．   B．   C．   D．   $$