精品解析：湖北省孝感市云梦县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年元月学情调研九年级 数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 博物馆在社会教育中发挥着重要作用，通过展示和解释文物，博物馆可以帮助公众了解历史传承文化．下列是我国部分省市博物馆图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 和1 B. 2和 C. 和 D. 和1 3. 拋物线顶点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列事件中，是必然事件是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 C. 从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，交于点，切于点，点在上．若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数图像上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（ ） A. B. 6 C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若点、点、点在该函数图象上，则 D. 若方程的两根为和，且，则 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 13. 为估计鱼塘中鲢鱼的数量，渔业养殖户王大爷先从鱼塘中捞上200条鲢鱼，并在鲢鱼身上做上红色的记号，然后立即将这200条鲢鱼放回鱼塘中，一周后，王大爷又捕捞上400条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有8条，据此可估计该鱼塘中鲢鱼约有______条． 14. 1.如图1是云梦祥云湾景区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点；则花窗的周长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，长度为2的线段的端点、分别在轴，轴的正半轴上移动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长度的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 用适当的方法解关于的一元二次方程： （1） （2） 17. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，它们的坐标分别是，，，将绕点逆时针旋转后得到（与对应，与对应） （1）画出旋转后的三角形； （2）的长度为 ． 18. 有、两组卡片，所有卡片除数字外完全相同，组有三张，分别标有数字1、2、-3；组有二张，分别标有数字-1，2．小明先从组中随机抽取一张，记录该卡片上的数字为，再从组中随机抽取一张，记录该卡片上的数字为，这样就确定点的一个坐标为． （1）用列表或画树状图方法写出点的所有可能坐标； （2）求点落在第二象限概率． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点在轴上，若和的面积相等，求点的坐标． 21. 如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 为创建省级文明城市，改善人居环境，幸福社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元，垂直于墙的边的费用为150元，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若植物园面积为，求的值； （3）求植物园的最大面积． 23. 如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，． （1）线段，的数量关系为： ，并证明你的结论； （2）如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转一定角度，得到线段，其中点恰好在上，连接，求证：是等腰直角三角形； （3）如图3，在（2）的基础上，分别延长和，两线相交于点，若，，求线段的长． 24. 已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，． （1）求拋物线及直线的解析式； （2）如图1，过点作，交抛物线于另一点，求点的坐标； （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②若当时，有最大值为，请直接写出实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年元月学情调研九年级 数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 博物馆在社会教育中发挥着重要作用，通过展示和解释文物，博物馆可以帮助公众了解历史传承文化．下列是我国部分省市博物馆的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．如果把一个图形绕某个点旋转，这个图形可以与它本身重合，这个图形就是中心对称图形；如果把一个图形沿某直线折叠，折叠后直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 和1 B. 2和 C. 和 D. 和1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 将方程化为标准形式后，再根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为， 故选：A． 3. 拋物线的顶点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式得出二次函数的顶点坐标为，再结合各个象限内点的坐标特征即可得解．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵拋物线的解析式为， ∴其顶点坐标为， ∴其顶点所在的象限是第四象限． 故选：D． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 C. 从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A. 射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故选项不符合题意； B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故选项不符合题意； C. 从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事件，故选项符合题意； D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，故选项不符合题意； 故选：． 5. 将抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 6. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，将两边分别除以，进行求解即可． 【详解】解：∵，当时，等式不成立， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 7. 如图，交于点，切于点，点在上．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握圆心与切点的连线垂直切线．根据切线的性质得到，根据圆周角定理得出，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵切于点C， ∴ ∴ ∴，故B正确． 故选：B． 8. 如图，点是反比例函数图像上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设A点坐标(，)，得到，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】设A点坐标(，)，即， ∴， ∵，AB边上的高为， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数，掌握知识点：过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解的几何含义是解题关键． 9. 如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，由线段中点的定义可得，由三线合一可得，则，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，由此可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：是等边三角形， ， 又是的中点， ，， ， ， 将线段绕点逆时针旋转后得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三线合一，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若点、点、点在该函数图象上，则 D. 若方程的两根为和，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴为直线可得，即，进而可得，由此即可判断结论；由函数图象可知当时，进而可得，由此即可判断结论；由轴对称的性质及抛物线的对称轴为直线可得，点在抛物线图象上的对称点为，由二次函数的对称性可知，由函数图象可知抛物线开口向下，因而当时，随的增大而减小，由此即可判断结论；由二次函数的对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，因而方程的两根为或，过作轴的平行线，则直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象即可判断结论；综上，即可得出答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ，故结论错误，选项不符合题意； 由函数图象可知：当时，， ，故结论错误，选项不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线图象上的对称点为， 由二次函数的对称性可知：， 由函数图象可知：抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ，即， ， ， 即：，故结论错误，选项不符合题意； 由二次函数的对称性可知：抛物线与轴的另一交点为， 方程的两根为或， 如图，过作轴的平行线，则直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根， 由函数图象可知：，故结论正确，选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，轴对称的性质，根据二次函数的对称性求函数值，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】-5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0， ∴实数k的值可以是-5； 故答案-5（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 13. 为估计鱼塘中鲢鱼的数量，渔业养殖户王大爷先从鱼塘中捞上200条鲢鱼，并在鲢鱼身上做上红色的记号，然后立即将这200条鲢鱼放回鱼塘中，一周后，王大爷又捕捞上400条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有8条，据此可估计该鱼塘中鲢鱼约有______条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，深刻理解统计的思想——“用样本的信息来估计总体的信息”是解题的关键． 根据“通过样本去估计总体”统计思想，捕捞上条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有条，说明带有红色记号的占到，而带有红色记号的共有条，从而可求得总数． 【详解】解：捕捞上条鲢鱼，发现其中带有红色记号的鲢鱼有条， 带有红色记号的鲢鱼的比例为， 据此可估计该鱼塘中鲢鱼约有（条）， 故答案为：． 14. 1.如图1是云梦祥云湾景区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点；则花窗的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式和勾股定理，熟练掌握“圆心角所对的弧长”、“勾股定理：直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”是解题关键． 根据题意可得与为半径，即，则可通过弧长公式求得的长，再利用勾股定理可求得的长，即可计算出花窗的周长． 【详解】解：在扇形中，，点、分别为、的中点， ， ， ． 扇形的圆心角为， 花窗的弧长． 花窗的周长． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，长度为2的线段的端点、分别在轴，轴的正半轴上移动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长度的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接， 取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据旋转的性质以及等边三角形的性质，勾股定理求得，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 取的中点，连接， ∵中，是斜边上的中线，， ∴； 又∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 用适当的方法解关于的一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法． 把常数项移到等号的右边，然后等号的两边同时加，可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，再把等式的两边同时开平方，可得：，等式的两边同时加求出方程的解； 把整体作为一个因式，提公因式可得：，根据两数的积为，则这两个因数中至少有一个为，可得：或，解两个一元一次方程可求方程的根． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 17. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，它们的坐标分别是，，，将绕点逆时针旋转后得到（与对应，与对应） （1）画出旋转后的三角形； （2）的长度为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出旋转图形即可； （2）利用勾股定理进行求解即可． 小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 由勾股定理，得：． 18. 有、两组卡片，所有卡片除数字外完全相同，组有三张，分别标有数字1、2、-3；组有二张，分别标有数字-1，2．小明先从组中随机抽取一张，记录该卡片上的数字为，再从组中随机抽取一张，记录该卡片上的数字为，这样就确定点的一个坐标为． （1）用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标； （2）求点落在第二象限的概率． 【答案】（1）共有6种等可能性的结果，分别是，，，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，先根据树状图求出所有的结果数，再根据概率公式算出事件的概率， （1）利用树状图得到所有6种等可能的结果数； （2）根据第二象限点的坐标特征得到在这一象限的结果数，算出答案即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有6种等可能性的结果，分别是，，，，，； 【小问2详解】 解：由（1）得一共有6种等可能性的结果，其中点在第二象限的结果有1种， 点落在第二象限的概率为． 19. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，”可得，解不等式即可求出实数的取值范围； （2）由一元二次方程的根与系数的关系可得，，若，则，，分和两种情况分别讨论，解一元一次方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ， 解得：， 实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系可得： ，， 若，则： ，， 当时，， 当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况求参数），一元二次方程的根与系数的关系，解一元一次方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点在轴上，若和的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． （1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式；设一次函数的解析式为，将，代入根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在y轴的正半轴上；M点在y轴的负半轴上，根据三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可解得， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得，解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得，解得， ， ， ， ， ， 点的坐标为或． 21. 如图，已知等腰中，，以为直径作交于点，过作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据易得到，结合半径相等得到，进而得到，结合得到，再利用切线的判定求解； （2）根据，进而得到，结合易得到，利用勾股定理求出、的长度，进而得到的长度，最后用来求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ． 又， ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ． 而， ， ， 即． 又， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，求出圆的半径和、、的长度是解答关键． 22. 为创建省级文明城市，改善人居环境，幸福社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元，垂直于墙的边的费用为150元，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若植物园面积为，求的值； （3）求植物园的最大面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“垂直于墙的长度”即可列出函数关系式，根据墙的长度即可得出自变量的取值范围； （2）根据矩形的面积公式即可列出方程，解方程即可求出的值； （3）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式，然后求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：依题意得： ， ； 【小问2详解】 解：依题意得： ， 解得：，， ， ， 即：的值是； 【小问3详解】 解：设植物园的面积是， 则， ， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值，最大值为， 植物园的最大面积为． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（图形问题），一元二次方程的应用（与图形有关的问题），一次函数的实际应用（其他问题），二次函数的最值，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和函数解析式是解题的关键． 23. 如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，． （1）线段，的数量关系为： ，并证明你的结论； （2）如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转一定角度，得到线段，其中点恰好在上，连接，求证：是等腰直角三角形； （3）如图3，在（2）的基础上，分别延长和，两线相交于点，若，，求线段的长． 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，然后利用可证得，进而由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）得，，由全等三角形的性质可得，分别延长和，两线相交于点，由旋转的性质可得，进而可得，由等边对等角可得，进而可得，由正方形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由三角形外角的性质可得，于是结论得证； （3）连接，由正方形的性质可得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由（2）得，，即，进而可得，由等角对等边可得，进而可得，又由（2）得，即，因而是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，设正方形的边长为，则，，由（2）得，进而可得，由勾股定理可得，，即，解方程即可求出正方形的边长，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出线段的长． 【小问1详解】 解：，理由如下： 证明结论： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：由（1）得：，， ， 如图，分别延长和，两线相交于点， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，连接， 四边形是正方形， ， ，， 由（2）得：，， 即：， ， ， ， 又由（2）得：， 即：， 是的垂直平分线， ， 设正方形的边长为，则，， 由（2）得：， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 整理，得：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 24. 已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，． （1）求拋物线及直线的解析式； （2）如图1，过点作，交抛物线于另一点，求点的坐标； （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②若当时，有最大值为，请直接写出实数的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为；直线的解析式为 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，把点和点代入可求抛物线的解析式；设直线为，将，代入可求直线的解析式； （2）设直线与轴交于点，先证明，再求出直线的解析式，与联立即可求解； （3）①由轴交直线于点，可得，，，分，两种情况，分别得关于的函数解析式；②当时，时，；当时，，时，即可求解． 【小问1详解】 解：把点和点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 当 时， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与轴交于点， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 解得，（舍去）， 时，， ； 【小问3详解】 解：①点的横坐标为，轴交直线于点， ， ，， 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，； ②当时， 对于，时， ； 对于， 时，函数有最小值， 当时，随的增大而增大， 当时， 解得或（舍去）， 综上所述，当时，有最大值，实数的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是理解题意，做到数形结合，建立正确的方程，准确计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $