精品解析：湖南衡南县第一中学初中部（北斗星中学）2025-2026学年九年级下学期 数学情自测试题

2026年上学期北斗星中学九年级开学考试试卷 数学 本试卷共4页，23题．全卷满分100分，考试时间90分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列词语所描述的事件，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 缘木求鱼 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可． 【详解】A．守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意； B．水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； C．水滴石穿是必然事件，故该选项符合题意； D．缘木求鱼是不可能事件，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义， 熟练掌握定义是解题的关键．根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可． 【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，不能合并，符合题意； C. ，与同类二次根式，能合并，符合题意； D. ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：C． 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，，，，故选B． 4. 在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先求出球的所有个数，再根据概率公式解答即可． 详解：∵袋子中装有4个红球和3个黑球， ∴共有7个球，其中4个红球， ∴从口袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是. 故选B 点睛：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 5. 2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，列方程为， 故选A． 6. 已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形对应高之比等于相似比，周长之比等于相似比求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高之比为， ∴两个三角形的相似比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 7. 若的内角满足，则的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记特殊角的三角函值是解答本题的关键．由非负数的性质得，求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的形状是直角三角形． 故选：A． 8. 如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD长为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ， ，EF＝4， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 如图，在中，，点是高和的交点，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点是高和的交点可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，于是可得，进而可证得，于是可得，根据含度角的直角三角形的特征可得，于是即可求出线段的长度． 【详解】解：点是高和的交点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形等知识点，证明是解题的关键． 10. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 有最大值3 【答案】B 【解析】 【分析】求出当时，即可判断A；把二次函数解析式化为顶点式即可判断B、C、D． 【详解】∵当时，，则二次函数与y轴的交点坐标为，故A不符合题意； ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，故B符合题意； ∴当时，y随x的增大而减小，故C不符合题意， ∵ ∴有最大值为4，D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数图象的性质． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若最简二次根式与能合并，则a＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴a+1＝5， 解得：a＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 12. 已知方程有一个根是，则代数的值为_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．由方程有一个根是，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：方程有一个根是， ， ， ． 故答案为：2024． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接应用一元二次方程的根与系数的关系求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 14. 如图，矩形的对角线与相交于点，，、分别为、的中点，则的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得． 【详解】解：矩形的对角线与相交于点，， ， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，是边上的高，点是的中点，若，，且，则的长是______  ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，锐角三角函数，解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，再在中，利用勾股定理可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，进而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，若是边上任意一点，且满足，与边的交点为，则线段的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设BP=x，则CP=6-x，证明△ABP∽△PCM，用x的代数式表示CM，进而用x的代数式表示AM，最后配方法求AM的最值． 【详解】设BP=x，则CP=6-x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠APM=∠ABC， ∴∴∠ABC=∠ACB， ∴∠APM=∠ABC=∠ACB， ∴△ABP∽△PCM， ∴，即，， ∴， 当x=3时，AM有最小值， 此时， 故答案为. 【点睛】本题考查了等腰三角形与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与二次函数的最值． 三、解答题（7大题，共52分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值可直接进行求解． 【详解】解：原式． 18. 解方程 （1）． （2） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）． ， ， （2）． ， ， ， ， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法和配方法解方程． 19. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）共有______名学生参加竞赛；成绩为“B等级”的学生人数有______名； （2）在扇形统计图中，m的值为______； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有一名女生和两名男生，请用画树状图的方法求出一名男生和一名女生同时被选中的概率． 【答案】（1）20，5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，会用列表法和树状图求概率是解题的关键． （1）等的有3人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出等的人数； （2）根据等级的人数与总人数计算等级所占的百分比，即可求出的值； （3）用画树状图的方法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率． 【小问1详解】 （名，（名， 故答案：20，5； 【小问2详解】 ，即， 故答案为：40； 【小问3详解】 “等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中一名男生和一名女生同时被选中的有4种， ∴一名男生和一名女生同时被选中的概率为． 20. 如图，在中，，是斜边上的高，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，利用相似三角形的性质得即可求出． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 已知，关于x的一元二次方程． （1）k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？ （2）如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根． 【答案】（1）且时，方程有两个不相等的实数根 （2），另一个根为 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式计算解答； （2）把代入原方程，解得k的值．再根据一元二次方程根与系数的关系求得另一个根． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 解得 所以，当且时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入原方程得：，解得：． 设另一个根为，则 即 所以方程的另一个根为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识点是解题的关键． 22. 某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． （1）与的函数关系式为________； （2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到，即可解得 （2）根据一次函数的性质即可求解 【小问1详解】 根据题意得，， 故与的函数关系式为 【小问2详解】 ， 解得：，（舍去）， 故答案为：40元 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键 23. 如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆，，，． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求滑竿DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：，，，． 【答案】（1）70cm （2）99cm 【解析】 【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，先利用，计算FH、DH的长度，再解直角三角形即可得到结论； （2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 过作于H． ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（cm）； 【小问2详解】 过A作交的延长线于， ∵， ∴； ∵， ∴， （cm）， 答：拉杆端点A到水平滑杆的距离为99cm． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期北斗星中学九年级开学考试试卷 数学 本试卷共4页，23题．全卷满分100分，考试时间90分钟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列词语所描述的事件，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 缘木求鱼 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比（ ） A. B. C. D. 7. 若内角满足，则的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 8. 如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 9. 如图，在中，，点是高和的交点，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象与轴交点坐标为 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 有最大值3 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 若最简二次根式与能合并，则a＝___． 12. 已知方程有一个根是，则代数值为_____． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 14. 如图，矩形的对角线与相交于点，，、分别为、的中点，则的长度为___________． 15. 如图，在中，是边上的高，点是的中点，若，，且，则的长是______  ． 16. 如图，在中，，，若是边上任意一点，且满足，与边的交点为，则线段的最小值是__________． 三、解答题（7大题，共52分） 17. 计算：． 18. 解方程 （1）． （2） 19. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）共有______名学生参加竞赛；成绩为“B等级”的学生人数有______名； （2）在扇形统计图中，m的值为______； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有一名女生和两名男生，请用画树状图的方法求出一名男生和一名女生同时被选中的概率． 20. 如图，在中，，是斜边上的高，，，求的长． 21. 已知，关于x的一元二次方程． （1）k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？ （2）如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根． 22. 某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）． （1）与的函数关系式为________； （2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？ 23. 如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆，，，． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求滑竿DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $