精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县2024-2025学年八年级下学期开学联考数学试题

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学开学摸底考试卷 考试范围：八年级上册内容；考试时间：100分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 分式的值等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 角的平分线是角的对称轴 B. 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴 C. 两个全等的图形一定关于某条直线对称 D. 两个成轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B. 全等三角形的对应边相等，对应角相等 C. 图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 D. 面积相等的两个图形是全等图形 4. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（　　） A. 21 B. 7 C. 6 D. 3.5 5. 如图，已知和是两个全等的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，，两线交于点，交于点，交于点，则下列结论正确的有（ ）个． ①；②；③；④是等边三角形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，在四边形中，，平分，作于点H．，，则的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 有两边和一个角分别相等两个三角形全等 D. 三角形两边垂直平分线交点到这个三角形的三个顶点的距离相等 8. 若二次三项式是一个完全平方式，则k值是( ) A. 5 B. C. D. 5或 9. 如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④ 10. 如图，在中，和的平分线，交于点，交于点，交于点，连接．过点作于点，若，，，，现给出以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，；其中，正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为________． 12. 与的乘积中不含x的一次项，则的值为______. 13. 若整数a使关于x的不等式组有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为_______． 14. 已知，则的值为__________． 15. 如图，已知，则的度数为 ________． 16. 如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是______． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 计算：． 18. 阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②的奇数次幂都等于； ③偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式成立的的值． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？ （2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用不高于2000元，则最少要购买多少个甲种品牌奖品？ 21. 如图所示，中，，点D是上一点，于点E，过点E作于点F． （1）若，求度数； （2）若点D是的中点，求证：． 22. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上作出一点，使的值最小．（保留作图痕迹）并直接写出点坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若、满足以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，，，则___________，___________，求点的坐标． （2）如图2，若，点是的延长线上一点（不与点重合），以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，，，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，设、交于点，当时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 八年级数学开学摸底考试卷 考试范围：八年级上册内容；考试时间：100分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 分式的值等于0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件为分式的分子等于0，分母不等于0是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 角平分线是角的对称轴 B. 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴 C. 两个全等的图形一定关于某条直线对称 D. 两个成轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和判断，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义，“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”． 【详解】解：A．角的平分线所在的直线是角的对称轴，故A错误； B．一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，故B正确； C．两个全等的图形不一定关于某条直线对称，故C错误； D．轴对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，故D错误． 故选：B． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B. 全等三角形的对应边相等，对应角相等 C. 图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 D. 面积相等的两个图形是全等图形 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全等图形的定义与性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们形状和大小一定相同，正确，故此选项不合题意； B、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，故此选项不合题意； C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，故此选项不合题意； D、全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等图形的定义与性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键． 4. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（　　） A. 21 B. 7 C. 6 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由，点是边的中点可得 ，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论． 详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， 当点在上时，最小，最小值为， ∴的最小值为7． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 5. 如图，已知和是两个全等的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，，两线交于点，交于点，交于点，则下列结论正确的有（ ）个． ①；②；③；④是等边三角形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECD，∠ACE=60°， 在△BCD和△ACE中， ∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确 ∴， ∵∠CMB=∠FMA， ∴∠BCM=∠AFM=60°， ∴∠MFN=120°，故②正确， 在△CAN和△BCM中 ∴△CAN≌△BCM(ASA)，故③错误， ∴MC=NC， ∵∠ACE=60°， ∴△MNC是等边三角形，故④正确 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定与性质逐一判定五条结论的成立与否是解题的关键． 6. 如图，在四边形中，，平分，作于点H．，，则的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，过点D作交延长线于E，证明，得到，，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于E， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 有两边和一个角分别相等的两个三角形全等 D. 三角形两边垂直平分线的交点到这个三角形的三个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理，利用三角形的外角的性质、平行线的性质、全等三角形的判定方法以及三角形的外心的定义分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握相关定义和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、有两边和夹角分别相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、三角形两边垂直平分线的交点到这个三角形的三个顶点的距离相等，故原命题正确，是真命题，符合题意； 故选：D． 8. 若二次三项式是一个完全平方式，则k的值是( ) A. 5 B. C. D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】根据首末两项是x和的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍也就是，由此对应求得的数值即可． 【详解】解：∵是一个多项式的完全平方， ∴，即，解得：或． 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式问题，关键要根据完全平方公式的结构特征进行分析，两数和的平方加上或减去它们乘积的2倍，就构成完全平方式，在任意给出其中两项的时候，未知的第三项均可求出，要注意积的2倍符号，有正负两种情形，不可漏解． 9. 如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平分，得到，可以证明，故①正确；根据，，，得到，可得到②正确；根据，，可得到③正确； 证明，可④错误． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵ ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，大角对大边原理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 10. 如图，在中，和的平分线，交于点，交于点，交于点，连接．过点作于点，若，，，，现给出以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，；其中，正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，于点，由角平分线的性质得到，则平分，即，可判断①正确；由角平分线的性质和三角形内角和定理，推出，可判断②错误；由，，，得：，则，可判断③错误；在上截取，连接，当时，可推出，则，可证明，则，进而得到，再证明，得到，则，可判断④正确；当时，四边形是正方形，得到，可证明，得到，再证明，得到，推出，得到，可判断⑤正确，即可求解． 【详解】解：如图1，作于点，于点， 平分交于点， ， 平分交于点，于点， ， ， 点在的平分线上， 平分， ，故正确①； ，， ， ， ，故②错误； ，，，， ， ，故③错误； 如图2，上截取，连接， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故④正确； 如图3，，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ，故⑤正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是0.000000045米，将数0.000000045用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 与的乘积中不含x的一次项，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先计算多项式乘以多项式，然后根据乘积中不含x的一次项求出n，再计算负整数指数即可. 【详解】解：， ∵乘积中不含x的一次项， ∴，解得， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了多项式的乘法和负整数指数幂，正确理解题意、熟练掌握整式的运算法则是解题关键. 13. 若整数a使关于x的不等式组有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，掌握一元一次不等式组解集的计算方法以及分式方程的解、增根的定义是正确解答的关键．根据一元一次不等式组整数解的定义以及分式方程的解，增根的定义进行计算即可． 【详解】解：不等式的解集为， 不等式的解集为， ∵关于的不等式组有且只有2个偶数解， ∴， 解得， 给关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 当时，即， 解得， 又关于的分式方程有整数解， 为偶数， 或， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：10． 14. 已知，则的值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，根据，得到，根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：16． 15. 如图，已知，则的度数为 ________． 【答案】##57度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确得出对应角是解题的关键．首先直接利用全等三角形的性质得出对应角的度数，再根据三角形内角和定理，进而得出答案． 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明，关键在于通过作辅助线构造全等三角形，同时注意坐标与线段长度之间的转化． 通过作辅助线构造全等三角形，然后利用全等三角形对应边相等的性质建立等式，得到关于、的等式，即可确定、之间的数量关系． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点． ． ． ． 在和中： ， ． ． ，． ． ． ． ． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法．提公因式法是指如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 18. 阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②的奇数次幂都等于； ③的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式成立的的值． 【答案】的值为1或0或 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂．分别根据①②③④进行讨论即可． 【详解】①当时，； ②当时，，指数为偶数，所以符合题意； ③当时，，且，所以符合题意； 综上所述：的值为1或0或． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解； ， 当时， 原式． 20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生．已知乙种品牌奖品的单价比甲种品牌奖品的单价的3倍少50元，用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌奖品的单价各是多少元？ （2）若该学校一次性购买甲、乙两种品牌的奖品共60个，且总费用不高于2000元，则最少要购买多少个甲种品牌奖品？ 【答案】（1）甲种品牌奖品的单价为30元，乙种品牌奖品的单价为40元 （2）最少要购买40个甲种品牌奖品 【解析】 【分析】（1）设甲种品牌奖品的单价为元，则乙种品牌奖品的单价为元，根据“用600元购买甲种品牌奖品的数量与用800元购买乙种品牌奖品的数量相同”列出分式方程，解方程即可得到答案； （2）设购买甲种品牌奖品个，则购买乙种品牌奖品个，根据“总费用不高于2000元”列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲种品牌奖品的单价为元，则乙种品牌奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际意义， 则， 答：甲种品牌奖品的单价为30元，乙种品牌奖品的单价为40元； 【小问2详解】 解：设购买甲种品牌奖品个，则购买乙种品牌奖品个， 由题意得：， 解得：， 答：最少要购买40个甲种品牌奖品． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程，一元一次不等式，是解此题的关键． 21. 如图所示，中，，点D是上一点，于点E，过点E作于点F． （1）若，求的度数； （2）若点D是的中点，求证：． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可； （2）连接，根据，且点D是的中点，得到，证得后即可证得． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 中， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接 ∵，且点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础． 22. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上作出一点，使的值最小．（保留作图痕迹）并直接写出点坐标． 【答案】（1）见解析，，， （2）见解析，点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，利用轴对称求最短路径，正确的得出对应点的坐标是解题的关键． （1）分别作出关于轴对称的对应点，，，再首尾顺次连接，根据点的位置结合坐标系写出点的坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，此时与轴的交点即使的和最小的点． 【小问1详解】 如图所示，即为所求， ∴，，． 【小问2详解】 如图所示， ∵ ∴点P即为所求． ∴由网格得，点P的坐标为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若、满足以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，，，则___________，___________，求点的坐标． （2）如图2，若，点是的延长线上一点（不与点重合），以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，，，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，设、交于点，当时，求四边形的面积． 【答案】（1）2，4，的坐标为 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过作轴于，由，可得，；证明，可得，，即可得的坐标为； （2）过作轴于，证明，可得，，知，即得，故，是等腰直角三角形，从而； （3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，证明，可得，从而，有，根据，可知，故四边形的面积为． 【小问1详解】 解：过作轴于，如图： ， ，， ，； 、， ，， ， ， ，， ∴ ，， ， 的坐标为； 故答案为：2，4；的坐标为； 【小问2详解】 证明：过作轴于，如图： ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 解：过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图： ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及算术平方根的非负性，坐标与图形，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$