精品解析：浙江省绍兴市上虞区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024学年第一学期高二期末教学质量调测试卷数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（  ） A. B. C. D. 3. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第17项 B. 第18项 C. 第19项 D. 第20项 4. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列中，已知且公差，则其前 项的和取得最小值时 的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 过双曲线的一个焦点 作一条渐近线的垂线，垂足为点 ，垂线与另一条渐近线相交于点.若点 是线段的中点，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的矩形画板 中，.分别是矩形四条边的中点，点分别是线段上的四等分点，连结，与的交点分别为，以为 轴，以 为 轴建立平面直角坐标系，则在椭圆上的点为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 已知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是（ ） A. 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C. 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 D. 过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 10. 已知一个等比数列的前 项和､前项和､前项和分别为 ､ ､ ，则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（    ） A. 曲线与直线有3个公共点； B. 的最大值为4 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程为__________． 13. 已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作_________条（填“条数”）． 14. （如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面 为平行四边形. 现将容器以棱 为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等比数列的前 项和.已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并判断，，是否成等差数列. 16. 已知棱长为 的正方体中，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 17. 已知圆的圆心在直线上． （Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程； （Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由． 18. 如图，四棱锥的底面 是正方形，侧面是等边三角形，平面平面 ， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面 所成二面角的余弦值. 19. 如图菱形 的边长为，． （1）请建立坐标系，并求与菱形四边相切，且长轴长与短轴长的乘积取到最大值时的椭圆方程； （2）若直线与 平行，且与边、 分别交于 、 两点，与（1）中椭圆交于、 两点，试证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期高二期末教学质量调测试卷数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【详解】直线即 ，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设结合柱体结构性质、向量加减法法则即可计算求解. 【详解】由题得 . 故选：B 3. 已知数列，则是这个数列的（ ） A. 第17项 B. 第18项 C. 第19项 D. 第20项 【答案】D 【解析】 【分析】令即可计算求解. 【详解】令. 故由题可得是这个数列的第20项. 故选：D 4. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线 与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在 上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】 设为直线 上任意一点， 过作，垂足为 ，可知此时到直线距离最短 设，， 则， ， ， ， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线 与之间的距离是. 故选：B. 5. 等差数列中，已知且公差，则其前项的和取得最小值时的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质和单调性判断的符号即可得解. 【详解】∵且公差， ∴，从而. ∴， ∴. ∴当数列前项的和取得最小值时的值为9. 故选：C． 6. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圆半径，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半径即得.解法2：先判断正三棱柱的外接球球心在高线的中点，即可判断外接球半径继而得出外接球体积范围，排除其他三项即得. 【详解】 解法1：如图，设正三棱柱外接球的球心为 ，半径为 . 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：.而 为的中点， 所以则 故选:A. 解法2：设正三棱柱外接球的半径为 因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点， 故此时. 故选:A. 7. 过双曲线的一个焦点 作一条渐近线的垂线，垂足为点，垂线与另一条渐近线相交于点.若点是线段 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，另一个焦点为， 设l与垂直，垂足为点A，与交于点B， 因为A是线段FB的中点，l与垂直， 所以，因此三角形是等腰三角形，因此， 由双曲线和渐近线的对称性可知：， 所以有，因此. 故选：C. 8. 如图所示的矩形画板 中，.分别是矩形四条边的中点，点分别是线段 上的四等分点，连结，与的交点分别为，以为 轴，以 为 轴建立平面直角坐标系，则在椭圆上的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的方程，联立椭圆方程求交点坐标，然后得直线的方程，令求出y，对比坐标即可得答案. 【详解】由题得，所以， 所以直线的方程为， 记直线与椭圆异于点E的交点为， 联立得，解得（舍去）或， 则，所以，直线的方程为， 令，得， 易知，点K坐标为，所以点与点 重合，即点 在椭圆上. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 已知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是（ ） A. 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 B. 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C. 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 D. 过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 【答案】BD 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐项判断. 【详解】对于A：当一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时不满足条件，故A错误； 对于B：两个平面垂直则一个平面内的一条直线必垂直于另外一个平面内的无数条直线，故B正确； 对于C：在其中一个平面内可以找到一条直线平行于另一个平面，如与交线平行的直线即可，故C错误； 对于D：过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知，此垂线必垂直于另一个平面，故D正确. 故选：BD. 10. 已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为 ､ ､ ，则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】解：当时， 当时， 对于A, 当时， 故A错， 对于B, 当时，，故B错， 对于C, 当时，，故C错， 对于D, 当时，， ， 当时， 则，故选项正确， 故选：ABC 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（    ） A. 曲线与直线有3个公共点； B. 的最大值为4 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，作出曲线的图形，令，则，确定该直线与相切时直线与 轴的截距最大，利用直线与圆的位置关系计算即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，确定可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，利用两点距公式计算即可判断. 【详解】对于A，由，得， 所以，即， 解得或，所以 或或， 即曲线与直线有3个公共点，故A正确； 对于B，， 如图所示： 由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，. 令，则，即， 如图，当该直线与相切时，直线与 轴的截距最大， 由，得，解得，即的最大值为4，故B正确； 对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 在中，， 所以， 所以扇形的面积， ，所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误； 对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方， 由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和， 即， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程为__________． 【答案】. 【解析】 【分析】由抛物线标准方程直接得解. 【详解】由题抛物线标准方程为，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 13. 已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作_________条（填“条数”）． 【答案】4 【解析】 【分析】明确点与双曲线和双曲线渐近线的位置关系即可得解. 【详解】由题双曲线的渐近线方程为， 因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点作与双曲线有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. 14. （如图甲） 是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面 为平行四边形. 现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过 ，且分别为棱的中点，设棱锥 的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为， 根据分别为棱的中点，设棱锥 高为 ，体积为， 则，而三棱柱与平行六面体的高相同， 则， 根据四棱锥 与平行六面体底和高均相同，则，则 易知， 则， 图甲中上方的小四棱锥高为,则，则， 故图甲中的水面高度为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等比数列的前项和.已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并判断，，是否成等差数列. 【答案】（1） （2）；，，成等差数列 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用等比数列前项和公式求出，再根据等差数列的性质判断证明即可. 【小问1详解】 设数列的首项为，公比为， 因为，， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，， 所以 ， 即，所以，，成等差数列. 16. 已知棱长为 的正方体中，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【答案】（1）连接，则由中位线定理得， 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 周长为. 【解析】 【分析】（1）通过线线平行得到线面平行，通过求证得证平面； （2）延长、、，根据延长线交点与 连线，即可作出截面图，再结合正方体性质即可计算求解截面的周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，延长，与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由题意可知，故， 所以截面的周长为. 17. 已知圆的圆心在直线上． （Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程； （Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ），或;（Ⅱ）存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由圆与y轴相切，求出|a|＝ ；（Ⅱ）假设存在满足题意的A、B、P，设出这三个点的坐标，然后由两点间的距离公式将几何条件|PA|＝|PB坐标化，整理后对y恒成立两边对应项系数相等，列方程组解出y1，y2，即可求出． 【详解】（I）∵圆的圆心在直线上， ∴，∵圆C与y轴相切，∴， ∴，， 故所求圆C的方程，或， （II）∵a=0，， ∴圆的方程为，∴， 假设在y轴上存在两点，使得对于圆C上的任意一点P，都有，设，则由得 ， ∴， ， 依题意此方程对y恒成立，故， 解得或， 故在y轴上存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2），使得对于圆C上的任意一点P，都有． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系和两点间的距离公式，恒成立问题转化为对应系数相等，属中档题． 18. 如图，四棱锥 的底面 是正方形，侧面是等边三角形，平面平面 ， 为的中点. （1）求证：平面 . （2）求侧面 与底面 所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在等边中，因为 为的中点，所以， 在正方形 中，， 又因为平面平面 ，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面 ， 所以平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接.证明是平面 与平面 所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接. 则，又正方形 中，，所以, 在等边中，因为 为 的中点，所以. 因为平面平面 ，平面平面， 所以平面 ，因为 平面 ，所以. 因为，平面，所以 平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面 与平面 所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 【点睛】 19. 如图菱形 的边长为，． （1）请建立坐标系，并求与菱形四边相切，且长轴长与短轴长的乘积取到最大值时的椭圆方程； （2）若直线与 平行，且与边 、分别交于 、 两点，与（1）中椭圆交于、 两点，试证明． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）以所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求出菱形其中一条边如直线方程，设椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程，利用直线与椭圆相切得，化简再结合基本不等式即可求解. （2）设、，依次联立椭圆和直线l的方程，直线和直线l的方程，求得，从而得 中点即为中点，进而得即可求证. 【小问1详解】 以所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 因为菱形 的边长为，， 所以，且直线即， 设椭圆方程为，由题直线与该椭圆相切， 联立， 则，化简得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以长轴长与短轴长的乘积取到最大值时的椭圆方程为. 【小问2详解】 证明：由（1）可得直线l的斜率，设， 联立，设、， 则， 由（1）可得，所以， 联立， 所以，所以， 所以 中点即为中点，所以， 所以，即. 【点睛】关键点睛：求证的关键是求证 中点即为中点，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $