精品解析：湖南省株洲市景弘中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试题

2024年春季株洲市景弘中学九年级入学考试数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在四个实数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．根据实数的大小比较方法即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A 2. 国际单位制中的长度单位“米”起源于法国，1米的长度最初定义为通过巴黎的子午线上，从地球赤道到北极点距离的千万分之一．随着认识的加深，年国际度量衡大会重新制定米的定义：“光在真空中行进秒的距离”为一标准米．已知，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，进行求解后，判断即可． 详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的运算法则，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算． 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 5. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．根据平均数和方差的意义分析求解． 【详解】解：由表格中的数据来看甲的平均成绩最高，方差最小， 所以甲成绩好且发挥稳定， 故应选择甲． 故选：A． 6. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，即可求a的值． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 经检验是方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 7. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 的值随着值的增大而增大 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 函数图象经过第一、二、四象限 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解答的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．先画图，再根据一次函数的图象与性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：一次函数的函数图象如图， A、∵， ∴当x值增大时，y的值随着x的增大而减小，故选项A不正确，不符合题意； B、当时，，函数图象与y轴的交点坐标为，故选项B不正确，不符合题意； C、∵，，图象经过第二、三、四象限，故选项C不正确，不符合题意； D、当时，，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 8. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案． 【详解】连接CF与AD交于点O， ∵为正六边形， ∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=CO=DO=4mm， 即正六边形的边长为4mm， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的有（ ） ①； ②若点为“整点”，则点的个数为4个； ③若点为“超整点”，则点的个数为1个； ④若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征，不等式组的解法等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断①，利用“整点”定义即可判断②，利用“超整点”定义即可判断③，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断④． 【详解】解：∵点第二象限， ∴， ∴，故①错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故②正确； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故③正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故④错误， 故选：B． 10. 已知，其中分别为的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形从点开始沿方向平移至点与点重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K，根据勾股定理和全等三角形性质推出，判定四边形是矩形， ， ，得到，的最小值为1；当点A、F重合时，判定是等腰直角三角形，得到；当点C、E重合时，判定是等腰直角三角形，得到； 得到最大为，即得的取值范围． 【详解】解：分别过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K， 则， ∵，，， ∴， ∵， ∴，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 当时， ，最小； 当点A、F重合时， ∵， ∴， ∵，， ∴； 当点C、E重合时，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点A、F重合或点C、E重合时，最大，为， ∴的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形与平移综合．熟练掌握勾股定理解直角三角形，平移性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，化为最简二次根式是解决问题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，设，代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 13. 若单项式与是同类项，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出m、n的值，再求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据所给方程没有实数根，得出，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的方程没有实数根， 所以， 解得． 故答案为：． 15. 如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线的作图及线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据的周长为20，可得，根据作图可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，即可求得答案． 【详解】的周长为20， ， ， 由已知作图可知垂直平分， ， 的周长． 故答案为：12． 16. 某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质．作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形，在中，可得，，从而得到，然后在中，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为： 17. 如图，在矩形中，，，点N是边上的中点，点M是边上的一动点连接，将沿折叠，若点B的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为 _____． 【答案】或5 【解析】 【分析】分情况讨论：当时，当时，当时，再分别利用勾股定理和翻折的性质可得答案； 【详解】解：∵为直角三角形， 当时， ∵点N是边上的中点，， ∴， ∵， ∴点B的对应点不能落在所在直线上， ∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得， ， ∴； 当时，如图所示 ∵， ∴、N、C三点共线， 由勾股定理可得， ， 设，则， ∴， 解得：， 综上所述的长为或5． 【点睛】本题考查翻折的性质，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，且，的面积为36，则的值为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．连接，，过点A作于N，过点F作于M，证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于N，过点F作于M， ∵，， ∴， ∴， ∵A，F在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 可得， ∴， ∴． 故答案为：24． 三、解答题（8个小题，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，正确计算是解题的关键．根据零指数幂，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，绝对值化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： 20. 以下是小贤化简分式的过程： 解：原式 ． （1）在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为______． （2）请在中选择一个合适的数作为的值代入化简的结果求值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用分式的运算法则进行计算即可求解； （）由分式有意义的条件可得且，再把代入化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了分式的化简求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由分式有意义的条件得，且， ∴且， 把代入得，原式． 21. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）______，______，______； （3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 【答案】（1）①18；② （2）5；；3 （3）估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【解析】 【分析】（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图； （2）根据众数、平均数和中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ， 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图如下， ； 【小问2详解】 解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则， 第2小组的平均分为（分）， 则， 第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分）， 则， 故答案为：5；；3； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图和折线统计图，中位数、众数和平均数，样本估计总体．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2.4 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ， ，， ， 是直角三角形， 的面积， ， ． 23. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包 （2）选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 24. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案； （2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可； （3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案. 【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上， 则 设直线为： 则 所以直线为： （2） 轴， ． 所以反比例函数为： （3）设 而为的中点， 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键. 25. 综合与探究：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程式“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”： （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程（是常数，且是“邻根方程”，令，求当为何值时，有最大值． 【答案】（1）不是； （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）先解一元二次方程求出方程的两根，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）设方程的较小的一根为，则另一根为，根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可； （3）同（2）求出，进而得到或，，据此求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴或， 解得，， ∴方程不是“邻根方程”； 【小问2详解】 设方程的较小的一根为，则另一根为， ∴，， ∴， ∴， 解得或； 【小问3详解】 设方程的较小的一根为，则另一根为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴当时，t有最大值． 26. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．在课后数学老师留下了对邻等对补四边形与对角线相关性质的两个问题①和②，数学兴趣小组长小明邀请小组同学对老师留下的两个问题进行了研究，如下图所示，请你根据提示继续帮小明小组解决问题． 如图2，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． ①如图2，写出图中相等的角，并说明理由； 小明小组讨论后，解题思路如下：①， 理由：延长至点，使，连接， 四边形是邻等对补四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； ②若，，，请你根据①的思路提示帮小明小组求出的长（用含，，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请具体写出求长的过程． 【答案】（1）②④； （2）②； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 的长为； 【小问3详解】 ∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时， 如图，连接，过N作于H， ∴， 在中，， 在中，， ， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时， 连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季株洲市景弘中学九年级入学考试数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在四个实数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 国际单位制中的长度单位“米”起源于法国，1米的长度最初定义为通过巴黎的子午线上，从地球赤道到北极点距离的千万分之一．随着认识的加深，年国际度量衡大会重新制定米的定义：“光在真空中行进秒的距离”为一标准米．已知，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行于主光轴光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩平均数（单位：环）和方差如表所示： 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 8.2 8.5 0.09 065 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 7. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 的值随着值的增大而增大 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 函数图象经过第一、二、四象限 D. 当时， 8. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ） A. 2mm B. C. D. 4mm 9. 在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”．已知点在第二象限，下列说法正确的有（ ） ①； ②若点为“整点”，则点的个数为4个； ③若点为“超整点”，则点的个数为1个； ④若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知，其中分别为的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形从点开始沿方向平移至点与点重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知，则的值是_______． 12. 分解因式：=_________________________． 13. 若单项式与是同类项，则_______． 14. 已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______． 15. 如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为________． 16. 某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为______（结果保留根号）． 17. 如图，在矩形中，，，点N是边上的中点，点M是边上的一动点连接，将沿折叠，若点B的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为 _____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，且，的面积为36，则的值为_______． 三、解答题（8个小题，共66分） 19. 计算： 20. 以下是小贤化简分式的过程： 解：原式 ． （1）在化简过程中的横线上依次填入的卡片序号为______． （2）请在中选择一个合适的数作为的值代入化简的结果求值． 21. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）______，______，______； （3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 22. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 23. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 24. 如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知． （1）求直线的解析式； （2）求反比例函数的解析式； （3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积． 25. 综合与探究：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程式“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”： （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程（是常数，且是“邻根方程”，令，求当为何值时，有最大值． 26. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．在课后数学老师留下了对邻等对补四边形与对角线相关性质的两个问题①和②，数学兴趣小组长小明邀请小组同学对老师留下的两个问题进行了研究，如下图所示，请你根据提示继续帮小明小组解决问题． 如图2，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． ①如图2，写出图中相等的角，并说明理由； 小明小组讨论后，解题思路如下：①， 理由：延长至点，使，连接， 四边形是邻等对补四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； ②若，，，请你根据①的思路提示帮小明小组求出的长（用含，，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请具体写出求长的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$