精品解析：陕西省渭南市蒲城县蒲城中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

蒲城中学2024~2025学年上学期高二年级期末质量检测 数学试题 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 经过点、两点的直线的倾斜角为（ ） A. 90º B. 120º C. 135º D. 150º 2. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 10 4. 如图，在四面体A-BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若直线：经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法中错误的是（ ） A. 抛物线的焦点为 B. C. 抛物线的准线为 D. 7. 若，则（　　） A 4 B. 6 C. 7 D. 8 8. 四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（ ） A. 64 B. 81 C. 24 D. 12 二､多选题（每题5分，共20分） 9. 已知直线，若，则（ ） A B. C. 0 D. 1 10. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 11. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表． 优秀 非优秀 合计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）． 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 列联表中c的值为20，b的值为45 B. 列联表中c的值为30，b的值为35 C. 根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关联” D. 根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关联” 12. 下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ） A. 线段的中点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点关于坐标原点对称的点的坐标为 D. 点关于平面对称的点的坐标为 三､填空题（每题5分，共20分） 13. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人不相邻排法共有__________种方法； 14. 展开式中各项系数之和__________. 15. 、经过、两点，并且圆心在直线圆的方程是___________． 16. 下列结论正确的是__________. ①变量间的线性相关系数的取值范围为； ②变量间的线性相关系数的绝对值越接近于0，则变量间的线性相关程度越弱： ③变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越弱. 四､解答题（共70分） 17. 已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率. 18. 已知 （1），求的坐标； （2）求； （3）若与互相垂直，求实数的值. 19. 某产品的广告费支出（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 （1）画出散点图． （2）求关于的回归直线方程． （3）预测广告费为9百万元时的销售额是多少？ 20. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 21. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且分别为的中点， （1）证明：直线平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒲城中学2024~2025学年上学期高二年级期末质量检测 数学试题 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 经过点、两点的直线的倾斜角为（ ） A. 90º B. 120º C. 135º D. 150º 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线l的斜率，再利用斜率的定义直接计算作答. 【详解】因直线过点、，则直线l的斜率， 直线l的倾斜角为满足，显然，则有，解得， 所以直线的倾斜角为. 故选：D 2. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程计算交点为，根据直线垂直得到，得到直线方程. 【详解】，解得，故直线交点为， 直线的斜率，故垂直于它的直线斜率， 故所求直线方程为，整理得到. 故选：B 3. 已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图， 则的周长为， 故选：C. 4. 如图，在四面体A-BCD中，点O为底面△BCD的重心，P为AO的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形法则结合重心的性质得出，再由求解. 【详解】取的中点为，连接，由重心的性质可知，，且三点共线. 因为 所以 ． 故选：B． 5. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入二项式展开式的通项公式，令的指数为3即可求解. 【详解】依题意， 的展开式的通项公式：，令r＝3， 则的系数是，解得a＝2． 故选：B． 6. 若直线：经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法中错误的是（ ） A. 抛物线的焦点为 B. C. 抛物线的准线为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，将焦点坐标代入直线方程求出实数，将直线方程与抛物线方程联立，求出焦点弦长，依次判断选项即可. 【详解】设抛物线方程为（），则焦点坐标为，准线方程为， ∵抛物线方程为，∴，， ∴抛物线的焦点坐标，准线方程为， 将焦点代入直线的方程：得，∴， ∴直线的方程为， 设直线与抛物线两交点坐标为，，点，到准线的距离分别为，， 由消去，化简得（）， ∴， ∴由抛物线的定义，，， ∴. 对于A，抛物线的焦点坐标，选项A正确； 对于B，实数的值为，选项B正确； 对于C，抛物线的准线方程为，选项C错误； 对于D，弦长，选项D正确， 故以上说法中，错误的是C选项. 故选：C. 7. 若，则（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的计算方法，列出方程，求出结果. 【详解】由得，解得. 故选：D. 8. 四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（ ） A. 64 B. 81 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计算原理求解 【详解】四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队,每人限报一项， 故每人有3种报名方法，共有种不同的报名方法; 故选：B 二､多选题（每题5分，共20分） 9. 已知直线，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两条直线平行，斜率相等即可求得. 【详解】则由题意得，的斜率 对于，因为，显然，斜率为， 则解得或， 当或时，两条直线不重合，所以符合题意. 故选：AB 10. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点为，， 故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和. 故选：BD. 11. 有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到列联表． 优秀 非优秀 合计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 105 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）． 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 列联表中c的值为20，b的值为45 B. 列联表中c的值为30，b的值为35 C. 根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关联” D. 根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关联” 【答案】AC 【解析】 【分析】由题，先找到的值，再用独立性检验判定即可. 【详解】由题，成绩优秀学生人数是，则成绩非优秀的人数为75， 故，故A选项正确，B选项错误； 补全联表如下： 优秀 非优秀 合计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 30 75 105 ， 故按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关联”，故C选项正确，D选项错误； 故选：AC. 12. 下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ） A. 线段的中点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点关于坐标原点对称的点的坐标为 D. 点关于平面对称的点的坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算依次判断选项即可. 【详解】由题意可知线段的中点的坐标为，所以A中说法正确； 点关于x轴对称的点的坐标为，所以B中说法错误； 点关于坐标原点对称的点的坐标为，所以C中说法错误； 点关于平面对称的点的坐标为，所以D中说法正确. 故选：AD. 三､填空题（每题5分，共20分） 13. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人不相邻的排法共有__________种方法； 【答案】480 【解析】 【分析】根据不相邻问题插空法求解即可. 【详解】先将除甲、乙之外的4人排队，共有种不同的排法， 再将甲、乙两人插入到已经排好的4人形成的5个空位上，有种不同的方法， 所以根据分步乘法原理，所有的排法共种. 故答案为：480. 14. 展开式中各项系数之和__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求解系数和即可. 【详解】令，则展开式中各项系数之和为. 故答案为： 15. 、经过、两点，并且圆心在直线的圆的方程是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求AB中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径得圆方程. 【详解】AB中垂线方程为 由得 因此圆方程为 【点睛】本题考查圆的标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 16. 下列结论正确的是__________. ①变量间的线性相关系数的取值范围为； ②变量间的线性相关系数的绝对值越接近于0，则变量间的线性相关程度越弱： ③变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越弱. 【答案】①② 【解析】 【分析】由相关系数的概念以及意义逐一判断即可求解. 【详解】对于①，相关系数满足，即变量间的线性相关系数的取值范围为，①正确； 对于②，根据相关系数的性质，，且越接近于1，相关程度越强，越接近于0，相关程度越弱，②正确； 对于③，比如时，变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越强，③错误. 故答案为：①②. 四､解答题（共70分） 17. 已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由双曲线的性质逐一求解即可. 【详解】双曲线方程可以化成， 所以， 所以顶点坐标为， 焦点坐标为， 焦距为， 实轴长为， 虚轴长为， 令，可得，即渐近线方程为， 离心率为. 18. 已知 （1），求的坐标； （2）求； （3）若与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于方程，解之即可求得的值． 【小问1详解】 由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． 【小问2详解】 因为、、，，， 所以，， 则. 【小问3详解】 因，， 又与垂直， 所以， 解得或． 19. 某产品广告费支出（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 （1）画出散点图． （2）求关于的回归直线方程． （3）预测广告费为9百万元时的销售额是多少？ 【答案】（1）答案见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据表中所给的五组数据，得到对应的五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出五个点，得到这组数据的散点图． （2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，利用样本中心点求出的值，写出线性回归方程． （3）将代入回归直线方程求出的值即为当广告费支出9（百万元）时的销售额的估计值． 【详解】（1）根据表中所给的五组数据，得到对应的五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出五个点 （2）由散点图知，与有线性相关，设回归方程为： ，，，，， ，， ； （3）当时，（百万元） 即广告费为9百万元时的销售额预报值是76百万元． 【点睛】本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再进一步根据样本中心点求出的值. 20. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】（1）x＝4或3x＋4y-8＝0. （2） 【解析】 【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程； （2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0， 则圆心到直线的距离为即，解得， 所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0， 圆心到直线l的距离 故所求弦长为：. 21. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且分别为的中点， （1）证明：直线平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）点到平面的距离. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）注意到，故只需证明平面，由，即可证明证明平面； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解； （3）求出和平面的法向量，由距离公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示，连接，因为分别是的中点， 所以， 因为四边形正方形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； 【小问2详解】 由题意容易知道两两互相垂直， 故以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，所以， 显然平面的法向量可以是， 而， 故所求为， 即直线与平面所成角的正弦值； 【小问3详解】 由（2）可知， 从而， 设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以可取， 故所求为， 即点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $