精品解析：湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年下期期末质量监测九年级数学 注意事项： 1．请考生将答案填写在答题卡上． 2．考生不得使用科学计算器参加考试． 3．本学科试题卷共三道答题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的判定，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质化简，同类二次根式的概念是解题的关键． 同类二次根式是指“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”，先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的概念判定即可求解． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C ． 3. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的，时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，此题分，两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当时，方程化简为，是一元一次方程，有实数解； 当时，方程为一元二次方程，有两个实数根， ∴ ∴， ∴的取值范围是，   故选：B ． 4. 关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（） A. 1 B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于时有，于是可判断此方程必有一根为1， 【详解】解：当时，，则， 所以若，则此方程必有一根为． 故选：B． 5. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，进一步计算可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 7. 小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（ ） A. 他第11次摸到的一定还是黄球 B. 他第11次摸到的可能还是黄球 C. 盒子里一定都是黄球 D. 盒子里一定还有其它颜色的球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了可能性．根据题意，小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，说明盒子里有黄球，也可能有其它颜色的球，他第11次摸到的可能还是黄球，也可能不是黄球． 【详解】解：．他第11次摸到的不一定还是黄球，故该选项不符合题意； ．他第11次摸到的可能还是黄球，故该选项符合题意； ．盒子里不一定都是黄球 ，故该选项不符合题意； ．盒子里不一定还有其它颜色的球．，故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 9. 已知点经过平移后的对应点是，点也经过这样的平移后对应点是，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化—平移，平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减．由在经过此次平移后对应点，可得平移规律为：向右平移3个单位，向下平移7个单位，由此得到结论． 【详解】解：由在经过此次平移后对应点知、， 即、， 则， 故选：B． 10. 某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（ ） A. 按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B. 按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C. 按小安的设元方法，应列方程为 D. 按小溪的设元方法，应列方程为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据小安的设元方法和小溪的设元方法结合题意可依次排除选项． 【详解】解：A、按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； B、按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣，故原说法错误； C、按小安的设元方法，应列方程为，故原说法错误； D、按小溪的设元方法，应列方程为，故原说法正确； 故选D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值计算出，再与相乘计算即可即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握：对于有两个实数根的一元二次方程，，． 利用即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，另一个根为a， ∴， 解得：， 则另一根是2． 故答案为：2． 13. 如图，D、E分别是的边上的中点，如果的周长是14．则的周长是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到，，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：D、E分别是的边上的中点， 是的中位线， ，，， 的周长是14， ， 的周长， 故答案为：7． 14. 小明在解方程时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案： 方法如下： 第①步 第②步 第③步 第④步 老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）． 【答案】④ 【解析】 【分析】由，，解得或，进而判断作答即可． 【详解】解：， ， 解得或， ∴第④步错误， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：，即 根据题意得， 解得． 故答案为：． 16. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 17. 若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程.先对进行配方，再根据计算即可. 【详解】解：， ， ， ． ∵， ∴， 解得， 故答案为：1． 18. 图1是装了液体的长方体容器（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则图2中阴影部分的面积为______． 【答案】53 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理，过点B作垂直于地面，垂足为E．由勾股定理求出，由平行线的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，最后即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为E． 在中，，， 则． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 则， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：53． 三、解答题（本大题共7个小题，第19题6分、第20题12分、第21、22题每题8分、23题10分、第24题10分、25题12分，满分66分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：移项，得 因式分解，得， ∴或， 即 ； 【小问2详解】 解：， ， ， 即． 21. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）220 （2）参加活动的学生人数为18人 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； 【小问2详解】 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 22. 如图，小明手中握着3根质地，颜色等完全相同的细绳，只露出它们两端，将朝上的一端记为头，朝下的一端记为尾．小亮从头，尾中随机各选一个，求小亮选中的两端属于同一根细绳的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，分别用表示3根质地，颜色等完全相同的细绳，根据题意先画出树状图，得出所有情况数和两端属于同一根细绳的结果数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：分别用表示3根质地，颜色等完全相同的细绳， 画树状图： 共有9种等可能的结果数，其中两端属于同一根细绳的结果数为3种情况， 则小亮选中的两端属于同一根细绳的概率为． 23. 已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标． 【答案】 点坐标为：或或． 【解析】 【分析】由于点不确定，故分，，三种情况进行讨论． 【详解】解：点的坐标为， ，，，． 如图，当时， ，即， ，， ； 当时， ，即，解得， ， ； 当时， ，即，解得， ； 综上所述，点坐标为：或或． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 24. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 25. （本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）． （1）PQ=__________；（用含t的代数式表示） （2）若点N落在BC边上，则此时的t的值是多少？ （3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）秒或秒或秒 【解析】 【详解】（1）PQ= ………………………………2分 （2）点N落在BC上时，∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP， ∴∠CPN+∠CNP=90°， ∵∠QPN=90° ∴∠CPN+∠APQ=90°， ∴∠APQ=∠PNC， ∵∠AQP=∠PCN， ∴△AQP∽△PCN， ………………………………3分 ∴， ∴， ∴t=； ………………………………4分 （3）分类讨论： ①当PC=PN时，6-t=t， ∴t=， ………………………………6分 ②当PC=NC时，如图2，过点C作CF⊥PN于F，延长CF交AB于D， ∴PF=PN=t， ∴QD=t， 根据勾股定理得，AQ=， ∴AD=AQ+QD=t=， ∴t=， ………………………………8分 ③当PN=NC时，如图3，过点N作NG⊥AC于G， = ∴PG=PC=， 易知，△PNG∽△APQ， ∴， ∴， ∴t=， ………………………………10分 即：当△PCN是等腰三角形时，t=秒或秒或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期末质量监测九年级数学 注意事项： 1．请考生将答案填写在答题卡上． 2．考生不得使用科学计算器参加考试． 3．本学科试题卷共三道答题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（） A. 1 B. C. D. 无法确定 5. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 6. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（ ） A. 他第11次摸到的一定还是黄球 B. 他第11次摸到的可能还是黄球 C. 盒子里一定都是黄球 D. 盒子里一定还有其它颜色的球 8. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 9. 已知点经过平移后的对应点是，点也经过这样的平移后对应点是，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 10. 某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（ ） A. 按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B. 按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C. 按小安的设元方法，应列方程为 D. 按小溪的设元方法，应列方程为 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：______． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 13. 如图，D、E分别是的边上的中点，如果的周长是14．则的周长是__________． 14. 小明在解方程时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案： 方法如下： 第①步 第②步 第③步 第④步 老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______． 16. 若，则______． 17. 若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为 _____． 18. 图1是装了液体的长方体容器（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则图2中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共7个小题，第19题6分、第20题12分、第21、22题每题8分、23题10分、第24题10分、25题12分，满分66分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 解方程： （1） （2） 21. 随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 22. 如图，小明手中握着3根质地，颜色等完全相同的细绳，只露出它们两端，将朝上的一端记为头，朝下的一端记为尾．小亮从头，尾中随机各选一个，求小亮选中的两端属于同一根细绳的概率． 23. 已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标． 24. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 25. （本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）． （1）PQ=__________；（用含t的代数式表示） （2）若点N落在BC边上，则此时的t的值是多少？ （3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $