精品解析： 江苏省南京求真中学2024-2025学年九年级下学期寒假数学作业检查（期初开学考试）卷

2024—2025学年第二学期寒假作业检查 九年级数学试卷 时间：70分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：略 2. 已知二次函数，则下列说法错误的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象与 轴的交点坐标是， D. 当时，随 增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确； ∵， ∴图象的顶点坐标是，故B错误； 令，则，解得，， ∴图象与 轴的交点坐标是，，故C正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线 ， ∴当时，随 增大而减小，故D正确； 故选：B． 3. 已知一组数据26，36，36，3◼，41，42，其中一个数的个位数字被墨水涂污，则仍能准确计算的统计量是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数、众数的概念，判断哪个统计量的结果与被涂污数字无关，即可得到答案． 【详解】解：∵ 平均数、方差的计算都需要用到被涂污数字的具体值，结果随被涂污数字改变， 因此A、B无法准确计算，排除A、B； ∵ 被涂污的数为，取值范围是，这组数据共6个，中位数为从小到大排序后第3个和第4个数的平均数， 分情况讨论： 若，排序为，第3、4个数都是36；中位数是36；众数是36； 若，排序为，第3、4个数都是36；中位数是36；众数是36； 若，排序为，第3、4个数是；中位数是；众数是36； 故仍能准确计算的统计量是众数． 4. 如图， 中，于D，下列条件中：①；②；③；④；⑤，⑥，一定能确定 为直角三角形的条件的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据直角三角形的判定及相似三角形的判定方法，对各项一一判断即可； 【详解】∵，， ∴， 即△ABC是直角三角形，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即△ABC是直角三角形，故②符合题意； ∵，， ∴， 无法得到两角和为，故③不符合题意； ∵，， ∴，，， ∴△ABC不是直角三角形，故④不符合题意； 由三角形的相似无法推出成立，所以△ABC不是直角三角形，故⑤不符合题意； ∵，， ∴， ∴即△ABC是直角三角形，故⑥符合题意； 故一定能够确定△ABC是直角三角形的条件有①②⑥； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和直角三角形的判定，准确分析判断是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中， 与是以 为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵ 与是以O为位似中心的位似图形，， ∴且相似比为， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标是，即， 故选：B． 6. 如图，菱形 中，，，直线，直线从点 出发，以1cm/s的速度由点 向点匀速平移，分别交，于点，．设的面积为，运动时间为，则关于的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 交 于点，分和，两种情况求出关于的函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：设 交 于点， ∵菱形 中，，， ∴， ∵直线从点 出发，以1cm/s的速度由点 向点匀速平移，直线， 当时， ， ∴， ∴，即：， ∴图象是开口向上的抛物线的一段； 当时，，则：， ∴， ∴，即：， 图象为开口向下的抛物线的一段； 综上：符合题意的只有D选项； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，正确求出函数解析式，是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 如果，则的值是_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据分式的性质进行化简即可求解．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：． 8. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解： 两个相似三角形面积之比为， 两个相似三角形相似比为， 它们的对应中线之比为， 故答案为：． 9. 设、是关于x的方程的两个根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用，可得，，即可解答，熟记根与系数的关系的公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， ， 故答案为： ． 10. 若线段，且点C是 的黄金分割点，且，则 的长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是 的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 11. 若一个圆锥的底面半径是3cm，母线长是8cm，则其侧面展开图的面积是_____cm2．（结果保留π） 【答案】24π 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式计算． 【详解】圆锥侧面展开图的面积＝×2×3π×8＝24π（cm2）， 故答案为24π． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积：S侧=×2πr•l=πrl是解题的关键． 12. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 13. 如图，四边形 是的内接四边形， 是的直径，连接 ，若，，则_________°. 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理．先根据 是的直径得出，故可得出，由可知，故可得出，故，根据可知，再由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是的内接四边形， ，即， ． 故答案为：60． 14. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由函数图象与 轴的交点坐标得出其对称轴．先根据和求出二次函数的对称轴，然后根据两点与对称轴的距离结合开口方向进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和 ∴对称轴为 ∵抛物线还经过点和， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线的距离离轴越远，函数值越小， ∴， 故答案为：． 15. 已知点，的半径为 ， 切于点 ，点为上的动点，当点的坐标为_____时，是等腰三角形． 【答案】或或． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质，分情况讨论：当时；当时；当时，分别利用圆的基本性质、切线的性质等求解即可，熟练运用几何知识是解题的关键． 【详解】解：过点 作与相切， 此时，连接，作轴于点， 根据题意易得，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为； 当时，若点位于如图所示位置， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，满足，此时点的坐标为； 当时，点的位置如图所示，过点 作轴于点，由知，， ∴， ∵，，即为的垂直平分线，则满足，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 16. 如图，在 中，，，点D在 上，且，点P是线段 上一个动点，以为直径作，点Q为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点A作，交的延长线于点H，根据垂线段最短，正弦函数解答即可． 本题考查了圆周角定理，垂线段最短，正弦函数应用，熟练掌握定理和正弦函数是解题的关键． 【详解】解：连接，过点A作，交的延长线于点H， ∵点Q为直径上方半圆的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴， 即， 故当点Q与点H重合时，最小，且最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7大题，共62分） 17. （1）解方程： ①； ②． （2）计算： ①． ② 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数的混合运算； （1）①利用因式分解法解即可；②利用因式分解法解即可； （2）①利用特殊角三角函数值计算即可；②利用特殊角三角函数值计算即可． 【详解】解：（1）①， 原方程可化为：， ∴或， ∴； ②， ∴， ∴， ∴或， ∴； （2）① ； ② ． 18. 如图，是四个连续的排成一排的座位，靠过道． （1）甲选择靠过道位置的概率为______； （2）甲先从4个座位中随机选择一个坐下，乙再在剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻且乙靠过道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图求概率，正确画出相应的树状图是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）甲有4种选择方式，乙有3种选择方式，据此画出树状图，再确定所有等可能的结果和甲乙两人座位相邻且乙靠过道的的结果数，最后利用概率的公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是四个连续的排成一排的座位，靠过道， ∴甲选择靠过道位置的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下， 由树状图可得，一共有12种等可能结果，其中甲乙两人座位相邻且乙靠过道的结果有4种，即， 所以甲乙两人座位相邻的概率为：． 19. 某厂家打算从甲、乙两家快递公司中选择一家进行合作. 厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如下： 甲、乙两家快递公司满意度得分折线统计图 （1）根据以上信息，填空： 公司 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8 ① 1 乙 ② 8 ③ （2）如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？ 【答案】（1）8；8； （2） 解：选择甲快递公司好（答案不唯一）， 理由如下： 甲乙两公司的平均数和中位数都一样，但是甲的方差比乙小， 公司甲更加稳定， 选择甲快递公司好． 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数，中位数和方差做决策， （1）根据折线图，即可求出相关数据； （2）对比甲乙两公司的平均数，中位数和方差作决定即可； 熟知相关概念，熟练计算平均数，中位数和方差是解题的关键． 【小问1详解】 解：公司甲的中位数为； 公司乙的平均数为； 公司乙的方差为 故答案为：8；8；； 【小问2详解】 略 20. 图1，图2，图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可． （1）在图1中找一个格点P，连结，使． （2）在图2中找两个格点P，Q，连结，使直线． （3）在图3中找两个格点P，Q，连结交线段 于点C，使． 【答案】（1） 如图1，和均满足题意． （2） 如图2，P，Q即为所求（答案不唯一）． （3）P，Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质： （1）以 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为所求的格点P． （2）结合垂直的定义利用网格画图即可． （3）取格点P，Q，使，且，则P，Q即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取格点P，Q，使，且， 此时， ∴， 即， 则P，Q即为所求． 21. 已知函数与． （1）求证：与的函数图象总有两个公共点； （2）当时，，求 的取值范围． 【答案】（1）证明：令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 即与的函数图象总有两个公共点； （2）且． 【解析】 【分析】（）令，得，由根的判别式可知，一元二次方程 有两个不相等的实数根，即与的函数图象总有两个公共点； （ ）设，令，可得，，分别讨论和两种情况，结合二次函数的图象可得答案； 本题考查二次函数与不等式（组），二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 可知抛物线的图象开口向上， 令，得， 解得，， 若，满足当时，， 即， ∴， ∵， ∴； 若， 得， ∵当时，，即， ∴， 解得， ∴． 综上所述， 的取值范围为且． 22. 如图，在 中， ，以 为直径的与的平分线相交于点，过点作，分别交， 的延长线于点， ． （1）求证： 是的切线； （2）若的半径为 ，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，根据平行线的性质，结合 可得出，即可得结论． （2）利用勾股定理求出 的长，根据（1）的结论可证明四边形是矩形，根据垂径定理可求出的长及是 的中位线，即可求出、，由可得出，根据相似三角形的性质即可得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴ 是的切线． 【小问2详解】 解：∵的半径为 ， ∴ ， ∵， ， ， ∴， 由（1）知，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴是 的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、切线的判定、垂径定理、中位线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 23. 我们定义：若点A在一个函数的图像上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”． （1）一次函数的“反点”的坐标为______； （2）已知反比例函数与一次函数有公共的“反点”，求k的值； （3）若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线上任意一点的最小距离为______； （4）已知关于x的二次函数对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）设一次函数的“反点”的坐标为，则，求解即可； （2）设一次函数的“反点”的坐标为，则，求解，得到“反点”的坐标为，代入反比例函数，即可求解； （3）易求反比例函数的“反点”P的坐标为或，设点P到直线上任意一点Q的距离最短，点Q的坐标为，根据两点间距离公式求得的长，再根据二次函数的性质即可得到最小值； （4）由关于x的二次函数对于任意的常数n恒有两个“反点”，得有两个不等的实数根，得到恒成立，进而关于n的方程无解，即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 设一次函数的“反点”的坐标为， ∴， 解得， ∴该“反点”的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 设一次函数的“反点”的坐标为， ∴， 解得， ∴该“反点”的坐标为． ∵反比例函数与一次函数有公共的“反点”， ∴， 解得； 【小问3详解】 由（2）得，则反比例函数为， 设反比例函数的“反点”坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或， 设点P到直线上任意一点Q的距离最短，点Q的坐标为， ①若点， 则 当时，有最小值，为， ②若点， 则 当时，有最小值，为， 综上所述，点P到直线上任意一点的最小距离为； 故答案为：； 【小问4详解】 令得， 整理，得， 由题意，得有两个不等的实数根， ∴， ∵对于任意的n，不等式恒成立， ∴关于n的方程无解， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查新定义，函数的图象，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，根的判别式．解题的关键是理解新定义，综合运用函数的相关知识，熟练掌握函数与方程不等式的联系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期寒假作业检查 九年级数学试卷 时间：70分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，则下列说法错误的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象与 轴的交点坐标是， D. 当时，随 增大而减小 3. 已知一组数据26，36，36，3◼，41，42，其中一个数的个位数字被墨水涂污，则仍能准确计算的统计量是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 4. 如图， 中， 于D，下列条件中：①；②；③；④；⑤，⑥，一定能确定 为直角三角形的条件的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，，，直线，直线从点 出发，以1cm/s的速度由点 向点 匀速平移，分别交，于点 ，．设的面积为，运动时间为，则关于的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 如果，则的值是_____． 8. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为_________. 9. 设、是关于x的方程的两个根，则_________. 10. 若线段 ，且点C是 的黄金分割点，且，则 的长为____________. 11. 若一个圆锥的底面半径是3cm，母线长是8cm，则其侧面展开图的面积是_____cm2．（结果保留π） 12. 如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为___________m． 13. 如图，四边形是 的内接四边形，是 的直径，连接，若，，则_________°. 14. 已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别是和且抛物线还经过点和，则______． 15. 已知点，的半径为 ，切于点 ，点为上的动点，当点的坐标为_____时，是等腰三角形． 16. 如图，在中，，，点D在 上，且，点P是线段 上一个动点，以为直径作 ，点Q为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为 ________________． 三、解答题（本大题共7大题，共62分） 17. （1）解方程： ①； ②． （2）计算： ①． ② 18. 如图，是四个连续的排成一排的座位，靠过道． （1）甲选择靠过道位置的概率为______； （2）甲先从4个座位中随机选择一个坐下，乙再在剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用画树状图（或列表）的方法，求甲乙两人座位相邻且乙靠过道的概率． 19. 某厂家打算从甲、乙两家快递公司中选择一家进行合作. 厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如下： 甲、乙两家快递公司满意度得分折线统计图 （1）根据以上信息，填空： 公司 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8 ① 1 乙 ② 8 ③ （2）如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？ 20. 图1，图2，图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可． （1）在图1中找一个格点P，连结，使． （2）在图2中找两个格点P，Q，连结，使直线． （3）在图3中找两个格点P，Q，连结交线段 于点C，使． 21. 已知函数与． （1）求证：与的函数图象总有两个公共点； （2）当时，，求的取值范围． 22. 如图，在 中，，以 为直径的 与的平分线相交于点 ，过点 作，分别交 ， 的延长线于点 ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为 ， ，求的长． 23. 我们定义：若点A在一个函数的图像上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”． （1）一次函数的“反点”的坐标为______； （2）已知反比例函数与一次函数有公共的“反点”，求k的值； （3）若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线上任意一点的最小距离为______； （4）已知关于x的二次函数对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $