精品解析：河北省秦皇岛市青龙县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

青龙县2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的公式计算出的值即可．本题考查了算术平均数，正确理解算术平均数的意义是解题的关键． 【详解】解：2、、3、4的平均数是3， ， ， 故选：C． 2. 若（），则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据内项之积等于外项之积直接变形求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象第一、三象限内 C. 随增大而增大 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，注意“在每一个象限”这几个字． 根据反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．凡是反比例函数图象上的点，横纵坐标之积进行分析即可． 【详解】解：A、因为，所以该反比例函数图象必经过点，选项正确，故本选项符合题意； B、反比例函数中的，则该函数图象位于第二、四象限，选项错误，故本选项不符合题意； C、反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，故选项错误，不符合题意； D、当时，y的取值范围是，故选项错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”，将代入可得答案． 【详解】解：将代入，得：， ． 故选C． 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：∵， 把二次函数化为顶点式为：； ∴顶点坐标为：； 故选：A． 7. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 8. 如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据为直径，得出，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，根据同弧所对的圆周角相等得出，最后根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，点，分别在，上，DE∥BC，若，，则的长为（ ） A. 14 B. C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 10. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 11. 如图，正六角形螺帽的边长为，则扳手的开口的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键． 根据正六边形的内角度数可得出，再通过含的直角三角形性质即可得出的值，进而可求出的值，此题得解． 【详解】解：如图，过点A作平行于线段b的直线，分别交上下两条射线于C、D两点， 由题意可得，，由图形的对称性可知：， 正六边形的内角和为， 正六边形的任一内角为， ∴， ， 又边长为， ∴，， ． 故选：A． 12. 函数和函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴在y轴右侧，故选项错误； 、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； 、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴在y轴右侧，故选项正确； 、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的象应该开口向上，故选项错误． 故选：． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 方程的两根分别是，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确把握根与系数关系是解题关键； 方程的两根分别为和，则根与系数的关系，，据此直接计算即可． 【详解】解：∵方程的两根分别是，， ∴， 故答案为：4． 14. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角函数的特殊值、实数的混合运算，解题关键是熟练掌握三角函数的特殊值． 先将三角函数的特殊值代入，再根据实数的混合运算法则进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是_____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故答案为：或． 16. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ___________ ． 【答案】3秒或4.8秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定性质，根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， 即， 解得：； ②若，则， 即， 解得：； 综上所述：当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒， 故答案为：3秒或4.8秒． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 即：或 ∴，； 【小问2详解】 解： 即：或 ∴，． 18. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=． （1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 【答案】10（小时）． 【解析】 【分析】根据三角函数可得到OD的值；再根据勾股定理求得OE的值，此时再求所需的时间就变得容易了． 【详解】（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24， ∴ED=CD=12， 在Rt△DOE中， ∵sin∠DOE=， ∴OD=13（m）； （2）OE==5， ∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）． 考点：1、垂径定理的应用；2、勾股定理 19. 某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为25海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． （1）求之间的距离； （2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【答案】（1）海里； （2）有触礁危险，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点P作交的延长线于C，设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，根据正切的定义用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出； （2）比较与半径的大小，得到答案． 【小问1详解】 解：过点P作交AB的延长线于C， 设海里， 在中，， 则海里， 在中，， 则海里，(海里)， 由题意得：，即， 解得：， 则海里， 答：A、P之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：， ∴， ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 20. “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了了解学生参加户外活动的情况，某校对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中共调查了多少名学生？ （2）求户外活动时间为小时的人数，并补充频数分布直方图； （3）求表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数； （4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？(说明理由) 【答案】（1）50 （2）12 （3） （4）符合要求，理由详见解析 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图与扇形统计图， （1）根据户外活动时间为小时的人数和所占的百分比即可求出这次调查中共调查的学生数； （2）用50乘以户外活动时间为小时的人数所占的百分比即可求出人数，再补全统计图即可； （3）用乘以户外活动时间1小时的人数所占的百分比即可； （4）根据加权平均数的计算公式列式求出本次调查中学生参加户外活动的平均时间是，再与1小时比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （名）， 答：在这次调查中共调查了50名学生； 【小问2详解】 解：户外活动时间为小时的人数是：（人）， 补充频数分布直方图如图所示； 【小问3详解】 解：户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数为 ； 【小问4详解】 解：本次调查中学生参加户外活动的平均时间是： ， ∴本次调查中学生参加户外活动的平均时间符合要求． 21. 如图，一次函数图像与反比例函数（为常数且）的图像交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）的面积为． 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数解析式求出该点具体坐标，再将其代入反比例函数解析式即可得解； （2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式求出点坐标，再借助一次函数解析式求出一次函数与轴交点点的坐标，则根据求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 所以点坐标为， 把代入（为常数且）得， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：联立得， 解得或， ， 如图，一次函数的图像与轴交于点， 在中，令，则， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是求一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数解析式、反比例函数与几何综合—求三角形面积，解题关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题． 22. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B. (1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标． 【答案】（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式； （2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，再求得点M的坐标． 试题解析：（1）依题意得：， 解之得：， ∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3， ∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0）， ∴B（-3，0）， ∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n， 得， 解得：， ∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3； （2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x=-1代入直线y=x+3得，y=2 ∴M（-1，2）． 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）． 考点：1.抛物线与x轴的交点；2.轴对称-最短路线问题． 23. 某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据． 生产吨数（吨） 50 70 生产费用（万元） 1500 1840 （1）求y与x函数解析式； （2）已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元． ①求w与x的函数解析式； ②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值． 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】本题考查函数的应用，根据题意找到各个量之间的关系，建立正确的函数解析式并把问题转化成对应的数学模型再准确计算是正确解决本题的关键． （1）根据题意可设材料费用为，制造费用为，则，把，代入解析式中，建立方程组求解即可； （2）①根据等量关系：利润售价生产成本，可知，把和代入化简即可；②把与的函数解析式配方得：，根据二次函数的性质可知，求解可得，结合代入中即可． 【小问1详解】 解：依题意，设材料费用为，制造费用为， 则：， 根据题意可知，，满足解析式， 代入可得：， 解得：， 与的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：① 综上所述，与的函数解析式为：； ②， 配方得：， 当生产吨数是吨时，利润最大， 即当时，有最大值， ， 解得， 此时． 24. 如图1，已知矩形中，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以长为半径作． （1）如图2，当与相切时，求的半径长． （2）当点O运动到何处时，的半径最小?求出最小半径． （3）在点O运动的过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据即可求解； （2）利用垂线段最短解决问题即可； （3）求出三种特殊位置，当经过点C时，当与相切时，当经过点A时，即可求解． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∵点P是对角线的中点， ∴ ∵与相切 ∴ ∴ ∴，解得： ∴的半径为； 【小问2详解】 当时，的值最小，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 当经过点C时，如图，此时有三个交点，过点O作，如图，此时 ∴ ∴ ∴ ∴ 当与相切时，此时有三个交点，由（1）得： ∴ 此时的取值范围是 当经过点A时，如图，此时有三个交点，过点O作，如图，此时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 此时，的取值范围是 综上：的取值范围是或 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青龙县2024—2025学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷总分120分，考试时间120分钟． 本试卷答案一律写在答卷纸上，考试结束后，只收答卷纸． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上正确填涂） 1. 样本数据2、、3、4的平均数是3，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若（），则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 3. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 随的增大而增大 D. 若，则 4. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 6. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正切值是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，点，分别在，上，DE∥BC，若，，则的长为（ ） A. 14 B. C. 8 D. 6 10. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正六角形螺帽的边长为，则扳手的开口的长为（ ） A. B. C. D. 12. 函数和函数（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 13. 方程的两根分别是，，则_____． 14. 计算：_____． 15. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是_____． 16. 如图，在钝角三角形中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ___________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出演算步骤、证明过程或文字说明） 17. 用适当方法解方程： （1）； （2）． 18. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=． （1）求半径OD； （2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 19. 某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为25海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上． （1）求之间的距离； （2）若海监船由B处继续向东航行否有触礁危险？请说明理由． 20. “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时．为了了解学生参加户外活动的情况，某校对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中共调查了多少名学生？ （2）求户外活动时间为小时的人数，并补充频数分布直方图； （3）求表示户外活动时间1小时的扇形圆心角的度数； （4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？(说明理由) 21. 如图，一次函数图像与反比例函数（为常数且）的图像交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 22. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B. (1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标． 23. 某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据． 生产吨数（吨） 50 70 生产费用（万元） 1500 1840 （1）求y与x的函数解析式； （2）已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元． ①求w与x的函数解析式； ②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值． 24. 如图1，已知矩形中，，点P是对角线中点，点O为射线上的一个动点，连接，以长为半径作． （1）如图2，当与相切时，求的半径长． （2）当点O运动到何处时，的半径最小?求出最小半径． （3）在点O运动的过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $