精品解析：广东省深圳市福田区2024-2025学年八年级上学期期末学业质量监测数学试题

福田区2024－2025学年第一学期义务教育阶段期末学业质量监测 八年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名，学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是理解无理数的定义，能区分有理数和无理数． 根据有理数和无理数的定义，对每个选项进行判断． 【详解】A、2是整数，整数属于有理数，故2是有理数； B、是分数，分数属于有理数，故是有理数； C、是开方开不尽的数，其结果是一个无限不循环小数，符合无理数的定义，故是无理数； D、是整数，整数属于有理数，故是有理数． 故选：C． 2. 以下列四组数（单位：）为边长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是判断三边是否满足两短边的平方和等于最长边的平方． 根据勾股定理的逆定理，分别计算每组数中两短边的平方和与最长边的平方，看是否相等，若相等则能构成直角三角形，否则不能． 【详解】A、，这三条边不能构成直角三角形； B、，这三条边能构成直角三角形； C、，这三条边不能构成直角三角形； D、，这三条边不能构成直角三角形． 故选：B． 3. 海洋交通运输业是深圳海洋产业的重要组成部分．远洋货轮在海上行驶时，确定自己的具体位置，需要知道所在位置的（ ） A. 高度 B. 经度和纬度 C. 纬度 D. 经度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在平面内要用一组有序数对来表示一个点的位置的概念．在平面内要表示清楚一个点的位置，要有两个数据．所以应选经度和纬度两个条件． 【详解】解：远洋货轮在海上行驶时，确定自己具体位置，需要知道所在位置的经度和纬度 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除运算法则． 分别根据二次根式的乘法，减法，加法，除法法则对每个选项进行分析判断． 【详解】A、根据二次根式乘法法则，则，该选项正确． B、根据二次根式减法法则， ，该选项错误． C、与不同类二次根式，不能直接相加，即，该选项错误． D、，该选项错误． 故选：A． 5. 如图，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查了三角形外角的性质，根据，得出答案即可．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 【详解】解：∵，，为的外角， ∴． 故选：C． 6. 某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（ ） A. 83分 B. 80分 C. 75分 D. 70分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式． 根据加权平均数的计算方法，用初赛成绩乘以其权重加上复赛成绩乘以其权重，即可得出总成绩． 【详解】（分） 小颖同学的总成绩为83分． 故选：A． 7. 为等边三角形，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握等边三角形的性质，坐标与图形是解决问题的关键．过点B作于点C，根据等边三角形的性质得，，进而得，据此即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点B作于点C，如图所示：     ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为， 故选：D． 8. 作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1），甲，乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站C．已知甲，乙两架无人机到驿站C的距离，与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲，乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是从图中获取信息来解答． 根据到的距离大于到的距离，得到A到的距离为20千米，甲2分钟行了8千米，乙2分钟距C还有9千米．再根据两架无人机用的时间相同，即可解答． 【详解】根据图中信息，得到A到的距离为20千米，甲2分钟行了千米，乙2分钟距C还有9千米． 甲从A到用的时间：（分钟）， 乙从到的距离：（千米）， 故选：C． 第二部 分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9. 实数8的立方根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 10. 命题“小于”是一个_________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较以及命题真假的判断，解题的关键是明确与的近似值并比较大小． 先求出与的近似值，再比较两个近似值的大小，进而判断命题的真假． 【详解】因为，而，即， 所以命题“小于“是一个真命题． 故答案为：真． 11. 为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则_________（填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定． 【答案】乙班 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，解题的关键是理解方差大小与数据稳定性的关系． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小．根据方差的性质，比较甲，乙两班方差大小，进而判断哪个班成绩更稳定． 【详解】已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，因为，即，所以乙班的成绩更稳定． 故答案为：乙班． 12. 如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． 先明确一次函数与二元一次方程组的联系，再根据图象得出交点坐标，即为方程组的解． 【详解】二元一次方程组，可变形为， 从图象中可以看出，函数和的图象交于点， 所以方程组的解是． 故答案为： 13. 如图，在中，，是的中点，交延长线于点，射线，交于点，若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理；连接，根据题意可得垂直平分，进而可得，在中，勾股定理求得，进而得出，根据中线的性质即可求解． 【详解】解：连接， 是的中点， ． ， ， 是中垂线， ． ，， ． 在中，， ， ． 三、解答题（共7题，共61分，解答应写出文字说明或演算步骤．第14题8分，第15题10分，第16题7分，第17题7分，第18题8分，第19题10分，第20题11分．） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及平方差公式． （1）先将化简，再利用平方差公式计算，最后将两部分结果相加； （2）利用乘法分配律展开式子，然后分别计算各项二次根式的乘法． 【小问1详解】 【小问2详解】 15. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 通过对两个方程组中的方程进行适当的运算，消去一个未知数，求出另一个未知数的值，再代入原方程求出另一个未知数． 【小问1详解】 解：②－①， 得，， 把代入①， 得； 故原方程组的解为； 【小问2详解】 解：②，得③， ①+③，得， ， 将代入②， 得， 故原方程组的解为． 16. 新能源车的续航里程是指汽车在动力电池完全充电（仪表显示充满）的状态下，以一定的行驶情况连续行驶的最大距离．为调查1年及以内纯电动新能源车（以下简称纯电车）的续航里程，福田区某学校数学兴趣小组在社区内随机对辆纯电车的车主进行了问卷调查，并对这些纯电车的续航里程进行了收集，整理，描述和分析．下面给出了部分信息： ①辆纯电车续航里程（单位：公里）的不完整的扇形统计图，如图1：（数据分成5组，，，，，）； ②新能源纯电动车续航里程条形统计图，如图2； ③纯电车续航里程在C组的里程数据绘制散点统计图，如图3； 根据以上信息，回答下列问题： （1）这次被调查的纯电车数量_________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角度数为_________； （4）C组电动车的续航里程的极差是_________公里，众数是_________公里； （5）若该小区有500辆电动车，请估计续航里程满足公里的电动车的数量为_________辆． 【答案】（1）50； （2）见解析 （3）36； （4）80；440； （5）190（辆） 【解析】 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，极差，读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）由组数量及其所占百分比即可得出的值； （2）求出组数量即可补全图形； （3）用乘以组对应的百分比即可得出答案； （4）根据极差和众数的定义求解即可； （5）总数量乘以C，D组数量所占比例即可． 【小问1详解】 这次被调查的纯电车数量， 故答案为：50； 【小问2详解】 组人数为（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为 故答案为：36； 【小问4详解】 组电动车续航里程的极差是（公里）， 众数是440公里， 故答案为：80，440； 【小问5详解】 估计续航里程满足公里的电动车的数量为 （辆）， 故答案为：190． 17. 如图，． （1）求证：． 小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整． 证明：如图1，过点作， （2）如图2，若，分别平分和，则与之间的等量关系为_________． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，再结合得出即可解决问题． （2）过点作的平行线，结合平行线的性质得出，再结合角平分线的定义即可解决问题． 【小问1详解】 证明：过点作， ， 又∵，， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作， ， ， ， ∴， 又∵， ， ∵，分别平分和， ， ， 又∵， ， 故答案为：． 18. 在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 30元 40元 （1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ （2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大． 【答案】（1）每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元 （2）张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组和函数关系式． （1）先每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据已知条件列出二元一次方程组求解每箱百香果和金桔的售价； （2）设设张先生将箱金桔和箱百香果进行搭配销售，获利为元，然后列出获利的函数关系式，根据库存和采购要求得出取值范围，根据函数性质求出获利最大时的搭配方案． 【小问1详解】 解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元， 根据题意，得 解这个方程组，得， 答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元． 【小问2详解】 解：每箱百香果的利润为：（元）， 每箱金桔的利润为：（元）， 设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元， 则， ， 随的增大而增大． 又，当时，最大， 此时百香果的箱数为：（箱）． 答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大． 19. 【综合与实践】对图形进行剪切，拼接，是一种重要的数学实践活动．在解决有关“剪”和“拼”的数学问题中，抓住一些不变量，常是我们解决问题的关键． （1）如图，每个小正方形的边长为1，按图1的方式剪一剪后，拼成了图2中一个无缝的大正方形，则大正方形的边长为_________； （2）教材第8页提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图3， ，古人把正方形沿，两线段剪成四块全等的四边形①，②，③，④后，再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切，拼接形式，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组想要重做上述实验，但他们却不知道该从正方形边上的哪个点剪起． ①探究小组在正式裁剪前，经过分析初步得出了下面一些结论： A． B． C．，，，分别为正方形四边的中点 D． 上面结论中不恰当的是（ ）． ②若测得，，设，，求的值． 【答案】（1）； （2）① D；②1 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，以及勾股定理的证明方法，二元一次方程组的实际应用： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）①根据全等图形的性质，结合拼接过程中线段的长度不变，逐一进行判断即可；②根据，，列出二元一次方程组进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图和勾股定理，得：大正方形的边长为； 故答案为：； 【小问2详解】 ①由题意，得：四边形四边形四边形四边形， ∴；，故选项A正确； 由图形可知：， ∴；故选项B正确； 由图形可知：， ∴，，，分别为正方形四边的中点；故选项C正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于；故选项D错误； 故选D． ②由①知：， ∵，， ∴，， 联立，解得：； ∴． 20. 问题：点的坐标为（为实数），当变化时，点的横纵坐标均会变化，点的位置也随之改变．那么点的位置有何变化规律呢？ 【方法探究】 （）小明同学看到这个问题后，想到可否先取一些特殊值，看看能不能发现什么规律？请你帮忙将表格补充完整，并在图1坐标系中描出点，． 点坐标 （, ） （, ） 猜想：通过列表和描点，你认为点的位置有何变化规律？ 答：________． 【问题解决】 （）小明同学认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要证明．要解决上面的问题，以下是他的简单思路：要想看出点运动的规律，设点的坐标为，令，，消掉字母，就可以找出与的关系式．请你按照小明的思路，证明（）中你的猜想． 拓展应用】 （）如图，点坐标为，点与点关于轴对称．，为轴，轴正半轴上一点，，求周长的最小值，及此时点的坐标． 【答案】（），，描点见解析，猜想：点在一条直线上运动；（）证明见解析；（）的周长最小值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】（）把代入可求出点纵坐标，再把各点描出来，可得点的位置变化规律； （）由即可求证； （）由轴对称可得，令，，则点的坐标为，可得，即得点在直线上运动，设直线与轴相交于点，与轴相交于点，可得，，得，由勾股定理得，过点作轴，且，可得，即得点与点关于直线对称，得到，即得，进而得直线的表达式为，由可知当、、三点共线时，取到最小值，即为线段的长度，利用勾股定理求出的长即得周长的最小值，最后联立直线、表达式可求出点的坐标． 【详解】（）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； 描点如下： 猜想：点在一条直线上运动， 故答案为：点在一条直线上运动； （）证明：， ①+②得，即． 在直线上； （）点，点关于轴对称，点的坐标为， 点的坐标为， 令，，则点的坐标为， ∴， 即， 点在直线上运动， 设直线与轴相交于点，与轴相交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴，， 过点作轴，且，则， ∴， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得，， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， 当、、三点共线时，取到最小值，即为线段的长度， ∵， ∴， 联立直线、表达式得， ， 解得， ∴， 的周长最小值为，此时点B的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的交点问题，轴对称的性质，理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福田区2024－2025学年第一学期义务教育阶段期末学业质量监测 八年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名，学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 以下列四组数（单位：）为边长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 海洋交通运输业是深圳海洋产业的重要组成部分．远洋货轮在海上行驶时，确定自己的具体位置，需要知道所在位置的（ ） A. 高度 B. 经度和纬度 C. 纬度 D. 经度 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则度数为（ ） A B. C. D. 6. 某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（ ） A. 83分 B. 80分 C. 75分 D. 70分 7. 为等边三角形，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 作为“新质生产力”和“低空经济主角”的无人机在快递配送领域，悄然改变了我们获取快递的方式．现在一条笔直的公路旁依次有A，C，B三个快递驿站（如图1），甲，乙两架无人机分别从A，B两个快递驿站同时出发，沿公路匀速飞行，运输冷链包裹至快递驿站C．已知甲，乙两架无人机到驿站C的距离，与飞行时间之间的函数关系如图2所示．若甲，乙两架无人机同时到达驿站C，则驿站B离驿站C的距离是（ ） A. B. C. D. 第二部 分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9. 实数8的立方根是_____． 10. 命题“小于”是一个_________命题（填“真”或“假”）． 11. 为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则_________（填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定． 12. 如图，函数和图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是________． 13. 如图，在中，，是的中点，交延长线于点，射线，交于点，若，，则的面积为________． 三、解答题（共7题，共61分，解答应写出文字说明或演算步骤．第14题8分，第15题10分，第16题7分，第17题7分，第18题8分，第19题10分，第20题11分．） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程组： （1） （2） 16. 新能源车的续航里程是指汽车在动力电池完全充电（仪表显示充满）的状态下，以一定的行驶情况连续行驶的最大距离．为调查1年及以内纯电动新能源车（以下简称纯电车）的续航里程，福田区某学校数学兴趣小组在社区内随机对辆纯电车的车主进行了问卷调查，并对这些纯电车的续航里程进行了收集，整理，描述和分析．下面给出了部分信息： ①辆纯电车续航里程（单位：公里）的不完整的扇形统计图，如图1：（数据分成5组，，，，，）； ②新能源纯电动车续航里程条形统计图，如图2； ③纯电车续航里程在C组的里程数据绘制散点统计图，如图3； 根据以上信息，回答下列问题： （1）这次被调查的纯电车数量_________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角度数为_________； （4）C组电动车的续航里程的极差是_________公里，众数是_________公里； （5）若该小区有500辆电动车，请估计续航里程满足公里的电动车的数量为_________辆． 17. 如图，． （1）求证：． 小颖同学是这样做，请你将证明过程补充完整． 证明：如图1，过点作， （2）如图2，若，分别平分和，则与之间的等量关系为_________． 18. 在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 30元 40元 （1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ （2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大． 19. 【综合与实践】对图形进行剪切，拼接，是一种重要的数学实践活动．在解决有关“剪”和“拼”的数学问题中，抓住一些不变量，常是我们解决问题的关键． （1）如图，每个小正方形的边长为1，按图1的方式剪一剪后，拼成了图2中一个无缝的大正方形，则大正方形的边长为_________； （2）教材第8页提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图3， ，古人把正方形沿，两线段剪成四块全等的四边形①，②，③，④后，再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切，拼接形式，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组想要重做上述实验，但他们却不知道该从正方形边上的哪个点剪起． ①探究小组在正式裁剪前，经过分析初步得出了下面一些结论： A． B． C．，，，分别为正方形四边的中点 D． 上面结论中不恰当是（ ）． ②若测得，，设，，求的值． 20. 问题：点坐标为（为实数），当变化时，点的横纵坐标均会变化，点的位置也随之改变．那么点的位置有何变化规律呢？ 【方法探究】 （）小明同学看到这个问题后，想到可否先取一些特殊值，看看能不能发现什么规律？请你帮忙将表格补充完整，并在图1坐标系中描出点，． 点坐标 （, ） （, ） 猜想：通过列表和描点，你认为点的位置有何变化规律？ 答：________． 【问题解决】 （）小明同学认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要证明．要解决上面的问题，以下是他的简单思路：要想看出点运动的规律，设点的坐标为，令，，消掉字母，就可以找出与的关系式．请你按照小明的思路，证明（）中你的猜想． 【拓展应用】 （）如图，点坐标为，点与点关于轴对称．，为轴，轴正半轴上一点，，求周长的最小值，及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $