精品解析： 浙江省绍兴市上虞区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024学年第一学期九年级期末教学质量调测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卡两部分．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，答题卡共6页． 2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号． 3．答题时，将试卷I选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，试卷II填空题的答案写在答题卡对应的横线上．解答题的答案或解答过程直接做在答题卡上． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列函数属于二次函数的是（ ）． A B. C. D. 2. 下列事件中，属于不确定事件的是（ ）． A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B. 打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C. 一个负数的绝对值是非负数 D. 潜水员深潜海底捞到月亮 3. 如图表示我国台湾省几个城市位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（ ）千米． A. 3.15 B. 31.5 C. 315 D. 3150 4. 如图，是的内接三角形，是的直径，若．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（ ）． A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 6. 如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（ ）厘米． A. B. C. D. 7. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（ ）． A. B. C. D. 30 10. 如图，已知，，．则的面积为（ ）． A. 9 B. 10 C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则________． 12. 若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为________． 13. 若抛物线的对称轴为直线，则________． 14. 在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为__________． 15. 如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为________． 16. 在一张圆形纸片中，是圆心，是直径，将该圆形纸片沿弦折叠，折叠后圆弧恰好经过直径的三等分点．则的值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18 如图，，，，四张卡片上分别写有，，，四个实数． （1）从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率． （2）从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率． 19. 我国古代数学名著《九章算术》“勾股”章中有一题：如图，正方形城邑的四面正中各有城门，出北门20步的处（步）有一树木，出南门14步到处（步），再向西行1775步到处（步），正好看到处的树木（点在直线上）．求正方形城邑的边长． 20. 如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角． （1）用含有的代数式表示重叠部分的面积． （2）当时，求重叠部分图形的周长． 21. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）判断的形状，并给出证明． （2）若，，求弦和弦的长． 22. 如图，在中，，，点在边上，且，于点E，连接． （1）求的长； （2）求的值． 23. 在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． （1）若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． （2）当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． （3）当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 24. 如图，已知是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．连结，． （1）若为半径中点．求的度数． （2）连结．求证：． （3）若，，半径为3．求弦的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期九年级期末教学质量调测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卡两部分．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，答题卡共6页． 2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号． 3．答题时，将试卷I选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，试卷II填空题的答案写在答题卡对应的横线上．解答题的答案或解答过程直接做在答题卡上． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列函数属于二次函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，掌握二次函数的定义是解题关键．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意； B．函数关系式不是整式，不是二次函数，故B不符合题意； C．，是二次函数，故C符合题意； D．函数关系式不是整式，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件中，属于不确定事件的是（ ）． A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B. 打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C. 一个负数的绝对值是非负数 D. 潜水员深潜海底捞到月亮 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，根据事件发生的可能性大小判断，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、宇航员在月球上所受的重力比在地球上小，是确定事件，不符合题意； B打开电视机，屏幕显示正好在科教频道，是不确定事件，符合题意； C、一个负数的绝对值是非负数，是确定事件，不符合题意； D、潜水员深潜海底捞到月亮，是确定事件，不符合题意； 故选：B． 3. 如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（ ）千米． A. 3.15 B. 31.5 C. 315 D. 3150 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 4. 如图，是的内接三角形，是的直径，若．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数，灵活运用圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 故选：D． 5. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（ ）． A. 在之间 B. 在之间 C. 在之间 D. 在之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可；令得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：由图可知抛物线的顶点坐标为，图象过点 ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴铅球所经过路线的函数表达式为； 令得，， 解得：（舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴铅球的落地点与该运动员相距大约在之间． 故选：B． 6. 如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（ ）厘米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可． 【详解】解：解：设木桩上升了， 根据题意，在中，， 则， 解得：， 则木桩上升了， 故选：A． 7. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果． 【详解】解：∵以为圆心，长为半径画，交于点， ∴OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠AOB=40︒， ∴∠ODC=∠OCD=， ∵以为圆心，长为半径画，交于点， ∴DO=DE， ∴∠DOE=∠DEO=40︒， ∵∠OCD为△DCE的外角， ∴∠OCD=∠DEC+∠CDE， ∴70︒=40︒+∠CDE， ∴∠CDE=30︒， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用． 8. 已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． 9. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（ ）． A. B. C. D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，根据正方形的性质得到，求得，设，，得到，求得，，根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在小正方形中，， ， ， ， ， 设，， ， 小正方形的面积为9， ， ， ，， ， 故选：C 10. 如图，已知，，．则的面积为（ ）． A. 9 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为点；过点作延长线的垂线，垂足为点，利用三角形外角的性质求出的度数，从而求出，为等腰直角三角形，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可推出，设，根据等腰三角形的性质和勾股定理将用含的代数式表示出来，从而得到，最后在中利用勾股定理，得到关于的方程，并将它代入即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为点；过点作延长线的垂线，垂足为点，如图， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； 设， 在中，， ， ，， ， ， 在中，， ，，， ， ， ； 故选：A． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用设法进行计算，即可解答，熟练掌握设法是解题的关键． 【详解】解：， 设，， ， 故答案为：5． 12. 若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积公式进行计算即可，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键． 【详解】解：， 故答案为：15． 13. 若抛物线的对称轴为直线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：∵的对称轴是直线， ∴， 解得． 故答案为：4． 14. 在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 此题注意考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上. 【详解】解：过点作于点， ∵在中，，，， ， ， 如图，当与和相切时，则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时，则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 15. 如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，三角形重心的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接并延长交于点D，根据重心的性质得到，然后得到，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可． 详解】如图所示，连接并延长交于点D ∵点G是的重心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：10． 16. 在一张圆形纸片中，是圆心，是直径，将该圆形纸片沿弦折叠，折叠后圆弧恰好经过直径的三等分点．则的值是________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，图形的折叠变换及其性质，解直角三角形，依题意有以下两种情况：①当的三等分点靠近点时，连接，，，过点作于点，设，则，，，，根据圆周角定理及折叠的性质得，则，，，，进而得，然后在中，根据正切函数的定义即可得出的值；②当的三等分点靠近点时，连接，，，过点作于点，同理可证明，则，设，则，，，，，，进而得，然后在中，根据正切函数的定义即可得出的值；综上所述即可得出答案，理解圆周角定理，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，正确函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当的三等分点靠近点时，连接，，，过点作于点，如图1所示： 设，则， ，， ， 根据圆周角定理得：的度数，的度数， 根据折叠的性质得：的度数和的度数相等， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，； ②的三等分点靠近点时，连接，，，过点作于点，如图2所示： 同理可证明：， ， ， 设，则， ，， ， ，， 中，由勾股定理得：， 在中，． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值及其混合运算是解题的关键．代入特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，，，，四张卡片上分别写有，，，四个实数． （1）从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率． （2）从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式求概率，二次根式的乘法，无理数的概念，熟练掌握概率的求法是解题的关键．概率所求情况与总情况数之比． （1）首先得到无理数的个数，然后根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出表格，然后求得所有等可能的结果与两张卡片上的数的乘积是负数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵，，，四个实数中，无理数有，，共2个， ∴从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 乘积 ∴共有12种等可能得情况，其中乘积是负数的有8种， ∴从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率． 19. 我国古代数学名著《九章算术》“勾股”章中有一题：如图，正方形城邑的四面正中各有城门，出北门20步的处（步）有一树木，出南门14步到处（步），再向西行1775步到处（步），正好看到处的树木（点在直线上）．求正方形城邑的边长． 【答案】步 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设正方形城邑的边长为步，根据题意可得：，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形城邑的边长为步， 由题意得：， ， ， ， ， 解得：，， 经检验：，都是原方程的根， ， ， 正方形城邑的边长为250步． 20. 如图，把两张宽度都是的纸条交错地叠在一起，相交成角． （1）用含有的代数式表示重叠部分的面积． （2）当时，求重叠部分图形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，作于，根据题意，，，从而知道四边形是平行四边形，再证明，得到，判定重叠部分是菱形，利用三角函数的定义即可得到菱形的边长，从而推出菱形的边长． （2）由（1）可知，将代入求得菱形边长，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于，作于，由题意得， 如图所示， 由题意可知，，，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 四边形是菱形； ，， ， 重叠部分的面积； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 重叠部分的周长． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）判断的形状，并给出证明． （2）若，，求弦和弦的长． 【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）在中由勾股定理可得，中由勾股定理即可求出；过作于，过作于，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解∶是等腰直角三角形，证明如下： ∵是圆的直径，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 中，， ∴； 过作于，过作于， ∵， ∴ ∴和是等腰直角三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握圆周角定理，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 22. 如图，在中，，，点在边上，且，于点E，连接． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，，，可得的长度，根据勾股定理得，由的长度，则，计算即可得出答案； （2）过点作，垂足为，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，，则，在中，由计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， 根据勾股定理，得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 23. 在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． （1）若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． （2）当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． （3）当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象经过和两点，从而，且，进而求出，后可以判断得解； （2）依据题意，当时，函数为，从而可得对称轴是直线，则顶点为，，结合顶点坐标始终在直线的下方，可得，进而求出的范围； （3）依据题意，当，时，函数为，从而，结合，故，进而或，最后计算可以判断得解． 小问1详解】 解：函数的图象经过和两点， ，且． ，． 二次函数的表达式为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，当时，函数为． 对称轴是直线． 顶点为，． 又顶点坐标始终在直线的下方， ． ． 或． 【小问3详解】 解：由题意，当，时，函数为． ． 又， ． ． 或． 或． 24. 如图，已知是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．连结，． （1）若为半径的中点．求的度数． （2）连结．求证：． （3）若，，的半径为3．求弦的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，圆内接四边形，正确做出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明为等边三角形，即可解答； （2）连接，得到，利用角度转换即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，根据（2）中结论可得，利用三角函数和勾股定理可得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，连接， 为半径的中点，， ， 等边三角形， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ，是的直径， ， ， 四边形是圆内接四边形， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线段，交于点，连接， 根据（2）中可得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 在中，， 在中，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$