精品解析：湖北省武汉新城葛华片区2024-2025学年九年级下学期2月学情检测数学试卷

葛华片区2025年2月学情检测九年级数学试题 一．选择题（30分） 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 一种彩票中奖率为1%，就是说买100张这种彩票肯定能中奖一次． B. 天气预报说明天下雨的概率是65%，意思是明天65%的时间会下雨． C. 达瓦投篮很准，他投一次篮会投中是必然事件． D. 卓玛打开电视，可能会遇到广告． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 6. 已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. △BCD是等边三角形 C. AD垂直平分BC D. 7. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ） A. B. 3 C. D. 9. 观察等式：；；已知按一定规律排列一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ） A. B. C. D. 10. 我们定义一种新函数：形如（，且）函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（18分） 11. 分解因式： ____． 12. 如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________． 14. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____． 15. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处，当是直角三角形时，_________． 三．解答题 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 18. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有______人； （2）条形统计图中m的值为______，扇形统计图中的度数为_______； （3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； （4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 19. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值． 20. 小延想要测量学校教学楼的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，视线通过旗杆的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离米，米，米，米，米，、、、均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼的高度 21. 如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． （1）求证：是的切线； （2）若，求与值． 22. 如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场.中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的们，设AB＝x. （1）若两个鸡场的总面积为S，求S关于x的关系式； （2）若两个鸡场总面积为96m2，求x； （3）直接写出当鸡场的总面积不小于105m2时，x的取值范围是 　　． 23. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60° (1)如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE. ①求证：CE⊥AD； ②若AB＝，BE＝，求AE的长； (2)如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF.若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积. 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 葛华片区2025年2月学情检测九年级数学试题 一．选择题（30分） 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：相反数是3． 故选：A． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 一种彩票中奖率为1%，就是说买100张这种彩票肯定能中奖一次． B. 天气预报说明天下雨的概率是65%，意思是明天65%的时间会下雨． C. 达瓦投篮很准，他投一次篮会投中是必然事件． D 卓玛打开电视，可能会遇到广告． 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率、随机事件的意义逐项判断即可． 【详解】A选项，彩票中奖率为1%，买100张这种彩票也不一定会中奖，错误； B选项，天下雨的概率是65%说明下雨的可能性是65%，不代表65%的时间会下雨，错误； C选项，达瓦投篮很准不代表每投一次篮都会中，不是必然事件，错误； D选项，卓玛打开电视，会不会遇到广告是随机事件，所以“可能会遇到广告”说法正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查概率、随机事件、必然事件等知识点，熟练掌握相关基本概念是解题关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式等知识点．根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式运算法则，同底数幂的除法运算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠B=75°，再根据三角形外角的性质可得∠AED=∠1-∠A=115°，继而根据平行线的性质即可求得答案. 【详解】∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ACB=∠B=(180°-30°)÷2=75°， ∵∠1=∠A+∠AED， ∴∠AED=∠1-∠A=145°-30°=115°， ∵a//b， ∴∠2+∠ACB=∠AED=115°(两直线平行，同位角相等)， ∴∠2=115°-∠ACB=115°-75°=40°， 故选C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，先分别解出各个不等式的解，再求出公共部分，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 即 故选：C 6. 已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. △BCD是等边三角形 C. AD垂直平分BC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程及所作图形可知，得出△BCD是等边三角形；又因为，，推出，继而得出；根据，，可知AD为的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC； 四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和，为． 【详解】解：∵ ∴△BCD是等边三角形 故选项B正确； ∵， ∴ ∴ 故选项A正确； ∵， ∴据三线合一得出AD垂直平分BC 故选项C正确； ∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和 ∴ 故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大． 7. 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．设小和尚有x人，则大和尚有人，根据题意可得，小和尚每人分个馒头，大和尚1人分3个，列出方程即可． 【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有人， 依题意列方程得， 故选：A． 8. 如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD，根据垂径定理可得AE=BE=3，从而得到CE=1，然后设OE=x，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD， ∴， ∵AC＝4，BC＝2， ∴BA=6， ∴AE=BE=3， ∴CE=1， 设OE=x， ∴， ∵CD⊥OC， ∴， ∴或（舍去）． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 9. 观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案. 【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a＋2a＋22a＋…＋250a ＝a＋(2＋22＋…＋250)a， ∵， ， ， …， ∴2＋22＋…＋250＝251－2， ∴250＋251＋252＋…＋299＋2100 ＝a＋(2＋22＋…＋250)a ＝a＋(251－2)a ＝a＋(2 a－2)a ＝2a2－a ， 故选C. 【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键. 10. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，结合函数图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：①，和都满足，故①正确； ②从函数图象可得图象具有对称性，对称轴为直线，故②正确； ③根据函数图象可得，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； ④当或时，函数的最小值是0，故④正确； ⑤由图象可得，当时，不是函数的最大值，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二．填空题（18分） 11. 分解因式： ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了阴影组合图形的面积．解决问题的关键是熟练掌握半圆的三等分点的性质，等边三角形的判断和性质，弧长公式，扇形面积公式，同底等高的两个三角形面积相等． 连接、和，根据C，D是以为直径的半圆的三等分点，可得，推出是等边三角形，推出，得到，根据同底等高的两个三角形面积相等，可将阴影部分的面积转化为扇形的面积，求解即可． 【详解】连接、、．设半圆的半径为r， ∵C，D是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弧的长为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数求得、坐标，再过作的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得的长度，得到点坐标，从而得到直线的函数表达式. 【详解】因为一次函数的图像分别交、轴于点、，则，，则．过作于点，因为，所以由勾股定理得，设，则，根据等面积可得：，即，解得．则，即，所以直线的函数表达式是． 【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解. 14. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____． 【答案】1或-9 【解析】 【分析】通过解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解． 【详解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2． ①若x=0是两个方程相同的实数根． 将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0， ∴m=1，此时原方程为x2+3x=0， 解得：x1=0，x2=-3，符合题意， ∴m=1； ②若x=2是两个方程相同的实数根． 将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0， ∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0， 解得：x1=2，x2=-5，符合题意， ∴m=-9． 综上所述：m的值为1或-9． 故答案为：1或-9． 【点睛】本题考查了一元二次方程解，代入x求出m的值是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处，当是直角三角形时，_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质，由折叠知，设，则，当是直角三角形时，分和两种情况，可证与相似，利用对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ，， E是的中点， ， ， 由折叠知， 矩形中，， ． 设，则， 是直角三角形时，分两种情况： 当时， ，， ， ，即， 解得， ； 当时， ，， ， ，即， 解得， ； 故答案为：或． 三．解答题 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当1时，原式． 17. 如图，在四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的判定与性质，由角平分线的定义结合，可得出，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，进而可得出，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出． 【详解】证明：∵平分交于点E，平分交于点F， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有______人； （2）条形统计图中m的值为______，扇形统计图中的度数为_______； （3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； （4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）60 （2）11，90° （3）100 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B：体育社团的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数； （2）根据（1）所求总人数即可求出m；用360度乘以C：文学社团的人数占比即可求出的度数； （3）用600乘以样本中最喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案； （4）画树状图或列表先得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴参加问卷调查的学生共有60人， 故答案为：60； 小问2详解】 解：由题意得：，， 故答案为：11；90°； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人， 故答案为：100； 【小问4详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下： 第2人 第1人 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等等，正确读懂统计图是解题的关键． 19. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： （2）或 （3）当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2． 【解析】 【分析】（1）由题意得把代入得，即可得出A点坐标，将两点代入一次函数求出k、b，从而得出答案； （2）一次函数在反比例函数图像的上方时，自变量x的取值范围即可． （3）由题意得，，再根据面积求出，即可求出P点坐标，可得t的值． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴反比例函数的解析式为： 把代入得， 把，代入； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 ∵不等式的解集即为：的解集， ∴或 【小问3详解】 如图， 由可知， ∴， ∵， 的面积为． ∴四边形的面积为 解得 ∵P点坐标为，点P可能在x轴正半轴或负半轴， ∴或 ∴当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点． 20. 小延想要测量学校教学楼的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，视线通过旗杆的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离米，米，米，米，米，、、、均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼的高度 【答案】22.6米 【解析】 【分析】连接并延长，交于点H，交于点P，根据题意可得：，从而利用相似三角形的性质可得，再证明，最后利用相似三角形的性质可得，从而求出的长，进而利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：连接并延长，交于点H，交于点P，如图所示， 由题意得：米，米，米，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， 解得：米， ∴（米）， ∴教学楼的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形，通过相似三角形的判定和性质求出线段的长． 21. 如图是的外接圆，点O在上，的角平分线交于点D，连接，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． （1）求证：是的切线； （2）若，求与的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，正确理解题意证明切线是解题的关键． （1）连接，先得出，进而得出，根据平行线的性质得出，推出，即可得出结论； （2）先证明，根据勾股定理得出，进而求得，再证明，根据相似三角形性质即可得出，代入可求出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接OD， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 22. 如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场.中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的们，设AB＝x. （1）若两个鸡场的总面积为S，求S关于x的关系式； （2）若两个鸡场总面积为96m2，求x； （3）直接写出当鸡场的总面积不小于105m2时，x的取值范围是 　　． 【答案】（1）S关于x的关系式：S＝﹣3x2+36x（≤x≤）； （2）x＝8； （3）≤x≤7 【解析】 【分析】（1）根据题意得AD＝36﹣3x，即可得，根据2≤AD≤20，即可得自变量的取值范围，即可得； （2）根据题意得，进行计算即可得方程的解，根据实际问题即可得； （3）由题意得，计算得：5≤x≤7，根据即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：AD＝BC， ∵两个鸡场是用34m长的篱笆围成， ∴AD﹣2+3x＝34， 即AD＝36﹣3x， ∴， ∵2≤AD≤20， ∴， 故S关于x的关系式：（）； 【小问2详解】 解：∵S＝96， ∴96＝﹣3x2+36x， ∴x1＝4，x2＝8， 当x＝4时，AD＝24＞20，故x＝4，不合题意舍去； ∴x＝8； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 解得：5≤x≤7， 又∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点． 23. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60° (1)如图1，P是边BD延长线上一点，以AP为边向右作等边△APE，连接BE、CE. ①求证：CE⊥AD； ②若AB＝，BE＝，求AE的长； (2)如图2，P是边CD上一点，点D关于AP的对称点为E，连接BE并延长交AP的延长线于点F，连接DE、DF.若BE＝11，DE＝5，求△ADF的面积. 【答案】(1)①证明见解析；②AE=；(2)△ADF的面积为. 【解析】 【分析】(1)①证△ADC和△ABC是等边三角形，再证△BAP≌△CAE，推出∠ACE＝30°，由∠ACE+∠CAD＝90°即可证明结论； ②如图1，设AC与BD交于点O，证∠BCE＝90°，由勾股定理求出CE，BP的长，由锐角三角函数等分别求出OA，OP的长，由勾股定理即可求出AP的长，即AE的长； (2)如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H，证∠HAF＝∠BAD＝60°，再证△DEF为等边三角形，即可求出HF，AH的长，进一步求出△AEF的面积，证△ADF≌△AEF即可. 【详解】证明： (1)①在菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝60°，且AB＝BC＝DA＝DC， ∴△ADC和△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠CAD＝60°， 又∵△APE是等边三角形， ∴AE＝AP，∠EAP＝60°， ∴∠BAC+∠CAP＝∠PAE+∠CAP， 即∠BAP＝∠CAE， ∴△BAP≌△CAE(SAS)， ∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°， ∵∠CAD＝60°， ∴∠ACE+∠CAD＝90°， ∴CE⊥AD； ②解：如图1，设AC与BD交于点O， 由①知，∠ACE＝30°，且∠ACB＝60°， ∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°， ∵在Rt△BCE中，BC＝AB＝，BE＝， ∴CE＝＝4， 由①知，△BAP≌△CAE， ∴BP＝CE＝4， 在Rt△BOC中，∠ACB＝60°， ∴BO＝BC＝，CO＝AO＝BC＝， ∴OP＝BP﹣BO＝， ∴在Rt△AOP中， AP＝＝＝， ∴AE＝AP＝； (2)解：如图2，连接AE，过点A作AH⊥BF于点H， ∵点D关于AP的对称点为E， ∴AP垂直平分DE， ∴AD＝AE，FD＝FE， ∴∠EAF＝∠DAF＝∠EAD，∠DFA＝∠EFA＝∠DFE， 又∵在菱形ABCD中，AB＝AD， ∴AB＝AE， ∴AH垂直平分BE， ∴EH＝BH＝BE＝，∠BAH＝∠EAH＝∠BAE， ∴∠HAF＝∠EAH+∠EAF＝∠BAD， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°， ∴∠HAF＝60°， ∴∠AFH＝90°﹣∠HAF＝30°， ∴∠DFE＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴EF＝DE＝5， ∴HF＝HE+EF＝+5＝， 在Rt△AHF中，∠AFH＝30°， ∴AH＝HF＝， ∴S△AEF＝EF•AH＝×5×＝， ∵AD＝AE，FD＝FE，AF＝AF， ∴△ADF≌△AEF(SSS)， ∴△ADF的面积为. 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等，综合性较强，解题关键是能够作出合适的辅助线，以便于利用等腰三角形的三线合一定理等． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的最大值为 （3）点M的坐标为：， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可； （3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点Q，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：根据折叠可知，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴或， 解得：或或， ∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在， ∴， ∴点M的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$