精品解析：河南省驻马店市平舆县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度上学期期末学情测评 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上.写在试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 2. 如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ） A. 30° B. 20° C. 15° D. 10° 【答案】B 【解析】 【分析】因为，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知，由，可求出，再次根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆心角是圆周角的2倍等知识点，解决此题的关键是熟练掌握此定理． 3. 如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，一次函数关系 D. 正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 4. 如图，已知和都是的内接三角形，和相交于点，则与的相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则弧所对的圆周角，和是对顶角，所以． 【详解】解：， ， 故选：． 【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等． 5. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了用列表法求概率．由于第一个转盘不等分，所以首先将第一个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后列表，由列表求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：如图，将第一个转盘中的蓝色部分等分成两部分， 列表得： 红 红 蓝 黄 红 红，红 红，红 红，蓝 红，黄 蓝 蓝，红 蓝，红 蓝，蓝 蓝，黄 蓝 蓝，红 蓝，红 蓝，蓝 蓝，黄 ∵共有12种等可能的结果，可配成紫色的有5种情况， ∴可配成紫色的概率是： 故选：C． 6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向以及与轴的交点得出，，结合抛物线的对称轴得出，即可判断①和②，根据抛物线的对称性和与轴的交点可判断③，根据抛物线的对称性和图象即可判断④． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，与轴交于轴的上方， ∴，， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标是， 结合图象可知：当时，， 即，故③错误； ④∵抛物线的开口向下，与轴的两个交点坐标为，， 由图象可知：当时，，故④正确； 正确的有3个． 故选：C． 7. 关于的方程的两个根互为相反数，则值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】若方程的两根互为相反数，则两根的和为；可用含的代数式表示出两根的和，即可列出关于的方程，解方程求出的值，再把所求的的值代入判别式进行检验，使的值应舍去． 【详解】解：∵ ∴设原方程的两根为，则 由题意，得 ∴ 又∵ ∴当时，，原方程无实根； 当时，，原方程有实根． ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，是解决本题的关键． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 9. 定义运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键． 根据新定义得出方程，再解方程，求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：A． 10. 如图，正方形和正方形的边长分别为a和b，正方形绕点C旋转，给出以下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及勾股定理，判定④的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 连接的交点为M，交点为N，根据正方形的性质易证，即可证得，由此进一步判断①③正确；根据勾股定理可得，即可证得④正确．无法证明④正确，即可得到答案. 【详解】解：如图：连接的交点为M，交点为N， ∵四边形，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴, 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，故④正确， 无法证明， 故②不正确， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值为_________. 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，即，然后将变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频率与概率、已知概率求数量，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，据此计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率稳定在0.2左右， 可估计红球的数量为：（个）， 故答案为：． 13. 如图，是斜边上的中线．，点是上一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为．则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，几何图形面积的计算方法，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理可得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，由面积的计算方法可得的面积，再根据的面积的面积的面积，由此即可求解． 【详解】解：连接， 在中，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴的面积的面积的面积， ∵， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点A，B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，，反比例函数（）的图象分别交边，于点P，Q.作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于3，则k的值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质和长方形的面积公式，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 设，因为，所以，则，，由于正方形，，则，因为轴，P在上，所以P点纵坐标为，则P点横坐标为，由于Q为中点，且轴，所以，则，由于Q在反比例函数上，可得，根据正方形的性质可得出，根据反函数的性质得出，根据矩形的判定及性质结合矩形面积公式即可解决问题． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴，则， 由于在正方形中，， ∵Q为中点， ∴， ∵Q在反比例函数上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P在反比例函数上， ∴P点横坐标为：， ， ∵轴于点M，轴于点N，如图， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3），（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为________． 【答案】（3，4）或（0，4） 【解析】 【详解】如图，由题意知已知线段与线段AC是对应线段，所以点A和点C的对应点都有两个，对应点的连线交于一点，这一交点即为位似中心，连接位似中心与点B得到直线，由线段AC与已知线段的长度之比为2︰1，知相似比为2︰1．在连线上找到相似比为2︰1的点，从而确定第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 请你用适当的方法解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法； （1）先配方，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先移相，再合并同类项，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， 配方，得：， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 合并同类项，得：， ∴，． 17. 某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对九年级的学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每名同学仅选一项）.根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图，如图 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 36 x 羽毛球 y 0.20 乒乓球 30 0.25 跳绳 18 z 其他 12 0.10 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）频数分布表中的_________，_________，_________． （2）在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为_________． （3）从被调查的学生中随机抽取1名学生，求该学生喜欢三种球类运动的概率． 【答案】（1），，. （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用． （1）根据乒乓球的频率和频数求出总人数，用篮球总人数总人数得到x的值，再用总人数乘以羽毛球的频率，求出的值；再用跳绳的人数除以总人数，再用跳绳的人数除以总人数，求出的值； （2）用乘以跳绳的频率即可求出对应的扇形圆心角的度数； （3）把所有球类的频率相加，即可得出答案． 【小问1详解】 解：因为（人）， 所以（人），，， 所以频数分布表中的，，． 故答案为：0.3；24；0.15 【小问2详解】 因为， 所以在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为． 故答案为： 【小问3详解】 因为从被调查的学生中随机抽取1名学生，而且每名学生被选中的可能性是相等的，记“该学生喜欢球类运动”为事件A， 所以． 18. 如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D， 连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC ． （1）求证：AC是⊙O的切线 ； （2）若BD=OB=4，求弦AE的长． 【答案】 （1）证明：连结OE， 因为CD与⊙O相切于点E，所以OE CD，所以∠CEO =90°， 因为OC∥BE，所以∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB， 因为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，所以∠AOC=∠COE， 因为OA=OE，OC=OC， 所以△AOC≌△EOC， 所以∠CAO=∠CEO =90°， 所以AC是⊙O的切线 ； （2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）连结OE，根据条件证明△AOC≌△EOC，进而得出∠CAO=∠CEO =90°即可；（2）利用直角三角形的性质和特殊角的三角函数值，可求出线段AE的长． 试题解析：（1）略 （2）解：在Rt△DEO中，因为BD=OB， 所以BE=OD=OB=4， 又因为OB=OE， 所以△AOC是等边三角形，所以∠ABE=60°， 因为AB为直径，所以∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，AE=tan60°BE=． 考点：1．切线的判定；2．圆周角定理及其推论；3．锐角三角函数． 19. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，并尽可能减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．设销售单价提高x元（x为正整数）． （1）求当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ （2）假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元． 【答案】（1）售价定为10元时，每天的利润为140元； （2）售价为11元时，利润最大为144元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，利用配方法求最值，是基础题． （1）由售价单价提高x元，由题意可得销售量y与x之间的函数关系式，求出售价，再由销售量乘以售价等于利润列式求解； （2）写出商品每天的销售利润w关于x的函数关系式，再由配方法求最值． 【小问1详解】 解：由售价单价提高x元，则每天销售量， 由题可知售价为元， 由，即， 解得，， 故售价为：或， ∵需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件， 故售价定为10元，当售价定为10元时，每天的利润为140元； 【小问2详解】 ， ∴当时，w最大值为144，故售价为， 故当售价为11元时，利润最大为144元． 20. 如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针方向旋转，得到， （1）写出C，D两点的坐标： （2）求过A，C，D三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标． （3）求证：． 【答案】（1）， （2），顶点E的坐标为 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的解析式及顶点坐标的求法，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度不大．运用待定系数法求二次函数的解析式是中考的常考点，需熟练掌握，解题时根据条件设出适当的解析式，能使计算简便． （1）根据旋转的性质，可得，，进而可得、两点的坐标； （2）由于抛物线过点，，所以设抛物线的解析式为，再将代入，求出的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点的坐标； （3）已知三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出，，，则，根据勾股定理的逆定理即可证明． 【小问1详解】 解：将绕点O按顺时针方向旋转，得到， ， ，， ，； 【小问2详解】 解：抛物线过点，， 设抛物线的解析式为（）． 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线的解析式为， 即， 顶点E的坐标为． 【小问3详解】 证明：如图，连接． 点，，， ，，， ， 直角三角形，且， ． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于A（1，a）、B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 【答案】（1），；（2）P ，． 【解析】 【分析】（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标； （2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接PB．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4， 得：a=-1+4，解得：a=3， ∴点A的坐标为（1，3）． 把点A（1，3）代入反比例函数y=， 得：3=k， ∴反比例函数的表达式y=， 联立两个函数关系式成方程组得：， 解得：，或， ∴点B的坐标为（3，1）． （2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示． ∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1）， ∴点D的坐标为（3，- 1）． 设直线AD的解析式为y=mx+n， 把A，D两点代入得：， 解得：， ∴直线AD的解析式为y=-2x+5． 令y=-2x+5中y=0，则-2x+5=0， 解得：x=， ∴点P的坐标为（，0）． S△PAB=S△ABD-S△PBD=BD•（xB-xA）-BD•（xB-xP） =×[1-（-1）]×（3-1）-×[1-（-1）]×（3-） =． 22. 如图，已知四边形为平行四边形，以为直径作，与边相交于点F，的切线与边相交于点E，且． （1）求证：； （2）当时，求的大小； （3）在条件（2）下，求与平行四边形的面积之比． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形为平行四边形得到，再证明，即可得到； （2）设，，则．设，则，．得到，．由得到，则．得到．在中，，，则，即可得到答案； （3）求出的面积为，四边形的面积为，即可得到答案 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴设，， 则． ∵， ∴设，则，． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵x，y均为正数， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 【小问3详解】 由（2）知，，． 在中，， 由勾股定理得． ∴的面积为， 四边形的面积为， ∴与四边形的面积之比为 【点睛】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，其顶点为D，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P为顶点的三角形与全等，求满足条件的点M，P的坐标． 【答案】（1） （2）①，；②当M的坐标为时，点P的坐标为或；当M的坐标为时，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数解析式即可； （2）根据解析式求出相关线段的长度，再分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，得 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴，． 在中，令， 解得，， ∴，． ∵，， ∴当以M，N，P为顶点的三角形与全等时，E与N是对应点． ①若，，如图1，则． 在中，令，得． 解得（大于0，舍去），， ∴，， ∴，． ②若，，如图2，则． 在中，令，得． 解得（大于0，舍去），， ∴，， ∴，． 综上所述，若以M，N，P为顶点的三角形与全等，则当M的坐标为时，点P的坐标为或；当M的坐标为时，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法、抛物线的顶点、与坐标轴的交点、全等三角形判定等知识，解决此题的关键是由数形结合列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期末学情测评 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上.写在试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ） A. 30° B. 20° C. 15° D. 10° 3. 如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，一次函数关系 D. 正比例函数关系，一次函数关系 4. 如图，已知和都是的内接三角形，和相交于点，则与的相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 5. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 关于的方程的两个根互为相反数，则值是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 定义运算：，例如：，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，正方形和正方形的边长分别为a和b，正方形绕点C旋转，给出以下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则代数式的值为_________. 12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为_________. 13. 如图，是斜边上的中线．，点是上一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为．则的值是______． 14. 如图，点A，B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，，反比例函数（）的图象分别交边，于点P，Q.作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于3，则k的值为_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为（1，3），（2，5）．若△ABC和△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 请你用适当的方法解下列方程： （1）； （2）. 17. 某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对九年级的学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每名同学仅选一项）.根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图，如图 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 36 x 羽毛球 y 0.20 乒乓球 30 0.25 跳绳 18 z 其他 12 0.10 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）频数分布表中的_________，_________，_________． （2）在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为_________． （3）从被调查的学生中随机抽取1名学生，求该学生喜欢三种球类运动的概率． 18. 如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D， 连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC ． （1）求证：AC是⊙O的切线 ； （2）若BD=OB=4，求弦AE的长． 19. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，并尽可能减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．设销售单价提高x元（x为正整数）． （1）求当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ （2）假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元． 20. 如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针方向旋转，得到， （1）写出C，D两点的坐标： （2）求过A，C，D三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标． （3）求证：． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于A（1，a）、B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 22. 如图，已知四边形为平行四边形，以为直径作，与边相交于点F，的切线与边相交于点E，且． （1）求证：； （2）当时，求的大小； （3）在条件（2）下，求与平行四边形的面积之比． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，其顶点为D，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P为顶点的三角形与全等，求满足条件的点M，P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $