精品解析：安徽省六安市汇文中学2024-2025学年九年级下学期2月月考数学试题

2025届春学期九年级模考（一） 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. －0.5的倒数是（　　） A. B. － C. －2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由乘积为的两个数互为倒数，可得答案． 【详解】解：的倒数是 故选：． 【点睛】本题考查的是倒数的概念，掌握倒数的概念及求一个数的倒数是解题的关键． 2. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图；分别判断四个选项中几何体的主视图、左视图与俯视图，通过比较即可得出答案． 【详解】解：A、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； B、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； C、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意； D、主视图为，左视图和俯视图为，主视图、左视图与俯视图完全相同，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法法则一一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法，熟记同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法法则是解这道题的关键． 4. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数． 【详解】∵直角三角板的直角顶点在直线上， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 5. 小亮有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是白色上衣和白色裤子的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的有1种情况， ∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 6. 如图，内接于，为的直径，连接，若，，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角的定理，可知定点是的中点，，由此可求出的半径，根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴，即点是的中点，且为的直径， ∴，， 中，， ∴的半径， ∴，则， ∴扇形的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识与三角形知识的综合，掌握圆周角定理，扇形面积的计算方法是解题的关键． 7. 下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、代数式是整式自变量可取任意实数、分式有意义、分母不为0，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】A． ，可取正数，0，负数，所以取值范围是全体实数，符合题意； B． 中解得，不符合题意； C． 中分母不能为0，所以，不符合题意； D． 中分母不能为0，所以，解得：，不符合题意； 故选：A． 8. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限． 【详解】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx-3可知， 当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限， 当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 9. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 10. 如图①，在中，，点P从点A 出发，沿着的边以1个单位/秒的速度匀速运动．设点P运动的路程为x，图②是的长度y随着x的变化而变化的函数图象，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点的函数图像相关问题，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，由函数图像可知：点P在运动开始和运动结束时，即，由点P的运动路径可知，点P在从A到B的运动过程中，的长度先减小，再逐渐增大，当点P运动到点B后，点P从点B到点C的过程中，逐渐减小到0，而点P从点C向点A的运动过程中，的长度从0增大到12． 【详解】解：结合函数图象知，， 点P运动到点B时，的长度又开始减小， 即． ∴， ∴点P运动到点B时，， 即， 故A不正确，不符合题意； 根据垂线段最短的性质，当时，最短． 此时， 即， 解得 ∴ 故B不正确，不符合题意； 当时， ∵，， ∴， 即 解得：， 故C正确，符合题意； ∵点P从点B到点C用时5s，， ∴， 则D不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11. 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数大小比较解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答． 12. 2022年4月16日我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组返回地球，结束了183天的在轨飞行时间，共绕飞地球约2928圈，在轨飞行距离约为124500000千米，数据124500000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数． 【详解】由题意可知： ， 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，直线交轴于点．若，的面积为9，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴于F，轴于E，可证，由线段关系求得的面积，再根据反比例函数的k的几何意义即得结果． 【详解】解：如图，过点A作轴于F，轴于E， ∵，， ∴， ∴，即． ∵的面积为9，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由图可知， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的k的几何意义的应用，相似三角形的性质与判定．关键是正确作出辅助线构造相似三角形． 14. 如图，在正方形中，，E，F分别是边上的动点，交于点G，连接． （1）若E，F分别是边上的中点，则________； （2）若，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）证明，推出，得到，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）同（1）理证明，得到点在以为直径的上，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形中，，E，F分别是边上的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴点在以为直径的上，如图， 当共线时，有最小值，最小值为的长， ∴，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 15. 先化简，再求值：；其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先计算括号里面的可得：，根据分式的除法法则可得：原式，约去分子、分母中的公因式可得结果为，把代入化简后的分式中计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 16. 中国古代数学著作《张丘建算经》中有“百钱买百鸡”问题，大意为：用100文钱购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱3只．若公鸡买了8只，求母鸡、小鸡各买了多少只．请你解决上述问题． 【答案】母鸡11只，小鸡81只 【解析】 【分析】设买母鸡x只，小鸡y只，根据题意即可列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 详解】解：设买母鸡x只，小鸡y只， 根据题意得， 解得 答：买了母鸡11只，小鸡81只． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 17. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点关于原点O的对称点A； （2）连接AC，AB，BC得，将绕点A逆时针旋转90°得．画出旋转后的； （3）在（2）的条件下，点的坐标是_______，边AB扫过区域的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了中心对称和旋转的性质，写出平面直角坐标系中点的坐标，扇形面积公式． （1）根据关于原点对称点的性质画出点A，然后写出点A的坐标即可； （2）结合旋转的性质即可得到旋转后的图形； （3）根据（2）的图形，写出点的坐标，边AB扫过区域的面积利用旋转的性质和扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：点A即为所求，． 【小问2详解】 如图，即为所求 【小问3详解】 解：根据（2）旋转后的图形，的坐标， ． 故答案为． 18. 化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图所示的是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，请完成下列问题： （1）第4个结构式中H原子的个数是______； （2）第n个结构式中H原子的个数是______；用含n的代数式表示 （3）是否存在一个碳氢化合物恰好由80个H原子组成？若存在，求出该碳氢化合物中C原子的个数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3）存在，该碳氢化合物中C原子的个数为 【解析】 【分析】本题主要考查了找规律，解题关键是找规律并正确应用． （1）由第1个结构式中有1个C和个H，第2个结构式中有2个C和个H，第3个结构式中有3个C和个H，…，可得第4个结构式中H原子的个数是； （2）总结规律即可得第n个结构式中H原子的个数是； （3）若存在一个碳氢化合物恰好由80个H原子组成，可得，即可得该碳氢化合物中C原子的个数为 【小问1详解】 解：由第1个结构式中有1个C和个H，第2个结构式中有2个C和个H，第3个结构式中有3个C和个H，…， 得第4个结构式中H原子的个数是； 故答案为：10 【小问2详解】 解：总结规律得第n个结构式中H原子的个数是； 故答案为： 【小问3详解】 解：若存在一个碳氢化合物恰好由80个H原子组成， 得， 解得：， ∴该碳氢化合物中C原子的个数为． 19. 如图①为某款折叠躺椅的实物图，图②为该款折叠躺椅的侧面示意图，为水平地面．已知座板，靠背，后支架，点是转动点，，与始终在同一平面内，当张角时，，此时人躺着处于最舒服状态，求此时躺椅最高点距离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】此时躺椅最高点E距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点E作，交的延长线于点F，过点B作，垂足为G，根据垂直定义可得，再利用平角定义可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点F，过点B作，垂足为G， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴此时躺椅最高点E距离地面的高度约为． 20. 如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点． （1）求证：是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，弧，弦，角之间的关系，勾股定理．掌握相关知识点，是解题的关键． （1）垂径定理，得到，进而得到，根据等边对等角结合等角的余角相等，得到，进而得到，即可得到，即可； （2）勾股定理求出，设，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 是的弦，半径， 是的中点． ． ． ． ， ． ，． ． ． ． 即为的中点． 【小问2详解】 如图，连接． 半径，垂足为，， ． 是的中点，， ． ． 在中，． 设，则， ． ，即的半径为． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （2）阅读时间在范围内的数据的众数是____________；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数有______人； （3）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）5；144 （2）40；360 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由调查的学生的总人数减去其他组的人数得出的值，再由乘以组所占的比例即可； （2）由众数的定义得出众数，再用样本估计总体列式计算即可； （3）画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：统计表中的， 统计图中组对应扇形的圆心角为：， 故答案为：5，144； 【小问2详解】 解：阅读时间在范围内的数据的众数是40， 估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数为：（人， 故答案为：40，360； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种， 恰好选择一名男生和一名女生的概率为． 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，，则的值为______； （2）如图2，在矩形中，，且，则的值为______； （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，求的长． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点，运用三角函数求出长即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，进而证明 ，列出比例式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∵， ， ， 中，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质．灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届春学期九年级模考（一） 数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. －0.5的倒数是（　　） A. B. － C. －2 D. 2 2. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确是（　　）． A. B. C. D. 4. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 小亮有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，内接于，为的直径，连接，若，，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，，点P从点A 出发，沿着边以1个单位/秒的速度匀速运动．设点P运动的路程为x，图②是的长度y随着x的变化而变化的函数图象，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11 比较大小：________（填“”，“”或“”）． 12. 2022年4月16日我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组返回地球，结束了183天的在轨飞行时间，共绕飞地球约2928圈，在轨飞行距离约为124500000千米，数据124500000用科学记数法表示为__________． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，直线交轴于点．若，的面积为9，则的值为______． 14. 如图，在正方形中，，E，F分别是边上的动点，交于点G，连接． （1）若E，F分别是边上的中点，则________； （2）若，则的最小值为_________． 三、解答题 15. 先化简，再求值：；其中． 16. 中国古代数学著作《张丘建算经》中有“百钱买百鸡”问题，大意：用100文钱购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱3只．若公鸡买了8只，求母鸡、小鸡各买了多少只．请你解决上述问题． 17. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点关于原点O的对称点A； （2）连接AC，AB，BC得，将绕点A逆时针旋转90°得．画出旋转后的； （3）在（2）的条件下，点的坐标是_______，边AB扫过区域的面积为_______． 18. 化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃．如图所示的是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，请完成下列问题： （1）第4个结构式中H原子的个数是______； （2）第n个结构式中H原子的个数是______；用含n的代数式表示 （3）是否存在一个碳氢化合物恰好由80个H原子组成？若存在，求出该碳氢化合物中C原子的个数；若不存在，请说明理由． 19. 如图①为某款折叠躺椅的实物图，图②为该款折叠躺椅的侧面示意图，为水平地面．已知座板，靠背，后支架，点是转动点，，与始终在同一平面内，当张角时，，此时人躺着处于最舒服状态，求此时躺椅最高点距离地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，） 20. 如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点． （1）求证：是的中点； （2）若，，求的半径． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （2）阅读时间在范围内的数据的众数是____________；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数有______人； （3）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，，则的值为______； （2）如图2，在矩形中，，且，则的值为______； （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，求的长． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$