精品解析：四川省泸州市龙马潭区五校联考2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋期龙马潭区五校联考八年级期末质量检测试题数学 注意事项： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号． 3.考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效， 考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 点 关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知，则的值是（ ）． A. B. C. 5 D. 6 7. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 9. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 11. 已知，则的值为（　　） A. 2 B. 0 C. ﹣2 D. 1 12. 如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点D，过点D作交的延长线于点F，连接，点E为中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 14. 因式分解：________． 15. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______． 16. 如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是________ 三、解答题（共72分） 17 计算： 18. 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选一个合适的数求值． 19. 如图，，，．求证：． 20. 解方程：． 21. 如图，已知的两个顶点的坐标分别为和． （1）请补全原有的直角坐标系； （2）画出关于轴对称的，其中点的对应点分别为，写出点的坐标________； （3）点是轴上一动点，写出取最小值为___________ 22. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的倍，若用元购进篮球的数量比用元购进排球的数量少个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？ 23. 已知：如图，、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. （1）求证：； （2）请判断、有何位置关系，并证明. 24. 乘法公式探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：　 　；方法2：　 　． （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系： 　 　； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求ab的值； ②已知，求值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，． （1）如图1，当时，连接交轴于点，直接写出点的坐标； （2）如图2，轴于且，连接交轴于一点，在点运动过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图3，在延长线上，过作轴于，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期龙马潭区五校联考八年级期末质量检测试题数学 注意事项： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前请在答题卡上准确填写自己的学校、班级、姓名、考号． 3.考生作答时，必须将答案写在答题卡上相应的位置，在本试卷和草稿纸上答题无效， 考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 2. 冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、单项式的除法、合并同类项、完全平方公式等知识．根据运算法则和公式计算，即可得到答案． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 4. 点 关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点 关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 5. 若一个多边形内角和等于，则这个多边形的边数是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．利用多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：因为多边形的内角和公式为， 所以， 解得， 所以这个多边形的边数是． 故选：B． 6. 已知，则的值是（ ）． A. B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用同底数幂的乘法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 7. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； 故选C． 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 9. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方的形式，第三项是这两个数的积的2倍，本题即，解得结果． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴， 解得：或； 故选：B． 10. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：C． 11. 已知，则的值为（　　） A. 2 B. 0 C. ﹣2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，利用单项式乘多项式计算得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则： ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握整式混合运算的法则是解决问题的关键． 12. 如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点D，过点D作交的延长线于点F，连接，点E为中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由内角平分线和外角平分线可得，由此可证；根据三角形的三边关系可知错误；过点作于，可证，，由此可知，． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵点为中点， ∴， 在中，，三角形中，两边之和大于第三边， ∴，故②错误； 如图所示，过点作于， ∵， ∴， 点是中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，为公共边， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； 如图所示，过点作于， 由结论④可知，，， ∴，，， 在中，点是中点， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质知识的综合应用，分析图形，根据条件找出三角形内角、外角的关系，直角三角形的全等，中线的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件“分母不等于零”．根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，正确运用公式法分解因式是解题关键． 【详解】解：原式 ． 故答案：． 15. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则并注意不要漏掉分母不为0的情况是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解∶解方程， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 关于的分式方程的解为负数， 且． 且． 故答案为∶ 且． 16. 如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短知，，其值最小， 所以的最小值即为的长， 所以的最小值为6． 故答案为：6． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，然后再计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选一个合适的数求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 19. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先得到，然后证明出，得到，，进而可证明出． 此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 【详解】∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，即． 20. 解方程：． 【答案】x＝13 【解析】 【分析】方程两边同乘（x−5），即可化为一元一次方程，解一元一次方程即可，最后检验． 【详解】解：方程两边乘（x－5），得x＋3＝2（x－5）． 解得x＝13． 检验：当x＝13时，x－5≠0． 所以原分式方程的解为x＝13． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤并正确运算是关键．注意解分式方程一定要检验，千万别忘记． 21. 如图，已知的两个顶点的坐标分别为和． （1）请补全原有的直角坐标系； （2）画出关于轴对称的，其中点的对应点分别为，写出点的坐标________； （3）点是轴上一动点，写出取最小值为___________ 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）根据点的坐标建立相应的平面直角坐标系； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出关于y轴的对应点的坐标，然后描点即可； （3）连接交y轴于点P，利用对称的性质和两点之间线段最短，可确定点P的位置，然后利用距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：原有直角坐标系如图所示： 【小问2详解】 如图，即为所求， 的坐标． 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，交y轴于点P，连接， ∵C与关于y轴对称， ∴， ∴， 当B、P、三点共线时，，即取最小值， ∵，， ∴， 即取最小值为． 故答案为：． 22. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的倍，若用元购进篮球的数量比用元购进排球的数量少个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？ 【答案】篮球的进价为每个元，排球的进价为每个元 【解析】 【分析】设每个排球的进价为元，则每个篮球的进价为元，由等量关系，元购进篮球的数量比用元购进排球的数量少个列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每个排球的进价为元，则每个篮球的进价为元， 根据题意得， 解得（元）， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：篮球的进价为每个元，排球的进价为每个元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键． 23. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. （1）求证：； （2）请判断、有何位置关系，并证明. 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先说明，再根据“边角边”可得答案； （2）根据全等三角形的性质得，再说明,可得答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即. 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 答：，且. 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. 24. 乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：　 　；方法2：　 　． （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系： 　 　； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求ab的值； ②已知，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）①7；②16 【解析】 【分析】（1）方法1：利用整个大的图形是正方形可得边长为 可得面积，方法2：再利用大的正方形由两个小的正方形与两个长方形组成，可得面积； （2）利用图形面积相等，可得公式； （3）①由，可得，再整体代入求值即可；②设，则，，再求解，从而整体代入可得答案. 【详解】解：（1）根据图形可得图2大正方形的面积表示为或 故答案为：，； （2）由（1）题可得， 故答案为：； （3）①由， 可得 ∴当，时， ②设，则， 则 可求得 由整体思想得， 【点睛】本题考查的是利用图形面积证明完全平方公式，完全平方公式的变形，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，熟悉公式变形是解题的关键. 25. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，． （1）如图1，当时，连接交轴于点，直接写出点的坐标； （2）如图2，轴于且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图3，在延长线上，过作轴于，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）在B点运动过程中，长保持不变，长为4 （3） 【解析】 【分析】（1）过点C作轴交y轴于H，证明得到，，，从而得到C点的坐标； （2）过点C作轴交y轴于M，证明，得到，则； （3）延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K．先证明 ，得到，，然后证明，得到，即可推出． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于H． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在B点运动过程中，长保持不变，长为4， 理由：如图2，过C作轴于H． 由（1）可知：， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：． 理由：如图，延长交的延长线于M，过点N作于H，交于K． 则， ∵，， ∴， ∴，， ∵，． ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $