天津市南开中学滨海生态城学校2024-2025学年高三下学期期初检测数学试卷

天津市南开中学滨海生态城学校2024-2025(下)高三级部期初检测 数学试卷 本试者分为第 I 卷(选择题) 和第 II 卷(非选择题) 两部分, 第 I 卷 1-3 页, 第 II 卷 3-4 页. 1、 选择题每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 2、 非选择题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 第 I 卷 一、单选题(本大题共 9 题, 每题 5 分, 共 45 分.在每题列出的四个选项中, 只有一项最符合题目要求.) 1. 已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件. D. 必要不充分条件 3. 已知函数 的图象如图所示,则函数 的解析式可能为( ) A. B. C. D. 4. 已知 ,则( ) A. B. C. D. 5. 已知数列 为各项不为零的等差数列, 为数列 的前 项和, ,则的值( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 下列说法中正确的是( ) A. 一组数据 3; 4, 2, 8, 1, 5, 8, 6, 9, 9, 的第 60 百分位数为 6; B. 将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后,方差变大; C. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为 -0.91和 0.89 ,则甲组数据的线性相关程度更强; D. 在一个 列联表中,由计算得 的值,则 的值越接近 1,判断两个变量有关的 把握越大. 7. 已知函数 ,关于该函数有下列四个说法: (1)函数 的图象关于点 中心对称； (2)函数 的图象关于直线 对称； (3)函数 在区间 内有 4 个零点； (4)函数 在区间 上单调递增。 以上四个说法中,正确的个数为( ) B. 2 C. 3 D. 4 8. 我国有着丰富悠久的“印章文化”,古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成,本是 ( ) 官员或私人签署文件时代表身份的信物,后因其独特的文化内涵,也被作为装饰物来使用. 图 1 是明清时期的一个金属印章摆件, 除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体,如图 2.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为 4 ,体积之比为 3:1,且该几何体的顶点在球 的表面上,则球 的表面积为( ) A.6π B. C. D. 图1图2 9. 已知双曲线 的焦点在 ,过点 的直线与两条渐近线的交点分别为 两点 (点 位于点 与点 之间),且 ,又过点 作 , (点 为坐标原点),且 ,则双曲线 的离心率 A. B. C. D. 第II卷 二、填空题(本大题共6题, 每题5分, 共30分.) 10. 若复数 满足 ( 为虚数单位),则 的虚部为______． 11. 在二项式 的展开式中 的系数为______． 12. 已知圆 的圆心与抛物线 的焦点关于直线 对称,直线 =0 相交于 两点,且 ,则圆 的标准方程为______． 13. 某射击俱乐部开展青少年射击培训,俱乐部共有 6 支气枪,其中有 2 支气枪未经试射 校正, 有 4 支气枪已校正, 若用校正过的气枪射击, 射中 10 环的概率为 0.8， 用未校正过的气枪射击,射中 10 环的概率为 0.4,某少年射手任取一支气枪进行 1 次射击，射中 10 环的概率是_____；若此少年射手任取一支气枪进行 4 次射击 (每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响, 则 4 次射击中恰有 2 次射中 10 环的概率为______． 14. 在平行四边形 中, ,点 在边 上,满足 则为向量 在向量 上的投影向量为_____(请用 表示)；若 ,点两列式表示, 上的动点,满足 ,则 的最小值为______． 15. 已知 且 ,设函数 在 上是单调函数,若函数 恰有两个零点,则实数 的取值范围是______． 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或 演算步骤. 16.在 中, 内角 ,=2 = 3. (1) 求角 的大小; (2) 求 的值; (3)求 的值 17. 如图,在三棱台 中, ,侧棱 平面 ,点 是棱 的中点. (1) 证明: 平面 ; (2) 求点 到平面 的距离: (3) 求平面 与平面 的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆 的右焦点为 ,左、右顶点分别为 ,离心率为 ,过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 . (1) 求椭圆的方程: (2) 若 为直线 上一动点,且直线 分别与椭圆交于 两点 (异于 两点),证明: 直线 恒过一定点. 19. 已知 为等差数列, 为公比大于 0 的等比数列, , . (1) 求 和 的通项公式; (2) 设数列 满足 ,对任意的 ,将数列 中落入区间 内的项的个数记为 . (i) 求 的通项公式及 和 的值; (ii) 记数列 的前 项和为 ,请问是否存在 ,使得 ,若存在,求出所有 的值,若不存在,请说明理由. 20. 已知 为函数 的极值点,直线 过点 . (1) 求 的解析式及单调区间; (2)证明: 直线 与曲线 交于另一点 ; (3) 若 ,求 . (参考数据: ) ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$